8.3 Implicit givna funktioner

Övning 9.3.1

Avgör för vilka av följande funktioner som ekvationen \displaystyle f(x,y)=0 definierar \displaystyle y som en funktion av \displaystyle x i de angivna punkterna, bestäm även i förekommande fall \displaystyle y' i angivna punkter

a) \displaystyle f(x,y)=x^2-xy+y^2-3 i punkten \displaystyle (1,2)

b) \displaystyle f(x,y)=x\cos(xy) i punkten \displaystyle (1,\pi/2)

c) \displaystyle f(x,y)=x^5 +y^5+xy+1 i punkten \displaystyle (1,-1)

Övning 9.3.2

Avgör för vilka av följande funktioner som ekvationen \displaystyle f(x,y,z)=0 definierar \displaystyle y som en funktion av \displaystyle x och \displaystyle z i de angivna punkterna, bestäm även i förekommande fall \displaystyle y'_x och \displaystyle y'_z i angivna punkter

a) \displaystyle f(x,y,z)=x+y+z+\cos (xyz) i punkten \displaystyle (0,-1,0)

b) \displaystyle f(x,y,z)=x\cos(xyz) i punkten \displaystyle (1,1,\pi/2)

c) \displaystyle f(x,y,z)=x+y+z-e^{xyz} i punkten \displaystyle (0,0,1)

Övning 9.3.3

Vi har en nivåkurva \displaystyle \sin(x+y)=xy+2x.

a) Visa att kurvan definierar \displaystyle y som en funktion av \displaystyle x nära punkten \displaystyle (0,0). Bestäm också \displaystyle y'(0)

b) Bestäm Taylorpolynomet av \displaystyle y(x) kring origo med termer upp till och med ordning två.

Övning 9.3.4

Avgör om ekvationen \displaystyle x+y+z=\sin(xyz) definierar \displaystyle z som en funktion av \displaystyle x och \displaystyle y i en omgivning av origo. Bestäm om så är fallet Taylorutvecklingen av \displaystyle z t.o.m. ordning 2 kring origo.

Övning 9.3.5

Givet ekvationerna

\displaystyle \begin{cases} x+y+z=6\\ xyz=6 \end{cases}

a) Avgör om ekvationerna definierar \displaystyle x och \displaystyle z som en funktion av \displaystyle y i en omgivning av punkten \displaystyle (1,2,3).

b) Bestäm \displaystyle x(2), \displaystyle z(2), \displaystyle x'(2) och \displaystyle z'(2).

c) Ekvationen ger en kurva, bestäm tangenten till kurvan i punkten \displaystyle (1,2,3).

Övning 9.3.6

Givet ekvationerna

\displaystyle \begin{cases} y^{2}+z^{2}=1\\ xy=1\end{cases}

a) Avgör om ekvationerna definierar \displaystyle x och \displaystyle y som en funktion av \displaystyle z i en omgivning av punkten \displaystyle (1,1,0).

b) Bestäm \displaystyle x(0), \displaystyle y(0), \displaystyle x'(0), \displaystyle y'(0), \displaystyle x''(0) och \displaystyle y''(0)

c) Ekvationen ger en kurva, bestäm Taylorutvecklingen av \displaystyle x(z) och \displaystyle y(z) av grad 2 i en omgivning av punkten \displaystyle z=0