Tips och lösning till övning 7.4.9

Tips 1

Uttryck \displaystyle z_x och \displaystyle z_y i \displaystyle z_u och \displaystyle z_v genom att använda kedjeregeln

Tips 2

Vi får att

\displaystyle z'_x=z'_u+\frac{1}{y}z'_v

\displaystyle z'_y=-\frac{x}{y^2}z'_v

Använd nu kedjeregeln för att bestämma andraderivatorna

\displaystyle z''_{xx}=z''_{uu}+\frac{2}{y}z''_{uv}+\frac{1}{y^2}z''_{vv}

\displaystyle z''_{xy}=-\frac{1}{y^2}z'_{v}-\frac{x}{y^2}z''_{uv}-\frac{x}{y^3}z''_{vv}

\displaystyle z''_{yy}=\frac{2x}{y^3}z'_{v}+\frac{x^2}{y^4}z''_{vv}

Använd dessa uttryck i den partiella differentialekvationen

Tips 3

\displaystyle xz''_{xy}+yz''_{yy}=-\frac{x}{y^2}z'_{v}-\frac{x^2}{y^2}z''_{uv}-\frac{x^2}{y^3}z''_{vv}+ \frac{2x}{y^2}z'_{v}+\frac{x^2}{y^3}z''_{vv}

Förenklat, och med högerledet

\displaystyle \frac{x}{y^2}z'_{v}-\frac{x^2}{y^2}z''_{uv}=\frac{x}{y^{2}}

Ekvationen blir då

\displaystyle z'_v-xz''_{uv}=1

Innan vi kan lösa ekvationen måste vi uttryck \displaystyle x i \displaystyle u och \displaystyle v.

\displaystyle z'_v-uz''_{uv}=1

Högerledet kan skrivas om med hjälp av en integrerande faktor:

\displaystyle \frac{\partial}{\partial v}(\frac{1}{u}z'_u)=-\frac{1}{u^2}

Vi får då att

\displaystyle \frac{1}{u}z'_v=\frac{1}{u}+f(v)\quad \Rightarrow\quad z'_v=1+uf(v)

Lösningen blir då

\displaystyle z=v+uF(v)+g(u).

Uttryckt i de ursprungliga variablerna: \displaystyle z(x,y)=\frac{x}{y}+xf(\frac{x}{y})+g(x). där \displaystyle f och \displaystyle g är två godtyckliga funktioner.