6.8 Lokala extrempunkter: nödvändiga villkor

Övning 7.8.1

Avgör med hjälp av definitionen om följande funktioner har lokalt maximum, lokalt minimum eller en sadelpunkt i origo.

a) \displaystyle f(x,y)=f(x,y)=\cos(x^2+y^2)

b) \displaystyle f(x,y)=x^5+y^6

c) \displaystyle f(x,y,z)=xyz

Övning 7.8.2

Avgör karaktären hos följande kvadratiska former

a) \displaystyle Q(h,k)=h^2+hk+k^2

b) \displaystyle Q(h,k)=hk

c) \displaystyle Q(h,k)=h^2+6hk-k^2

Övning 7.8.3

Avgör karaktären hos följande kvadratiska former

a) \displaystyle Q(h,k,l)=h^2+k^2

b) \displaystyle Q(h,k,l)=h^2+2k^2+2l^2+2hl-2hk+4kl

c) \displaystyle Q(h,k,l)=(h-k)^2+(k-l)^2-(l-h)^2

Övning 7.8.4

Bestäm alla lokala extrempunkter till funktionerna

a) \displaystyle f(x,y)=2x^3-6xy+3y^2

b) \displaystyle f(x,y)=\ln(x^2+y^2)-x-2y

c) \displaystyle f(x,y)=xye^{-(x^2+y^2)/2}

Övning 7.8.5

Bestäm alla lokala extrempunkter till funktionerna

a) \displaystyle f(x,y)=x\sin y

b) \displaystyle f(x,y,z)=e^{x^2+y^2+z^2}

c) \displaystyle f(x,y,z)=xy+xz

Övning 7.8.6

Visa att en harmonisk funktion \displaystyle f, d.v.s. \displaystyle f''_{xx}+f''_{yy}=0, som inte är konstant inte kan ha lokala maximi eller minimipunkter, utan endast sadelpunkter.