Huvudsida

== Kapitel 16 Linjära avbildningar ==

=== Sektion 16.1 Definition av linjär avbildning ===

Läs textavsnittet om definition av linjär avbildning [[Bild:Kap16_1.pdf||center]]

Du har nu läst definitionen på linjär avbildning och här kommer några övningar som testar om du har tagit till dig stoffet.

'''Övningar'''

1. Låt <math>F</math> och <math>G</math> vara avbildningar på rummet, som i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \boldsymbol{e}_3\}</math> ges av

<center><math>F(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}Y = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1-x_2\\ 2x_2+3x_3\\ 2x_1-x_3\end{pmatrix},\qquad G(\underline{\boldsymbol{e}}X) = \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}x_1x_2\\ x_2^2\\ x_2+x_3\end{pmatrix}\,\mbox{.}</math></center>

Undersök om <math>F</math> är linjär. Skriv avbildningen som en matrisprodukt, <math>Y=AX</math>, där <math>A</math> inte beror på <math>X</math>. Bestäm också basvektorernas bilder och visa hur dessa kan avläsas ur <math>A</math>. Undersök om <math>G</math> är

linjär.{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 1|

Tips 1|Tips 1 till övning 1|

Tips 2|Tips 2 till övning 1|

Tips 3|Tips 3 till övning 1|

Lösning|Lösning till övning 1}}

2. Låt <math>\boldsymbol{a}</math> vara en fix vektor i rummet. Vilka av följande avbildningar på rummet är linjära?

<center><math>{\rm a)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}\qquad{\rm b)}\ F(\boldsymbol{u})=\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{a}\qquad

{\rm c)}\ F(\boldsymbol{u})=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}.</math></center>

{{#NAVCONTENT:

Svar|Svar till övning 2|

Tips 1|Tips 1 till övning 2|

Tips 2|Tips 2 till övning 2|

Tips 3|Tips 3 till övning 2|

Lösning|Lösning till övning 2}}

3. Gör övning 17.21

[[Bild:o_linavb.pdf||center]]

Svar

Om du behöver tips, prova med det här.

Behöver du mer hjälp kan du gå in här.

Lösning

=== Sektion 16.2 Matrisframställning ===

Läs textavsnittet om definition av matrisframställning för en linjär avbildning [[Bild:Kap16_2.pdf||center]]

1. Gör övning 17.22.

[[Bild:o_linavb.pdf||center]]

Svar

Om du behöver tips, prova med det här.

Behöver du mer hjälp kan du gå in här.

Lösning till 17.22 finns här [[Bild:tips.pdf||center]]

Du ska nu testa rimligheten i svaret. Avbildningsmatrisen skriver Du i Maple enligt

> A:=matrix(2,2,[-13,11,-14,12]);

Den första urbilden skriver Du som

> u1:=matrix(2,1,[3,4]);

Använd nu multiplikations kommandot för att bestämma första bilden

> v1=multiply(A,u1);

Räknar Maple rätt?

Kontrollera nu den andra urbilden!

<math> \begin{array}{l@{}c@{}r} z & = & a \\ f(x,y,z) & = & x + y + z\end{array}</math>