SamverkanLinalg

Versionen från 26 maj 2008 kl. 13.06 (redigera) Geoba (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Versionen från 26 maj 2008 kl. 13.25 (redigera) (ogör) Geoba (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring →
Rad 34:		Rad 34:
-	3. Gör övning 17.21	+	3. Låt <math>\{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\}</math> vara en bas i <math>{\bf R}^2</math>. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära.
-	[[Bild:o_linavb.pdf||center]]	+	\begin{enumerate}
-		+	\item <math>F_1(\fet{e}_1x_1+\fet{e}_2x_2)=x_2^2\fet{e}_1+x_2\fet{e}_2</math>
		+	\item <math>F_2(\underline{\fet{e}}X)=\underline{\fet{e}}\pvektc{x_1+x_2}{x_1}</math>
		+	\item <math>F_3(\underline{\fet{e}}X)=\underline{\fet{e}}\pvektc{x_1}{1}</math>
		+	\end{enumerate}
	{{#NAVCONTENT:		{{#NAVCONTENT:
-	Svar|Svar till övning 17.21|	+	Svar|Endast <math>F_2</math>|
	Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|		Tips 1|Tips 1 till övning 17.21|
	Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|		Tips 2|Tips 2 till övning 17.21|

---

Versionen från 26 maj 2008 kl. 13.25

Innehåll 1 Definition av linjär avbildning 2 Matrisframställning 3 Projektion och spegling 4 Plan rotation

Definition av linjär avbildning

Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning Bild:Kap16 1.pdf

Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

Övningar

1. Låt \displaystyle F och \displaystyle G vara avbildningar på rummet, som i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\} ges av

\displaystyle F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix},\qquad G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}

Undersök om \displaystyle F är linjär. Skriv avbildningen som en matrisprodukt, \displaystyle Y=AX, där \displaystyle A inte beror på \displaystyle X. Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur \displaystyle A. Undersök om \displaystyle G är linjär.

2. Låt \displaystyle \boldsymbol{a} vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?

\displaystyle {\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad {\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.

3. Låt \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2\} vara en bas i \displaystyle {\bf R}^2. Avgör vilka av följande avbildningar är linjära. \begin{enumerate} \item \displaystyle F_1(\fet{e}_1x_1+\fet{e}_2x_2)=x_2^2\fet{e}_1+x_2\fet{e}_2 \item \displaystyle F_2(\underline{\fet{e}}X)=\underline{\fet{e}}\pvektc{x_1+x_2}{x_1} \item \displaystyle F_3(\underline{\fet{e}}X)=\underline{\fet{e}}\pvektc{x_1}{1} \end{enumerate}

Matrisframställning

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning Bild:Kap16 2.pdf

1. Gör övning 17.22. Bild:O linavb.pdf

Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt

> A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]);

Den första urbilden skriver Du som

> u1:=matrix(2,1,[3,4]);

Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden

> v1=multiply(A,u1);

Räknar Maple rätt?

Kontrollera nu den andra urbilden!

\displaystyle \begin{array}{l@{}c@{}r} z & = & a \\ f(x,y,z) & = & x + y + z\end{array}

Projektion och spegling

Plan rotation