Tips och lösning till övning 7.4.9

Tips 1

Uttryck \displaystyle z_x och \displaystyle z_y i \displaystyle z_u och \displaystyle z_v genom att använda kedjeregeln

Tips 2

Vi får att

\displaystyle z'_x=z'_u+\frac{1}{y}z'_v

\displaystyle z'_y=-\frac{x}{y^2}z'_v

Använd nu kedjeregeln för att bestämma andraderivatorna

\displaystyle z''_{xx}=z''_{uu}+\frac{2}{y}z''_{uv}+\frac{1}{y^2}z''_{vv}

\displaystyle z''_{xy}=-\frac{1}{y^2}z'_{v}-\frac{x}{y^2}z''_{uv}-\frac{x}{y^3}z''_{vv}

\displaystyle z''_{yy}=\frac{2x}{y^3}z'_{v}+\frac{x^2}{y^4}z''_{vv}

Använd dessa uttryck i den partiella differentialekvationen

Tips 3

\displaystyle xz''_{xy}+yz''_{yy}=-\frac{x}{y^2}z'_{v}-\frac{x^2}{y^2}z''_{uv}-\frac{x^2}{y^3}z''_{vv}+ \frac{2x}{y^2}z'_{v}+\frac{x^2}{y^3}z''_{vv}

Förenklat

\frac{x}{y^{2}}

\displaystyle (6-5a+a^2)z''_{uu}+(12-5(a+b)+2ab)z''_{uv}+(6-5b+b^2)z''_{vv}

Välj \displaystyle a och \displaystyle b så att detta uttryck förenklas. Lösningar till andragradsekvationen \displaystyle x^2-5x+6=0 är \displaystyle x=2 och \displaystyle x=3. Vi kan då välja \displaystyle a=2 och \displaystyle b=3. (Skulle vi kunna valt bägge att bli lika?) Ekvationen blir då

\displaystyle -z''_{uv}=2x

Innan vi kan lösa ekvationen måste vi uttryck \displaystyle x i \displaystyle u och \displaystyle v.

\displaystyle -z''_{uv}=6u-4v

Lös ekvationen, \displaystyle z'_u=-6uv+2v^2+f_1(u), och \displaystyle z(u,v)=-3u^2v+2v^2u+F_1(u)+f_2(v) Där \displaystyle F_1 och \displaystyle f_2 är två godtyckliga funktioner, byt tillbaks:

\displaystyle z(x,y)=-3(x+2y)^2(x+3y)+2(x+3y)^2(x+2y)+f(x+2y)+g(x+3y) där \displaystyle f och \displaystyle g är två godtyckliga funktioner.