2.1 Inledning till integraler

Förberedande kurs i matematik 2

Area under en funktionskurva

Vi har tidigare sett att lutningen på en funktionskurva är intressant. Den ger oss information om hur funktionen ändras och har stor betydelse i många tillämpningar. På ett liknande sätt är den area som bildas mellan en funktionskurva och x-axeln betydelsefull. Den är naturligtvis beroende av funktionskurvans utseende och därmed intimt besläktad med funktionen i fråga. Det är lätt att inse att denna area har en praktisk betydelse i många olika sammanhang.

Om ett föremål rör sig så kan vi beskriva dess hastighet v efter tiden t i ett v-t-diagram. Vi ser här tre olika fiktiva exempel:

 v(t)= \begin{cases} 4,& 0 \le t \le 3\\ 6,& t > 3\end{cases}
 \quad\text{och}\quad
 v(t) = t\,\mbox{.}

Den tillryggalagda sträckan är i respektive fall

 s(6) = 4\cdot 3 + 6\cdot 3 = 30\,\mbox{m},\quad
 s(6) = \frac{6\cdot 6}{2} = 18\,\mbox{m}\,\mbox{.}

I samtliga fall ser man att föremålets tillryggalagda sträcka motsvaras av arean under funktionskurvan.

Fler exempel på vad arean under en funktionskurva kan symbolisera följer nedan.

Integralbeteckningen

För att beskriva arean under en funktionskurva i symbolform inför man integraltecknet \displaystyle \,\smallint\, och gör följande definition:

 = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}

Primitiv funktion

Funktionen \displaystyle F är en primitiv funktion till \displaystyle f om \displaystyle F'(x) = f(x) i något intervall. Om \displaystyle F(x) är en primitiv funktion till \displaystyle f(x) så är det klart att även \displaystyle F(x) + C är det, för varje konstant \displaystyle C. Dessutom kan man visa att \displaystyle F(x) + C beskriver samtliga primitiva funktioner till \displaystyle f(x).

Samband mellan integral och primitiv funktion

Vi har tidigare konstaterat att arean under en funktionskurva, dvs. integralen av en funktion, är beroende av funktionskurvans utseende. Det visar sig att detta beroende utnyttjar den primitiva funktionen, vilket också ger oss möjligheten att beräkna en sådan area exakt.

Antag att \displaystyle f är en kontinuerlig funktion på ett intervall (= funktionskurvan har inga avbrott i intervallet). Värdet av integralen \displaystyle \ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ är då beroende av integrationsgränserna \displaystyle a och \displaystyle b, men om man låter \displaystyle a vara ett fixt värde och sätter \displaystyle x som övre gräns blir integralens värde beroende enbart av den övre integrationsgränsen. För att tydliggöra detta använder vi här i stället \displaystyle t som integrationsvariabel:

Vi ska nu visa att \displaystyle A i själva verket är en primitiv funktion till \displaystyle f.

Den totala arean under kurvan från \displaystyle t=a till \displaystyle t=x+h kan skrivas som \displaystyle A(x+h) och är approximativt lika med arean \displaystyle A(x) fram till \displaystyle t=x plus stapelns area, dvs.

där \displaystyle c är ett tal mellan \displaystyle x och \displaystyle x+h. Detta uttryck kan vi skriva om som

Om vi låter \displaystyle h \rightarrow 0 så går vänstra ledet mot \displaystyle A'(x) och det högra ledet mot \displaystyle f(x) , dvs.

Funktionen \displaystyle A(x) är alltså en primitiv funktion till \displaystyle f(x).

Beräkning av integraler

För att kunna använda primitiva funktioner vid beräkning av en bestämd integral, noterar vi först att om \displaystyle F är en primitiv funktion till \displaystyle f så är

där konstanten \displaystyle C måste väljas så att högerledet blir noll när \displaystyle b=a, dvs.

vilket ger att \displaystyle C=-F(a). Om vi sammanfattar har vi alltså att

 = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Vi kan naturligtvis här lika gärna välja \displaystyle x som integrationsvariabel och skriva

 = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Vid beräkning av integraler utför man detta i två steg. Först bestämmer man en primitiv funktion och sedan sätter man in integrationsgränserna. Man skriver vanligtvis

 = \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Baklängesderivering

Att derivera de vanliga funktionstyperna innebär inga oöverstigliga problem; det finns generella metoder för detta. Att utföra den omvända operationen, dvs. hitta en primitiv funktion till en given funktion är dock betydligt svårare och i vissa fall omöjligt! Det finns ingen systematisk metod som fungerar överallt, men genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna "baklänges" och dessutom lära sig ett antal specialmetoder och knep kan man klara av en stor del av de funktioner som vanligtvis förekommer.

Symbolen \displaystyle \ \int f(x) \,dx\ kallas den obestämda integralen av \displaystyle f(x) och används för att beteckna en godtycklig primitiv funktion till \displaystyle f(x). De vanliga deriveringsreglerna ger att

Kompensation för ”inre derivata”

Vid derivering av en sammansatt funktion använder man sig av kedjeregeln, som innebär att man multiplicerar med den inre derivatan. Om den inre funktionen då är linjär så blir den inre derivatan en konstant. Vid integrering av en sådan funktion måste man därför dividera med den inre derivatan för att kompensera för detta.

Observera att detta sätt att kompensera för den inre derivatan endast fungerar om den inre derivatan är en konstant.

Räkneregler för integraler

Med hjälp av beräkningsformeln för integraler är det lätt att visa följande räkneregler för integraler:

1. \displaystyle \int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
2. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
3. \displaystyle \int_{a}^{\,b} k \cdot f(x)\, dx = k \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
4. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}

Dessutom gäller att area under x-axeln räknas negativt, dvs. om funktionskurvan ligger under x-axeln så blir integralens värde negativt:

 A_2 = -\int_{b}^{\,c} f(x)\, dx

Den sammanlagda arean blir \displaystyle \ A_1 + A_2 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,.

Anm. Värdet av en integral kan alltså vara negativt, medan en area alltid har ett positivt värde.

Area mellan kurvor

Om \displaystyle f(x) \ge g(x) i ett intervall \displaystyle a\le x\le b gäller att arean mellan funktionskurvorna ges av

 - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}

vilket kan förenklas till

Observera att det inte spelar någon roll om \displaystyle f(x) < 0 eller \displaystyle g(x) < 0 så länge som \displaystyle f(x) \ge g(x). Arean mellan kurvorna är naturligtvis lika stor oavsett om kurvorna ligger över eller under x-axeln, vilket följande figurer illustrerar:

 \quad\text{och}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}

 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2}
 \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}

 \quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1
 \quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}