Tips och lösning till övning 13.4.3b
SamverkanFlervariabelanalysLIU
Tips 1
Integralen är generaliserad eftersom området är obegränsat. Bilda en uttömmande följd av kompakta rektanglar \displaystyle \Omega med sidorna \displaystyle 1\leq x\leq R_1 och \displaystyle 1\leq y\leq R_2.
Dubbelintegralen över \displaystyle \Omega kan nu beräknas som en itererad integral.
Tips 2
Dubbelintegralen över \displaystyle \Omega är
\displaystyle \iint_{\Omega}\frac{y-x}{(x+y)^3}dxdy = \int_1^{R_1}\left(\int_1^{R_2}\frac{y-x}{(x+y)^3}\,dy\right)\,dx = \int_1^{R_1}\left( \frac{x}{(x+R_2)^2} - \frac{1}{x+R_2} + \frac{1}{1+x} - \frac{x}{(1+x)^2}\right)\,dx
Tips 3
enligt
\iint_{\Omega}(1-x^{2}-y^{2})e^{-x^{2}-y^{2}}\,dxdy = \left(\int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{R} r(1-r^{2})e^{-r^{2}}\,dy\right).
För att beräkna den sista integralen så kan det vara lämpligt med ett variabelbyte \displaystyle t=r^2 och sen använda partiell integration. Vi får också ta gränsvärdet då \displaystyle R\rightarrow\infty innan vi får ett värde på den givna integralen.
