Tips och lösning till övning 15.1.3
SamverkanFlervariabelanalysLIU
Tips 1
Börja med att rita sfären och cylindern. Bestäm var cylindern skär sfären. Beräkna cylinderns volym \displaystyle V_1 samt volymen \displaystyle V_2från cylindern ut till sfären.
Tips 2
Cylindern och sfären skär varandra då \displaystyle y=\pm\sqrt{8}.
Cylinderns volym \displaystyle V_1=2\pi\sqrt{8}=4\pi\sqrt{2}.
På grund av symmetrin får vi att
V_2=\int_{y=\sqrt{8}}^{y=3} \left(\int\int_{x^2+z^2\leq 9-y^2}1\,dxdz\right)\,dy
där vi för varje fixt \displaystyle y mellan cylindern och sfären integrerar över en cirkelskiva med centrum i origo och radien \displaystyle \sqrt{9-z^2} . Rita cirkelskivan i figuren och byt till polära koordinater.
Tips 3 Integralen blir
V_2=\int_{y=\sqrt{8}}^{y=3} \left(\int\int_{x^2+z^2\leq 9-y^2}1\,dxdz\right)\,dy = \int_{y=\sqrt{8}}^{y=3} \int_0^{\theta}\int_0^{\sqrt{9-y^2}}1\,drd\theta dy
