6.1 Partiella derivator

Övning 7.1.1

Beräkna de partiella derivatorna \displaystyle f'_x och \displaystyle f'_y då

a) \displaystyle f(x,y)=x+xy^3+x^5y^2+y^4.

b) \displaystyle f(x,y)=(x^2y^3+y)^3.

c) \displaystyle f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}.

Övning 7.1.2

Beräkna de partiella förstaderivatorna då

a) \displaystyle f(x,y)=e^{x^2}\arctan (xy).

b) \displaystyle f(x,y)=x^y.

c) \displaystyle f(x,y,z)=z\arctan\frac{y}{x}.

Övning 7.1.3

Beräkna de partiella förstaderivatorna då (\displaystyle \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}))

a) \displaystyle f(\mathbf{x})=|\mathbf{x}|.

b) \displaystyle f(\mathbf{x})=|\mathbf{x}|^{2}.

c) \displaystyle f(\mathbf{x})=\ln (1+|\mathbf{x}|).

Övning 7.1.4

Givet att \displaystyle f(x,y)=e^{x/y} beräkna \displaystyle yf'_{x}+xf'_{y}

Övning 7.1.5

Verifiera att \displaystyle f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}löser den partiella differentialekvationen \displaystyle yf'_{x}-xf'_{y}=0

Övning 7.1.6

Laplaces ekvation i planet är \displaystyle z''_{xx}+z''_{yy}=0. Funktioner \displaystyle z(x,y) som uppfyller Laplaces ekvation kallas harmoniska. Verifiera att följande funktioner är harmoniska.

a) \displaystyle f(x,y)=5(x^2-y^2)+4xy +3x+2y.

b) \displaystyle f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} då \displaystyle (x,y)\not= (0,0).

c) \displaystyle f(x,y)=\arctan (y/x) då \displaystyle x\not= 0.

Övning 7.1.7

Bestäm alla funktioner \displaystyle f(x,y) sådana att

a) \displaystyle \begin{cases} f'_x = 3x+y\\f'_y = x+3y \end{cases} .

b) \displaystyle \begin{cases} f'_x=\frac{y}{x^2+y^2}\\ f'_y=-\frac{x}{x^2+y^2} \end{cases} .

c) \displaystyle \begin{cases} f'_x=\sin(xy)\\ f'_y=\sin(x+y)\end{cases} .

Övning 7.1.8

Bestäm alla funktioner \displaystyle f(x,y) sådana att

a) \displaystyle f'_x=0 .

b) \displaystyle f''_{xx}=0 .

c) \displaystyle f''_{xy}=0.

Övning 7.1.9

Bestäm alla funktioner \displaystyle f(x,y) sådana att

a) \displaystyle f'_{x}=2xy.

b) \displaystyle f''_{xy}=\sin x.

c) \displaystyle f'''_{xyx}=0.

Övning 7.1.10

   Givet
   

\displaystyle f(x,y)=

   \begin{cases}
     \frac{xy^3}{x^2+y^2}& \mbox{då}\ (x,y)\not= (0,0)\\
     0 & \mbox{då } (x,y)=(0,0).
   \end{cases}

   Visa att \displaystyle f''_{xy}(0,0) och \displaystyle f''_{yx}(0,0) båda existerar och
   \displaystyle f''_{xy}(0,0)\not= f''_{yx}(0,0).