Lösung 4.4:2d

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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Apart from the fact that there is a
+
Außer, dass wir als Argument <math>5x</math> haben, ist dies eine gewöhnliche trigonometrische Gleichung der Form <math>\sin y = a\,</math>. Wir erhalten die Lösungen, die <math>0\le 5x\le 2\pi</math> erfüllen, indem wir den Einheitskreis zeichnen, und wir erhalten die Lösungen <math>5x = \pi/4</math> und <math>5x = \pi - \pi/4 = 3\pi/4\,</math>.
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<math>\text{5}x</math>, this is a normal trigonometric equation of the type
+
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<math>\text{sin }y\text{ }=a</math> . If we are only interested in solutions which satisfy
+
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<math>0\le \text{5}x\le \text{2}\pi </math>, then a sketch of the unit circle shows that there are two such solutions,
+
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<math>\text{5}x=\text{ }\frac{\pi }{4}</math>
+
-
and the reflectionally symmetric solution
+
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<math>\text{5}x=\text{ }\pi \text{-}\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}</math>.
+
 +
<center>{{:4.4.2d - Solution - Two unit circle with angles π/4 and 3π/4, respectively}}</center>
-
[[Image:4_4_2_d.gif|center]]
+
Wir bekommen die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von <math>2\pi</math> zu den Lösungen addieren:
-
All of the equation's solutions are obtained from all values of 5x which differ by a multiple of 2π from either of these two solutions:
+
{{Abgesetzte Formel||<math>5x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi\qquad\text{und}\qquad 5x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi\,,</math>}}
-
<math>\text{5}x=\text{ }\frac{\pi }{4}+2n\pi </math>
+
Dividieren wir beide Seiten durch 5, erhalten wir die Lösungen
-
and
+
-
<math>\text{5}x=\frac{3\pi }{4}+2n\pi </math>,
+
-
where
+
{{Abgesetzte Formel||<math>x = \frac{\pi}{20} + \frac{2}{5}n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{3\pi}{20} + \frac{2}{5}n\pi\,.</math>}}
-
<math>n</math>
+
-
is an arbitrary integer.
+
-
 
+
-
If we divide both of these by
+
-
<math>\text{5}</math>, we obtain the solutions expressed in terms of x alone:
+
-
 
+
-
 
+
-
<math>x=\frac{\pi }{20}+\frac{2}{5}n\pi </math>
+
-
and
+
-
<math>x=\frac{3\pi }{20}+\frac{2}{5}n\pi </math>,
+
-
 
+
-
where
+
-
<math>n</math>
+
-
is an arbitrary integer.
+

Aktuelle Version

Außer, dass wir als Argument \displaystyle 5x haben, ist dies eine gewöhnliche trigonometrische Gleichung der Form \displaystyle \sin y = a\,. Wir erhalten die Lösungen, die \displaystyle 0\le 5x\le 2\pi erfüllen, indem wir den Einheitskreis zeichnen, und wir erhalten die Lösungen \displaystyle 5x = \pi/4 und \displaystyle 5x = \pi - \pi/4 = 3\pi/4\,.

[Image]

Wir bekommen die allgemeine Lösung, indem wir ein Vielfaches von \displaystyle 2\pi zu den Lösungen addieren:

\displaystyle 5x = \frac{\pi}{4} + 2n\pi\qquad\text{und}\qquad 5x = \frac{3\pi}{4} + 2n\pi\,,


Dividieren wir beide Seiten durch 5, erhalten wir die Lösungen

\displaystyle x = \frac{\pi}{20} + \frac{2}{5}n\pi\qquad\text{und}\qquad x = \frac{3\pi}{20} + \frac{2}{5}n\pi\,.
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