2.1 Övningar
Förberedande kurs i matematik 2
(Skillnad mellan versioner)
m |
|||
| (10 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
{| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | ||
| style="border-bottom:1px solid #000" width="5px" | | | style="border-bottom:1px solid #000" width="5px" | | ||
| - | {{Mall:Ej vald flik|[[2.1 Inledning|Teori]]}} | + | {{Mall:Ej vald flik|[[2.1 Inledning till integraler|Teori]]}} |
{{Mall:Vald flik|[[2.1 Övningar|Övningar]]}} | {{Mall:Vald flik|[[2.1 Övningar|Övningar]]}} | ||
| style="border-bottom:1px solid #000" width="100%"| | | style="border-bottom:1px solid #000" width="100%"| | ||
| Rad 10: | Rad 10: | ||
<div class="ovning"> | <div class="ovning"> | ||
Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde | Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
|a) | |a) | ||
|width="50%"|<math>\displaystyle\int_{-1}^{2} 2\, dx</math> | |width="50%"|<math>\displaystyle\int_{-1}^{2} 2\, dx</math> | ||
| Rad 21: | Rad 22: | ||
|} | |} | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 2.1:1|Lösning a|Lösning 2.1:1a|Lösning b|Lösning 2.1:1b|Lösning c|Lösning 2.1:1c|Lösning d|Lösning 2.1:1d}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 2.1:1|Lösning a|Lösning 2.1:1a|Lösning b|Lösning 2.1:1b|Lösning c|Lösning 2.1:1c|Lösning d|Lösning 2.1:1d}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1:2=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Beräkna integralerna | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | |width="50%"|<math>\displaystyle\int_{0}^{2} (x^2+3x^3)\, dx</math> | ||
| + | |b) | ||
| + | |width="50%"| <math>\displaystyle\int_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\, dx</math> | ||
| + | |- | ||
| + | |c) | ||
| + | |width="50%"| <math> \displaystyle\int_{4}^{9} \left(\sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx</math> | ||
| + | |d) | ||
| + | |width="50%"| <math>\displaystyle\int_{1}^{4} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^2}\, dx</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 2.1:2|Lösning a|Lösning 2.1:2a|Lösning b|Lösning 2.1:2b|Lösning c|Lösning 2.1:2c|Lösning d|Lösning 2.1:2d}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1:3=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Beräkna integralerna | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | |width="50%"|<math>\displaystyle\int \sin x\, dx</math> | ||
| + | |b) | ||
| + | |width="50%"| <math>\displaystyle\int 2\sin x \cos x\, dx</math> | ||
| + | |- | ||
| + | |c) | ||
| + | |width="50%"| <math> \displaystyle\int e^{2x}(e^x+1)\, dx</math> | ||
| + | |d) | ||
| + | |width="50%"| <math>\displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx</math> | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 2.1:3|Lösning a|Lösning 2.1:3a|Lösning b|Lösning 2.1:3b|Lösning c|Lösning 2.1:3c|Lösning d|Lösning 2.1:3d}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1:4=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | |width="100%"| Beräkna arean mellan kurvan <math>y=\sin x</math> och <math>x</math>-axeln när <math>0\le x \le \frac{5\pi}{4}</math>. | ||
| + | |- | ||
| + | |b) | ||
| + | |width="100%"| Beräkna arean av det område under kurvan <math>y=-x^2+2x+2</math> och ovanför <math>x</math>-axeln. | ||
| + | |- | ||
| + | |c) | ||
| + | |width="100%"| Beräkna arean av det ändliga området mellan kurvorna <math>y=\frac{1}{4}x^2+2</math> och <math>y=8-\frac{1}{8}x^2</math> (studentexamen 1965). | ||
| + | |- | ||
| + | |d) | ||
| + | |width="100%"| Beräkna arean av det ändliga området som kurvorna <math>y=x+2, y=1</math> och <math>y=\frac{1}{x}</math> innesluter. | ||
| + | |- | ||
| + | |e) | ||
| + | |width="100%"| Beräkna arean av området som ges av olikheterna <math>x^2\le y\le x+2</math>. | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 2.1:4|Lösning a|Lösning 2.1:4a|Lösning b|Lösning 2.1:4b|Lösning c|Lösning 2.1:4c|Lösning d|Lösning 2.1:4d|Lösning e|Lösning 2.1:4e}} | ||
| + | |||
| + | ===Övning 2.1:5=== | ||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | Beräkna integralerna | ||
| + | {| width="100%" cellspacing="10px" | ||
| + | |a) | ||
| + | |width="100%"| <math>\displaystyle \int \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\quad</math> (Ledning: förläng med nämnarens konjugat) | ||
| + | |- | ||
| + | |b) | ||
| + | |width="100%"| <math>\displaystyle \int \sin^2 x\ dx\quad</math> (Ledning: skriv om integranden med en trigonometrisk formel) | ||
| + | |} | ||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar 2.1:5|Lösning a|Lösning 2.1:5a|Lösning b|Lösning 2.1:5b}} | ||
Nuvarande version
| Teori | Övningar |
Övning 2.1:1
Tolka integralerna som areor och bestäm deras värde
| a) | \displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{2} 2\, dx | b) | \displaystyle \displaystyle\int_{0}^{1} (2x+1)\, dx |
| c) | \displaystyle \displaystyle \int_{0}^{2} (3-2x)\, dx | d) | \displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{2}|x| \, dx |
Svar
Hämtar...
Lösning a
Lösning b
Lösning c
Lösning d
Övning 2.1:2
Beräkna integralerna
| a) | \displaystyle \displaystyle\int_{0}^{2} (x^2+3x^3)\, dx | b) | \displaystyle \displaystyle\int_{-1}^{2} (x-2)(x+1)\, dx |
| c) | \displaystyle \displaystyle\int_{4}^{9} \left(\sqrt{x} - \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx | d) | \displaystyle \displaystyle\int_{1}^{4} \displaystyle\frac{\sqrt{x}}{x^2}\, dx |
Svar
Lösning a
Lösning b
Lösning c
Lösning d
Övning 2.1:3
Beräkna integralerna
| a) | \displaystyle \displaystyle\int \sin x\, dx | b) | \displaystyle \displaystyle\int 2\sin x \cos x\, dx |
| c) | \displaystyle \displaystyle\int e^{2x}(e^x+1)\, dx | d) | \displaystyle \displaystyle\int \displaystyle\frac{x^2+1}{x}\, dx |
Svar
Lösning a
Lösning b
Lösning c
Lösning d
Övning 2.1:4
| a) | Beräkna arean mellan kurvan \displaystyle y=\sin x och \displaystyle x-axeln när \displaystyle 0\le x \le \frac{5\pi}{4}. |
| b) | Beräkna arean av det område under kurvan \displaystyle y=-x^2+2x+2 och ovanför \displaystyle x-axeln. |
| c) | Beräkna arean av det ändliga området mellan kurvorna \displaystyle y=\frac{1}{4}x^2+2 och \displaystyle y=8-\frac{1}{8}x^2 (studentexamen 1965). |
| d) | Beräkna arean av det ändliga området som kurvorna \displaystyle y=x+2, y=1 och \displaystyle y=\frac{1}{x} innesluter. |
| e) | Beräkna arean av området som ges av olikheterna \displaystyle x^2\le y\le x+2. |
Svar
Lösning a
Lösning b
Lösning c
Lösning d
Lösning e
Övning 2.1:5
Beräkna integralerna
| a) | \displaystyle \displaystyle \int \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x+9}-\sqrt{x}}\quad (Ledning: förläng med nämnarens konjugat) |
| b) | \displaystyle \displaystyle \int \sin^2 x\ dx\quad (Ledning: skriv om integranden med en trigonometrisk formel) |
