SamverkanFlervariabelanalysLIU

Integranden är \displaystyle f(x,y)=1, så integralen kan tolkas geometriskt som arean av ellipsen \displaystyle D.

Några förslag på att beräkna arean hos ellipsen \displaystyle D:

1. Från linjär algebran: variabelbytet \displaystyle \xi=x/a och \displaystyle \eta=y/b visar att matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1/a&0\\0&1/b\end{array}\right) avbildar ellipsen \displaystyle D på enhetscirkeln $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$. Determinanten för \displaystyle A anger förhållandet mellan måttet för det nya objektet som är ellipsen och måttet för det gamla objektet som är enhetscirkeln, så att $$|dete A|=\frac{\mbox{måttet för det nya objektet}}{\mbox{måttet för

   det gamla objektet}}=\frac{\mbox{cirkelns area}}{\mbox{ellipsens area}},$$

dvs

\displaystyle \mbox{ellipsens area}=\frac{\mbox{cirkelns area}}{|\det A|}=\frac{\pi}{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}}=\pi ab.