Lösning till övning 1 - Versionshistorik

Geoba den 14 augusti 2008 kl. 07.54

Geoba — Thu, 14 Aug 2008 07:54:49 GMT

← Äldre version		Versionen från 14 augusti 2008 kl. 07.54
Rad 1:		Rad 1:
-	a) 1. Vi visar först att <math>F</math> är additiv. Av egenskaperna för ~~skalärprodukt~~ följer att	+	a) 1. Vi visar först att <math>F</math> är additiv. Av egenskaperna för vektorprodukt följer att
-	<center><math>F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{v})=(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{v})+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{v})=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).</math></center>	+	<center><math>F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\times\boldsymbol{v})=(\boldsymbol{u}_1\times\boldsymbol{v})+(\boldsymbol{u}_2\times\boldsymbol{v})=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).</math></center>
	2. Vi visar nu att <math>F</math> är homogen:		2. Vi visar nu att <math>F</math> är homogen:
-	<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}\|\boldsymbol{v})=\lambda(\boldsymbol{u}\|\boldsymbol{v})=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>	+	<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})=\lambda(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>
	Alltså <math>F</math> är både additiv och homogen och därmed linjär.		Alltså <math>F</math> är både additiv och homogen och därmed linjär.

Geoba den 14 augusti 2008 kl. 07.50

Geoba — Thu, 14 Aug 2008 07:50:13 GMT

← Äldre version		Versionen från 14 augusti 2008 kl. 07.50
Rad 12:		Rad 12:
	<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>		<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>

-	c) <math>F</math> är ej linjär:	+	c) <math>F</math> är ej linjär. Vi visar att <math>F</math> inte är additiv:
	<center><math>\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2) =((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2\\ &=\underline{(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1 +(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2+\underline{\underline{(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2}}\\ &=\underline{F(\boldsymbol{u}_1)}+\underline{\underline{F(\boldsymbol{u}_2)}}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2 \neq F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)		<center><math>\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2) =((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2\\ &=\underline{(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1 +(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2+\underline{\underline{(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2}}\\ &=\underline{F(\boldsymbol{u}_1)}+\underline{\underline{F(\boldsymbol{u}_2)}}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2 \neq F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
	\end{align}</math></center>		\end{align}</math></center>
		+
		+	Man kan också visa att <math>F</math> inte är homogen.

Geoba den 14 augusti 2008 kl. 07.47

Geoba — Thu, 14 Aug 2008 07:47:43 GMT

← Äldre version		Versionen från 14 augusti 2008 kl. 07.47
Rad 6:		Rad 6:

	b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:		b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:
-	<math>\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)	+	<center><math>\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
-	\end{align}</math>	+	\end{align}</math></center>

	och		och
Rad 13:		Rad 13:

	c) <math>F</math> är ej linjär:		c) <math>F</math> är ej linjär:
-	\begin{align}	+	<center><math>\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2) =((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2\\ &=\underline{(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1 +(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2+\underline{\underline{(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2}}\\ &=\underline{F(\boldsymbol{u}_1)}+\underline{\underline{F(\boldsymbol{u}_2)}}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2 \neq F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
-	F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)	+	\end{align}</math></center>
-	=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2\\	+
-	&=\underline{(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1	+
-	+(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2+\underline{\underline{(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2}}\\	+
-	&=\underline{F(\boldsymbol{u}_1)}+\underline{\underline{F(\boldsymbol{u}_2)}}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2	+
-	\neq F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)	+
-	\end{align}	+

Geoba den 14 augusti 2008 kl. 07.39

Geoba — Thu, 14 Aug 2008 07:39:50 GMT

← Äldre version		Versionen från 14 augusti 2008 kl. 07.39
Rad 3:		Rad 3:
	2. Vi visar nu att <math>F</math> är homogen:		2. Vi visar nu att <math>F</math> är homogen:
	<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}\|\boldsymbol{v})=\lambda(\boldsymbol{u}\|\boldsymbol{v})=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>		<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}\|\boldsymbol{v})=\lambda(\boldsymbol{u}\|\boldsymbol{v})=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>
-	Alltså <math>F</math> är både additiv och homogen och därmed linjär.	+	Alltså <math>F</math> är både additiv och homogen och därmed linjär.

	b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:		b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:
Rad 11:		Rad 11:
	och		och
	<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>		<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>
		+
		+	c) <math>F</math> är ej linjär:
		+	\begin{align}
		+	F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)
		+	=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2\\
		+	&=\underline{(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1
		+	+(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2+\underline{\underline{(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2}}\\
		+	&=\underline{F(\boldsymbol{u}_1)}+\underline{\underline{F(\boldsymbol{u}_2)}}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_1+(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{u}_2
		+	\neq F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
		+	\end{align}

Geoba den 14 augusti 2008 kl. 07.36

Geoba — Thu, 14 Aug 2008 07:36:07 GMT

← Äldre version		Versionen från 14 augusti 2008 kl. 07.36
Rad 1:		Rad 1:
-	a) ~~Se Exempel 16~~.10.	+	a) 1. Vi visar först att <math>F</math> är additiv. Av egenskaperna för skalärprodukt följer att
		+	<center><math>F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)=(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{v})=(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{v})+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{v})=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2).</math></center>
		+	2. Vi visar nu att <math>F</math> är homogen:
		+	<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}\|\boldsymbol{v})=\lambda(\boldsymbol{u}\|\boldsymbol{v})=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>
		+	Alltså <math>F</math> är både additiv och homogen och därmed linjär.

	b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:		b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:
	<math>\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)		<math>\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
	\end{align}</math>		\end{align}</math>
		+
		+	och
		+	<center><math>F(\lambda\boldsymbol{u})=(\lambda\boldsymbol{u}\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=\lambda F(\boldsymbol{u}).</math></center>

Geoba den 14 augusti 2008 kl. 07.13

Geoba — Thu, 14 Aug 2008 07:13:41 GMT

← Äldre version		Versionen från 14 augusti 2008 kl. 07.13
Rad 2:		Rad 2:

	b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:		b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:
-	\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)	+	<math>\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
-	\end{align}	+	\end{align}</math>

Geoba den 14 augusti 2008 kl. 07.13

Geoba — Thu, 14 Aug 2008 07:13:20 GMT

← Äldre version		Versionen från 14 augusti 2008 kl. 07.13
Rad 2:		Rad 2:

	b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:		b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:
-	\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=&((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=&(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)	+	\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
	\end{align}		\end{align}

Geoba den 14 augusti 2008 kl. 07.11

Geoba — Thu, 14 Aug 2008 07:11:11 GMT

← Äldre version		Versionen från 14 augusti 2008 kl. 07.11
Rad 2:		Rad 2:

	b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:		b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:
-	\begin{eqnarray*}	+	\begin{align} F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=&((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\ &=&(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
-	F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=&((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\	+	\end{align}
-	&=&(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)	+
-	\end{eqnarray*}	+

Geoba den 13 augusti 2008 kl. 13.39

Geoba — Wed, 13 Aug 2008 13:39:24 GMT

← Äldre version		Versionen från 13 augusti 2008 kl. 13.39
Rad 1:		Rad 1:
-	~~Lösning till 17~~.~~1 finns [[:Bild:tips~~.~~pdf~~\|~~här]].~~	+	a) Se Exempel 16.10.
		+
		+	b) Av räknelagarna för skalärprodukt följer att <math>F</math> är linjär:
		+	\begin{eqnarray*}
		+	F(\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)&=&((\boldsymbol{u}_1+\boldsymbol{u}_2)\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}=((\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}\\
		+	&=&(\boldsymbol{u}_1\|\boldsymbol{a})\boldsymbol{a}+(\boldsymbol{u}_2\|\boldsymbol{a}))\boldsymbol{a}=F(\boldsymbol{u}_1)+F(\boldsymbol{u}_2)
		+	\end{eqnarray*}

Tek: Ny sida: Lösning till 17.1 finns här.

Tek — Wed, 04 Jun 2008 17:00:45 GMT

Ny sida: Lösning till 17.1 finns här.

Ny sida

Lösning till 17.1 finns [[:Bild:tips.pdf|här]].