6.5 Gradienten

Övning 7.5.1

Beräkna gradienten till \displaystyle f då

a) \displaystyle f(x,y)=x^2+y^3+y^4

b) \displaystyle f(x,y)=\arcsin(xy)

c) \displaystyle f(x,y)=y\tan(x)

Övning 7.5.2

Beräkna gradienten till \displaystyle f då

a) \displaystyle f(x,y,z)=xyz

b) \displaystyle f(x,y,z)=x\arctan(y/z)

c) \displaystyle f(x,y,z)=(x^{y})^{z}

Övning 7.5.3

Beräkna gradienten till \displaystyle f då (\displaystyle \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},\dots x_{n}))

a) \displaystyle f(\mathbf{x})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}, där \displaystyle \mathbf{a} är den konstanta vektorn \displaystyle \mathbf{a}=(a_1,a_2,\dots, a_n)\in\mathbb{R}^n

b) \displaystyle f(\mathbf{x})=|\mathbf{x}|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}

c) \displaystyle f(\mathbf{x})=\frac{x_{1}}{|\mathbf{x}|}

Övning 7.5.4

Bestäm skärningspunkter mellan kurvorna \displaystyle x^2-y^2=4 och \displaystyle x^2+y^2=5. Bestäm också vinklarna mellan kurvorna i skärningspunkterna.

Övning 7.5.5

Bestäm om möjligt en funktion \displaystyle f(x,y) som löser ekvationen \displaystyle \nabla f=\mathbf{A} då

a) \displaystyle \mathbf{A}=(y^2,\ 2xy)

b) \displaystyle \mathbf{A}=(2y^2,\ 2xy)

c) \displaystyle \mathbf{A}=(\cos(xy)-xy\sin(xy),\ -x^{2}\sin(xy))