12.3 Variabelbyte i dubbelintegraler

Övning 13.3.1

Beräkna integralerna

a) \displaystyle \iint_D \frac{1}{1+x^2+y^2} dxdy då \displaystyle D är enhetscirkeln

b) \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx

c) \displaystyle \iint_D xydxdy då \displaystyle D är området som begränsas av cirkeln \displaystyle (x+2)^2+(y-1)^2=4

Övning 13.3.2

Beräkna integralerna

a) \displaystyle \iint_De^{x^{2}+2y^{2}}dxdy då \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 2x^2+4y^2\le 1\}

b) \displaystyle \iint_D (x^{2}+2y^{2})dxdy då \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : 2(x-1)^2+4(y+1)^2\le 1\}

c) \displaystyle \iint_D (x^{2}+y^{2})dxdy där \displaystyle D är området i första kvadranten som begränsas av kurvorna \displaystyle x^{2}-y^{2}=1, \displaystyle x^{2}-y^{2}=4, \displaystyle xy=1 och \displaystyle xy=4

Övning 13.3.3

Beräkna integralen \displaystyle \iint_D (x-y)^{3}(3x-y)^{4}dxdy då \displaystyle D är parallellogrammet med hörn i punkterna (-1,-2), (0,1), (2,1) och (3,4).

Övning 13.3.4

Beräkna integralen \displaystyle \iint_D \frac{x^{2}}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}dxdydär \displaystyle D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:\ x^{2}+y^{2}\leq 4,\ |y|\leq \sqrt{3}\, x \}

Övning 13.3.5

Beräkna integralen \displaystyle \iint_{D}y^{2}dxdy där \displaystyle D är området som begränsas av linjerna \displaystyle xy=1, \displaystyle xy=2, \displaystyle y=x och \displaystyle y=2x