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Lösung 2.3:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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K (Robot: Automated text replacement (-{{Displayed math +{{Abgesetzte Formel))
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A first-degree equation which has <math>x=1+\sqrt{3}</math> as a root is <math>x-(1+\sqrt{3}\,)=0</math>, which we can also write as <math>x-1-\sqrt{3} = 0</math>. In the same way, we have that <math>x-(1-\sqrt{3}\,)=0</math>, i.e., <math>x-1+\sqrt{3}=0</math> is a first-degree equation that has <math>x=1-\sqrt{3}</math> as a root. If we multiply these two first-degree equations together, we get a second-degree equation with <math>x=1+\sqrt{3}</math> and <math>x=1-\sqrt{3}</math> as roots,
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Eine lineare Gleichung mit der Nullstelle <math>x=1+\sqrt{3}</math>, ist <math>x-(1+\sqrt{3}\,)=0</math> oder auch <math>x-1-\sqrt{3} = 0</math>. In der gleichen Weise sehen wir, dass <math>x-(1-\sqrt{3}\,)=0</math> oder <math>x-1+\sqrt{3}=0</math> die Nullstelle <math>x=1-\sqrt{3}</math> hat. Multiplizieren wir die beiden linearen Terme, erhalten wir eine quadratische Gleichung mit den Nullstellen <math>x=1+\sqrt{3}</math> und <math>x=1-\sqrt{3}</math>,
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) = 0\,\textrm{.}</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) = 0\,\textrm{.}</math>}}
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The first factor become zero when <math>x=1+\sqrt{3}</math> and the second factor becomes zero when <math>x=1-\sqrt{3}\,</math>.
 
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Nothing really prevents us from answering with <math>(x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) = 0</math>, but if we want to give the equation in standard form, we need to expand the left-hand side,
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Wir können jetzt, falls wir wollen, die Gleichung <math>(x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) = 0</math> auf Standardform schreiben, indem wir die linke Seite erweitern
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
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\end{align}</math>}}
\end{align}</math>}}
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to get the equation <math>x^{2}-2x-2=0\,</math>.
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und erhalten die Gleichung <math>x^{2}-2x-2=0\,</math>.
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Note: Exactly as in exercise a, we can multiply the equation by a non-zero constant ''a''
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Hinweis: Wir vorher können wir die Gleichung mit einer beliebigen konstante a (a<math>\ne 0</math>) multiplizieren
{{Abgesetzte Formel||<math>ax^{2}-2ax-2a=0</math>}}
{{Abgesetzte Formel||<math>ax^{2}-2ax-2a=0</math>}}
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and still have a second-degree equation with the same roots.
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und dieselben Nullstellen erhalten.

Aktuelle Version

Eine lineare Gleichung mit der Nullstelle x=1+3 , ist x−(1+3)=0  oder auch x−1−3=0 . In der gleichen Weise sehen wir, dass x−(1−3)=0  oder x−1+3=0  die Nullstelle x=1−3  hat. Multiplizieren wir die beiden linearen Terme, erhalten wir eine quadratische Gleichung mit den Nullstellen x=1+3  und x=1−3 ,

(x−1−3)(x−1+3)=0. 


Wir können jetzt, falls wir wollen, die Gleichung (x−1−3)(x−1+3)=0  auf Standardform schreiben, indem wir die linke Seite erweitern

(x−1−3)(x−1+3)=x2−x+3x−x+1−3−3x+3−(3)2=x2+(−x+3x−x−3x)+(1−3+3−3)=x2−2x−2

und erhalten die Gleichung x2−2x−2=0.


Hinweis: Wir vorher können wir die Gleichung mit einer beliebigen konstante a (a=0) multiplizieren

ax2−2ax−2a=0

und dieselben Nullstellen erhalten.

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