2.2 Mängder

Övning 3.2.1

Skissa parablerna.

a) \displaystyle y=2(x+1)^2.

b) \displaystyle x=2y^2.

Övning 3.2.2

Skissa ellipserna

a) \displaystyle 4x^2+\frac{1}{9}y^2=1.

b) \displaystyle \frac{(x+1)^2}{9}+\frac{(y-2)^2}{4}=1.

c) \displaystyle x^2+y^2+2x-4y=1

Övning 3.2.3

Skissa hyperblerna

a) \displaystyle x^2-y^2=1.

b) \displaystyle 4x^2-\frac{1}{9}y^2=1.

c) \displaystyle 4x^2-\frac{1}{9}y^2=-1

Övning 3.2.4

Rita följande mängder

a) \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, 4x^2+\frac{1}{9}y^2<1\}.

b) \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ 4x^2+\frac{1}{9}y^2\ge 1\}.

c) \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, x\le 2y^2\}

Övning 3.2.5

Rita följande mängder

a) \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, x^2-y^2>1,\ 2x-y<3 ,\ x>0\}

b) \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, y< x,\ x^2+y^2\le 1\}

c) \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, 4x^2+\frac{1}{9}y^2<1,\ y\ge -x\}

Övning 3.2.6

Rita följande mängder

a) \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, |x+y|\le 2 \}

b) \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, |x|+|y|\le 2\}

c) \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, \max(|x|,|y|)\le 1\}

Övning 3.2.7

Rita följande mängder

a) \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, x^2+y^2<2<4-x^2-y^2+2x+4y\}

b) \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, 4\le x^2+y^2\le 9,\ x\le y\le 3x\}

c) \displaystyle \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\, x^2-y^2>4,\ x^2-y^2<9,\ xy>1,\ xy<4\}

Övning 3.2.8

Bestäm randen, inre punkter och yttre punkter till mängderna i 3.2.4. Avgör också vilka av mängderna som är öppna, slutna och kompakta.

Övning 3.2.9

Beskriv följande mängder analytiskt.

a)

b)

c)

Övning 3.2.10

Rita följande mängder i \displaystyle \mathbb{R}^3

a) \displaystyle \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\, x+y+z\le 2,\ x\ge 0,\ y\ge 0,\ z\ge 0\}

b) \displaystyle \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\, x^2+y^2+z^2= 1,\ z\ge 0,\ y>0\}

c) \displaystyle \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\, x^2+y^2+z^2\le 1,\ z\ge 0,\ y>0\}

Övning 3.2.11

Rita följande mängder i \displaystyle \mathbb{R}^3

a) \displaystyle \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\, x^2+y^2\le z\le 2\}

b) \displaystyle \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\, x^2+y^2\le z\le \sqrt{2-x^2-y^2}\}

c) \displaystyle \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:\, x^2+y^2\le z\le 1\}

d) \displaystyle x+y+z=2,\ x^2+y^2+z^2= 2. Om man lyser på kurvan från spetsen av \displaystyle z-axeln vad blir skuggan i \displaystyle xy-planet?

Övning 3.2.12

Beskriv mängderna

a) \displaystyle x=3\cos\theta,\ y=2\sin\theta då \displaystyle 0\le\theta\le\frac{\pi}{2}.

b) \displaystyle x=3\cos\theta,\ y=2\sin\theta då \displaystyle 0\le\theta\le\pi.