Tips och lösning till övning 7.5.4

Tips 1 Skärningspunkter är punkterna som ligger på bägge kurvorna.

Dessa kan bestämmas genom att lösa det icke-linjära ekvationssystemet

\displaystyle \begin{cases}x^2-y^2=4\\ x^2+y^2=5\end{cases}

Tips 2 Lösningar är \displaystyle x=\pm 3/\sqrt{2}, \displaystyle y=\pm 1/\sqrt{2}, vilket är fyra punkter. Vinklarna kan beräknas med hjälp av gradienten till \displaystyle f(x,y)=x^2-y^2 och \displaystyle g(x,y)=x^2+y^2.

Tips 3 \displaystyle \nabla f=(2x,-2y) och \displaystyle \nabla g=(2x,2y). Vinkeln mellan gradienterna i punkten \displaystyle (a,b) ges då av

\displaystyle \cos\theta=\frac{\nabla f\cdot\nabla g}{|\nabla f|\, |\nabla g|}

Vilket i samtliga fyra punkter ger att \displaystyle \cos\theta=2/5. Vinklarna är således \displaystyle \theta=\arccos (2/5)