Lösung 2.3:4b

Aus Online Mathematik Brückenkurs 1

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A first-degree equation which
+
Eine lineare Gleichung mit der Nullstelle <math>x=1+\sqrt{3}</math>, ist <math>x-(1+\sqrt{3}\,)=0</math> oder auch <math>x-1-\sqrt{3} = 0</math>. In der gleichen Weise sehen wir, dass <math>x-(1-\sqrt{3}\,)=0</math> oder <math>x-1+\sqrt{3}=0</math> die Nullstelle <math>x=1-\sqrt{3}</math> hat. Multiplizieren wir die beiden linearen Terme, erhalten wir eine quadratische Gleichung mit den Nullstellen <math>x=1+\sqrt{3}</math> und <math>x=1-\sqrt{3}</math>,
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<math>x=\text{ 1}+\sqrt{\text{3}}</math>
+
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as a root is
+
-
<math>x-\left( \text{1}+\sqrt{\text{3}} \right)=0</math>, which we can also write as
+
-
<math>x-\text{1-}\sqrt{\text{3}}=0</math>. In the same way, we have that
+
{{Abgesetzte Formel||<math>(x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) = 0\,\textrm{.}</math>}}
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<math>x-\left( \text{1-}\sqrt{\text{3}} \right)=0</math>, i.e.,
+
-
<math>x-\text{1+}\sqrt{\text{3}}=0</math>
+
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is a first-degree equation that has
+
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<math>x=\text{ 1-}\sqrt{\text{3}}</math>
+
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as a root. If we multiply these two first-degree equations together, we get a second-degree equation with
+
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<math>x=\text{ 1}+\sqrt{\text{3}}</math>
+
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and
+
-
<math>x=\text{ 1-}\sqrt{\text{3}}</math>. as roots:
+
-
<math>\left( x-\text{1-}\sqrt{\text{3}} \right)\left( x-\text{1+}\sqrt{\text{3}} \right)=0</math>
+
Wir können jetzt, falls wir wollen, die Gleichung <math>(x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) = 0</math> auf Standardform schreiben, indem wir die linke Seite erweitern
 +
{{Abgesetzte Formel||<math>\begin{align}
 +
(x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,)
 +
&= x^{2} - x + \sqrt{3}x - x + 1 - \sqrt{3} - \sqrt{3}x + \sqrt{3} - (\sqrt{3}\,)^{2}\\[5pt]
 +
&= x^{2} + (-x+\sqrt{3}x-x-\sqrt{3}x) + (1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-3)\\[5pt]
 +
&= x^{2}-2x-2
 +
\end{align}</math>}}
-
The first factor become zero when
+
und erhalten die Gleichung <math>x^{2}-2x-2=0\,</math>.
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<math>x=\text{ 1}+\sqrt{\text{3}}</math>
+
-
and the second factor becomes zero when
+
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<math>x=\text{ 1-}\sqrt{\text{3}}</math>.
+
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Nothing really prevents us from answering with
 
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<math>\left( x-\text{1-}\sqrt{\text{3}} \right)\left( x-\text{1+}\sqrt{\text{3}} \right)=0</math>, but if we want to give the equation in standard form, we need to expand the left-hand side,
 
 +
Hinweis: Wir vorher können wir die Gleichung mit einer beliebigen konstante a (a<math>\ne 0</math>) multiplizieren
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<math>\begin{align}
+
{{Abgesetzte Formel||<math>ax^{2}-2ax-2a=0</math>}}
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& \left( x-\text{1-}\sqrt{\text{3}} \right)\left( x-\text{1+}\sqrt{\text{3}} \right)=x^{2}-x+\sqrt{3}-x+1-\sqrt{3}-\sqrt{3}x+\sqrt{3}-\left( \sqrt{3} \right)^{2} \\
+
-
& =x^{2}+\left( -x+\sqrt{3}x-x-\sqrt{3}x \right)+\left( 1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-3 \right) \\
+
-
& =x^{2}-2x-2 \\
+
-
\end{align}</math>
+
-
 
+
und dieselben Nullstellen erhalten.
-
to get the equation
+
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<math>x^{2}-2x-2=0</math>
+
-
 
+
-
 
+
-
NOTE: Exactly as in exercise
+
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<math>\text{a}</math>, we can multiply the equation by a non-zero constant
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<math>a</math>,
+
-
 
+
-
 
+
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<math>ax^{2}-2ax-2a=0</math>
+
-
 
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-
 
+
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and still have a second-degree equation with the same roots.
+

Aktuelle Version

Eine lineare Gleichung mit der Nullstelle \displaystyle x=1+\sqrt{3}, ist \displaystyle x-(1+\sqrt{3}\,)=0 oder auch \displaystyle x-1-\sqrt{3} = 0. In der gleichen Weise sehen wir, dass \displaystyle x-(1-\sqrt{3}\,)=0 oder \displaystyle x-1+\sqrt{3}=0 die Nullstelle \displaystyle x=1-\sqrt{3} hat. Multiplizieren wir die beiden linearen Terme, erhalten wir eine quadratische Gleichung mit den Nullstellen \displaystyle x=1+\sqrt{3} und \displaystyle x=1-\sqrt{3},

\displaystyle (x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) = 0\,\textrm{.}


Wir können jetzt, falls wir wollen, die Gleichung \displaystyle (x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) = 0 auf Standardform schreiben, indem wir die linke Seite erweitern

\displaystyle \begin{align}

(x-1-\sqrt{3}\,)(x-1+\sqrt{3}\,) &= x^{2} - x + \sqrt{3}x - x + 1 - \sqrt{3} - \sqrt{3}x + \sqrt{3} - (\sqrt{3}\,)^{2}\\[5pt] &= x^{2} + (-x+\sqrt{3}x-x-\sqrt{3}x) + (1-\sqrt{3}+\sqrt{3}-3)\\[5pt] &= x^{2}-2x-2 \end{align}

und erhalten die Gleichung \displaystyle x^{2}-2x-2=0\,.


Hinweis: Wir vorher können wir die Gleichung mit einer beliebigen konstante a (a\displaystyle \ne 0) multiplizieren

\displaystyle ax^{2}-2ax-2a=0

und dieselben Nullstellen erhalten.

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