6.1 Partiella derivator
SamverkanFlervariabelanalysLIU
| Rad 67: | Rad 67: | ||
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 7.1.5|Tips och lösning|Tips och lösning till övning 7.1.5}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 7.1.5|Tips och lösning|Tips och lösning till övning 7.1.5}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ===Övning 7.1.6=== | ||
| + | Laplaces ekvation i planet är <math>z''_{xx}+z''_{yy}=0</math>. | ||
| + | Funktioner <math>z(x,y)</math> som uppfyller Laplaces ekvation kallas harmoniska. | ||
| + | Verifiera att följande funktioner är harmoniska. | ||
| + | |||
| + | a) <math>f(x,y)=5(x^2-y^2)+4xy +3x+2y</math>. | ||
| + | |||
| + | b) <math>f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}</math> då <math>(x,y)\not= (0,0)</math>. | ||
| + | |||
| + | c) <math>f(x,y)=\arctan (y/x)$ då $x\not= 0</math>. | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 7.1.6|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 7.1.6a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 7.1.6b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 7.1.6c}} | ||
Versionen från 5 juli 2013 kl. 09.08
| 6.1 | 6.2 | 6.3 | 6.4 | 6.5 | 6.6 | 6.7 | 6.8 |
Övning 7.1.1
Beräkna de partiella derivatorna \displaystyle f'_x och \displaystyle f'_y då
a) \displaystyle f(x,y)=x+xy^3+x^5y^2+y^4.
b) \displaystyle f(x,y)=(x^2y^3+y)^3.
c) \displaystyle f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}.
Hämtar...
Övning 7.1.2
Beräkna de partiella förstaderivatorna då
a) \displaystyle f(x,y)=e^{x^2}\arctan (xy).
b) \displaystyle f(x,y)=x^y.
c) \displaystyle f(x,y,z)=z\arctan\frac{y}{x}.
Övning 7.1.3
Beräkna de partiella förstaderivatorna då (\displaystyle \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3}))
a) \displaystyle f(\mathbf{x})=|\mathbf{x}|.
b) \displaystyle f(\mathbf{x})=|\mathbf{x}|^{2}.
c) \displaystyle f(\mathbf{x})=\ln (1+|\mathbf{x}|).
Övning 7.1.5
Verifiera att \displaystyle f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}löser den partiella differentialekvationen \displaystyle yf'_{x}-xf'_{y}=0
Övning 7.1.6
Laplaces ekvation i planet är \displaystyle z''_{xx}+z''_{yy}=0. Funktioner \displaystyle z(x,y) som uppfyller Laplaces ekvation kallas harmoniska. Verifiera att följande funktioner är harmoniska.
a) \displaystyle f(x,y)=5(x^2-y^2)+4xy +3x+2y.
b) \displaystyle f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2} då \displaystyle (x,y)\not= (0,0).
c) \displaystyle f(x,y)=\arctan (y/x)$ då $x\not= 0.
</div>
