6.1 Partiella derivator

Övning 7.1.1

Beräkna de partiella derivatorna \displaystyle f'_x och \displaystyle f'_y då

a) \displaystyle f(x,y)=x+xy^3+x^5y^2+y^4.

b) \displaystyle f(x,y)=(x^2y^3+y)^3.

c) \displaystyle f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}.

Övning 7.1.2

Beräkna de partiella förstaderivatorna då

a) \displaystyle f(x,y)=e^{x^2}\arctan (xy).

b) \displaystyle f(x,y)=x^y.

c) \displaystyle f(x,y,z)=z\arctan\frac{y}{x}.

Övning 7.1.3

Beräkna de partiella förstaderivatorna då (\displaystyle \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}))

a) \displaystyle f(\mathbf{x})=|\mathbf{x}|.

b) \displaystyle f(\mathbf{x})=|\mathbf{x}|^{2}.

c) \displaystyle f(\mathbf{x})=\ln (1+|\mathbf{x}|).

Övning 7.1.4

Givet att \displaystyle f(x,y)=e^{x/y} beräkna \displaystyle yf'_{x}+xf'_{y}

Övning 7.1.5

Verifiera att \displaystyle f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}löser den partiella differentialekvationen

\displaystyle yf'_{x}-xf'_{y}=0