4.1 Gränsvärden
SamverkanFlervariabelanalysLIU
| (4 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 12: | Rad 12: | ||
a) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\ln(x^2+y^2)</math>. | a) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\ln(x^2+y^2)</math>. | ||
| - | b) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to( | + | b) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{xy-1}{y-1}</math>. |
| - | c) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to( | + | c) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x-y}{y-1}</math>. |
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 5.1.1|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 5.1.1a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 5.1.1b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 5.1.1c}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 5.1.1|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 5.1.1a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 5.1.1b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 5.1.1c}} | ||
| Rad 23: | Rad 23: | ||
Avgör om följande gränsvärden existerar. | Avgör om följande gränsvärden existerar. | ||
| - | a) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to( | + | a) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x^2-2x+1}{xy-2x-y+2}</math>. |
b) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-2y^2}{2x^2+y^2}</math>. | b) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-2y^2}{2x^2+y^2}</math>. | ||
| Rad 29: | Rad 29: | ||
c) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^3-xy^2}{x^2+y^2-xy}</math>. | c) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^3-xy^2}{x^2+y^2-xy}</math>. | ||
| - | d) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to(0, | + | d) Beräkna <math>\lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{xy^2-2xy+x}{2x^2+y^2-2y+1}</math>. |
</div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 5.1.2|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 5.1.2a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 5.1.2b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 5.1.2c|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till övning 5.1.2d}} | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 5.1.2|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 5.1.2a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 5.1.2b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 5.1.2c|Tips och lösning till d)|Tips och lösning till övning 5.1.2d}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 5.1.3=== | ||
| + | Avgör om följande gränsvärden existerar. | ||
| + | |||
| + | a) Beräkna <math>\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\frac{\sin(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}</math>. | ||
| + | |||
| + | b) Beräkna <math>\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\frac{x+2y+3z^2}{x^2+y^2+z^2}</math>. | ||
| + | |||
| + | c) Beräkna <math>\lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\frac{x^{3}+2y^{4}+3z^5}{x^2+y^2+z^2}</math>. | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 5.1.3|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 5.1.3a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 5.1.3b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 5.1.3c}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 5.1.4=== | ||
| + | Avgör om följande gränsvärden existerar. | ||
| + | |||
| + | a) Beräkna <math>\lim_{x^2+y^2\to \infty }xye^{-x^2-y^2}</math>. | ||
| + | |||
| + | b) Beräkna <math>\lim_{x^2+y^2\to \infty } xye^{-x-y}</math>. | ||
| + | |||
| + | c) Beräkna <math>\lim_{x^2+y^2\to \infty } \frac{xy}{x^2+y^2}</math>. | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 5.1.4|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 5.1.4a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 5.1.4b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 5.1.4c}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <div class="ovning"> | ||
| + | ===Övning 5.1.5=== | ||
| + | Avgör om följande gränsvärden existerar. | ||
| + | |||
| + | a) Beräkna <math>\lim_{x^2+y^2\to \infty }\frac{xy}{(x^2+y^2)^2+x^2y^2}</math>. | ||
| + | |||
| + | b) Beräkna <math>\lim_{x^2+y^2\to \infty }\frac{\sin xy}{x^2+y^2}</math>. | ||
| + | |||
| + | c) Beräkna <math>\lim_{x^2+y^2\to \infty }xye^{-x^2y^2}</math>. | ||
| + | |||
| + | </div>{{#NAVCONTENT:Svar|Svar Övning 5.1.5|Tips och lösning till a)|Tips och lösning till övning 5.1.5a|Tips och lösning till b)|Tips och lösning till övning 5.1.5b|Tips och lösning till c)|Tips och lösning till övning 5.1.5c}} | ||
Nuvarande version
| 4.1 | 4.2 |
Övning 5.1.1
Avgör om följande gränsvärden existerar.
a) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)\ln(x^2+y^2).
b) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{xy-1}{y-1}.
c) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{x-y}{y-1}.
Hämtar...
Övning 5.1.2
Avgör om följande gränsvärden existerar.
a) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{x^2-2x+1}{xy-2x-y+2}.
b) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-2y^2}{2x^2+y^2}.
c) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^3-xy^2}{x^2+y^2-xy}.
d) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,1)}\frac{xy^2-2xy+x}{2x^2+y^2-2y+1}.
Övning 5.1.3
Avgör om följande gränsvärden existerar.
a) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\frac{\sin(x^2+y^2+z^2)}{x^2+y^2+z^2}.
b) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\frac{x+2y+3z^2}{x^2+y^2+z^2}.
c) Beräkna \displaystyle \lim_{(x,y,z)\to (0,0,0)}\frac{x^{3}+2y^{4}+3z^5}{x^2+y^2+z^2}.
Övning 5.1.4
Avgör om följande gränsvärden existerar.
a) Beräkna \displaystyle \lim_{x^2+y^2\to \infty }xye^{-x^2-y^2}.
b) Beräkna \displaystyle \lim_{x^2+y^2\to \infty } xye^{-x-y}.
c) Beräkna \displaystyle \lim_{x^2+y^2\to \infty } \frac{xy}{x^2+y^2}.
Övning 5.1.5
Avgör om följande gränsvärden existerar.
a) Beräkna \displaystyle \lim_{x^2+y^2\to \infty }\frac{xy}{(x^2+y^2)^2+x^2y^2}.
b) Beräkna \displaystyle \lim_{x^2+y^2\to \infty }\frac{\sin xy}{x^2+y^2}.
c) Beräkna \displaystyle \lim_{x^2+y^2\to \infty }xye^{-x^2y^2}.
