Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Invarianter av den typ som vi introducerat ovan är mycket användbara när vi vill studera partikelsönderfall och relativistiska kollisioner av partiklar som bland annat förekommer vid ...

Mustafa Al-Abaychi — Fri, 26 Jan 2018 13:45:50 GMT

Ny sida: Invarianter av den typ som vi introducerat ovan är mycket användbara när vi vill studera partikelsönderfall och relativistiska kollisioner av partiklar som bland annat förekommer vid ...

Ny sida

Invarianter av den typ som vi introducerat ovan är mycket användbara när vi vill studera partikelsönderfall och relativistiska kollisioner av partiklar som bland annat förekommer vid partikelacceleratorer som Large Hadron Collider vid CERN.

'''Sönderfall''' [sec:sonderfall]

Vi börjar med att studera en sönderfallande partikel med massan <math display="inline">M</math> och antar att denna sönderfaller till två partiklar med massorna <math display="inline">m_1</math> respektive <math display="inline">m_2</math>. I ett godtyckligt inertialsystem kan vi beteckna den ursprungliga partikelns energi <math display="inline">E</math> och dess rörelsemängd <math display="inline">p</math> samtidigt som vi betecknar dotterpartiklarnas energier <math display="inline">E_1</math> respektive <math display="inline">E_2</math> och deras rörelsemängder <math display="inline">p_1</math> respektive <math display="inline">p_2</math>. Energins och rörelsemängdens bevarande talar nu om för oss att energin före sönderfallet är lika med energin efter 
<math display="block">E = E_1 + E_2</math> 
samt att rörelsemängden före sönderfallet är lika med rörelsemängden efter 
<math display="block">p = p_1 + p_2.</math> 
Samtidigt vet vi att 4-rörelsemängderna <math display="inline">P = (E,pc)</math>, <math display="inline">P_1 = (E_1,p_1c)</math> och <math display="inline">P_2 = (E_2,p_2c)</math> alla transformerar enligt den allmänna lorentztransformationen vid byte av inertialsystem. Vi kan använda oss av detta för att dra fysikaliska slutsatser från beräkningen av ett antal invarianter.

[ex:partikelsonderfall] '''En partikel sönderfaller''' 
Bevarandet av rörelsemängd och energi leder till att <math display="inline">P = (E,pc) = (E_1+E_2,p_1c + p_2c) = P_1 + P_2</math>. Om vi nu beräknar invarianten <math display="inline">P\cdot P</math> erhålls 
<math display="block">P\cdot P = E^2 - p^2 c^2 = M^2 c^4,</math> 
vilket vi redan är bekanta med. Genom att uttrycka ett av våra <math display="inline">P</math> i termer av energin och rörelsemängden efter sönderfallet får vi också 
<math display="block">P\cdot P = E(E_1 + E_2) - c^2 p(p_1 + p_2) = M^2 c^4.</math> 
Eftersom det rör sig om en invariant så beror dess värde inte på vilket inertialsystem som används för att beräkna den. Speciellt kan vi beräkna invarianten i den ursprungliga partikelns vilosystem där <math display="inline">p = 0</math> och <math display="inline">E = Mc^2</math>, vilket ger 
<math display="block">M^2 c^4 = Mc^2 (m_1c^2\gamma_1 + m_2c^2\gamma_2) \quad \Longrightarrow \quad
M= m_1 \gamma_1 + m_2 \gamma_2 ,</math> 
där <math display="inline">\gamma_1</math> och <math display="inline">\gamma_2</math> är dotterpartiklarnas lorentzfaktorer i detta system. Eftersom <math display="inline">\gamma_i \geq 1</math> erhålls därigenom 
<math display="block">M \geq m_1 + m_2,</math> 
det vill säga för att sönderfallet ska kunna inträffa är summan av dotterpartiklarnas massor maximalt lika med den sönderfallande partikelns massa.

Ibland sönderfaller partiklar inte bara till två dotterpartiklar utan till tre eller fler. Samma idé går då att applicera på sådana sönderfall och den viktiga punkten är att både rörelsemängden och energin måste bevaras samt att vi kan skapa invarianta storheter som antar samma värde i alla inertialsystem.

'''En maximal elektronenergi''' 
Vi kan studera neutronsönderfallet <math display="inline">n \to p + e^- + \nu</math> där en neutron <math display="inline">n</math> sönderfaller till en proton <math display="inline">p</math>, en elektron <math display="inline">e^-</math> och en neutrino <math display="inline">\nu</math>. Vi kan notera alla 4-rörelsemängder <math display="inline">P_i = (E_i, \vec p_i)</math> där <math display="inline">i</math> överallt kan bytas ut mot motsvarande partikelbeteckning.

Bevarandet av rörelsemängd och energi ger oss nu att 
<math display="block">P_n = (E_n,\vec p_n) = (E_p+E_e+E_\nu,\vec p_p + \vec p_e + \vec p_\nu) = P_p + P_e + P_\nu.</math> 
Vi kan ställa oss frågan vad den maximala energin hos elektronen som sönderfallet resulterar i är i neutronens vilosystem. Detta kan lösas genom att vi subtraherar <math display="inline">P_e</math> på båda sidor av rörelsemängdens och energins bevarande och får 
<math display="block">P = P_n - P_e = (E_n-E_e, \vec p_n - \vec p_e) = P_p + P_\nu,</math> 
där <math display="inline">P</math> är skillnaden mellan neutronens och elektronens 4-rörelsemängder. I neutronens vilosystem gäller att <math display="inline">E_n = m_n c^2</math>, <math display="inline">\vec p_n = 0</math> samt att <math display="inline">E_e</math> är den sökta elektronenergin. Vi beräknar nu 
<math display="block">P\cdot P = (m_n c^2 - E_e)^2 - \vec p_e^{\,2} = m_n^2 c^4 - 2E_e m_nc^2 + m_e^2 c^4.</math> 
På grund av rörelsemängden och energins bevarande vet vi att detta också kan beräknas enligt 
<math display="block">P\cdot P = (P_p + P_\nu) \cdot (P_p + P_\nu),</math> 
men eftersom <math display="inline">P\cdot P</math> är en invariant behöver vi inte beräkna detta i samma inertialsystem eftersom en invariant har samma värde i alla inertialsystem. Vi kan därför välja att i stället beräkna högerledet i protonens vilosystem <math display="inline">S'</math> där <math display="inline">E'_p = m_p c^2</math>, <math display="inline">\vec p_p = 0</math> vilket ger 
<math display="block">P\cdot P = (m_pc^2 + E'_\nu)^2 - \vec p_\nu^{\,2} = m_p^2 c^4 + 2E'_\nu m_p c^2 + m_\nu^2 c^4,</math> 
där vi kan lösa ut 
<math display="block">E_e = \frac{m_n^2 c^4 - (m_p^2 c^4 + 2E'_\nu m_p c^2 + m_\nu^2 c^4)}{2m_n c^2}.</math> 
Eftersom <math display="inline">E'_\nu = m_\nu \gamma c^2 \geq m_\nu c^2</math> kan detta skrivas som en olikhet 
<math display="block">E_e \leq \frac{m_n^2 c^4 - (m_p c^2 + m_\nu c^2)^2}{2m_n c^2}.</math> 
Även om neutriner har en nollskild massa (en upptäckt som resulterade i Nobelpriset 2015) är denna så liten att den oftast är praktiskt sett försumbar. I dessa situationer kan vi approximera resultatet genom att sätta <math display="inline">m_\nu \simeq 0</math> och då i stället erhålla 
<math display="block">E_e \lesssim \frac{m_n^2 c^2 - m_p^2 c^2}{2m_n}.</math> 

'''Kollisioner'''

Energin och rörelsemängden bevaras inte bara i partikelsönderfall utan även då partiklar kolliderar med varandra, som exempelvis vid partikelacceleratorn LHC vid CERN, men det finns även andra tillämpningar där relativitetsteori kan appliceras. Grundprincipen är att summan av de inkommande rörelsemängderna och energierna alltid måste vara lika med de utgående. Schematiskt kan vi skriva detta som 
<math display="block">E_{\rm in} = E_{\rm ut} \quad \mbox{och} \quad \vec p_{\rm in} = \vec p_{\rm ut}.</math> 
Om vi har två partiklar som kolliderar och kollisionen resulterar i tre andra partiklar så kommer detta kunna skrivas 
<math display="block">E_1 + E_2 = E_3 + E_4 + E_5, \quad \vec p_1 + \vec p_2 = \vec p_3 + \vec p_4 + \vec p_5,</math> 
där vi betecknar de inkommande partiklarna 1 och 2 och de utgående 3 till 5. Motsvarande samband kan också ställas upp med andra antal inkommande och utgående partiklar.

Ett vanligt förekommande specialfall inträffar då vi har två inkommande och två utgående partiklar, så kallad ''2-till-2-spridning'', se figur [[#fig:2till2|[fig:2till2]]].

Om vi återigen betecknar de inkommande partiklarna 1 och 2 och de utgående 3 och 4 så ges rörelsemängdens och energins bevarande av sambandet 
<math display="block">P_1 + P_2 = P_3 + P_4,</math> 
där <math display="inline">P_i = (E_i, p_i c)</math> är 4-rörelsemängden för partikel <math display="inline">i</math>. Genom att lägga till eller dra bort 4-rörelsemängder på båda sidor av likheten kan vi erhålla andra samband som alla transformerar enligt den allmänna lorentztransformationen. Exempelvis kan vi dra bort <math display="inline">P_3</math> från båda sidorna och på så sätt erhålla 
<math display="block">P_1 + P_2 - P_3 = (E_1+E_2-E_3,\vec p_1 + \vec p_2 - \vec p_3) = P_4 = (E_4, \vec p_4).</math> 
Genom att studera invarianten <math display="inline">P_4 \cdot P_4</math> kan vi sluta oss till att 
<math display="block">P_4\cdot P_4 = m_4^2 c^4 = (E_1+E_2-E_3)^2 - (\vec p_1 + \vec p_2 - \vec p_3)^2.</math> 
Det går också alldeles utmärkt att använda sig av sambandet 
<math display="block">P_i \cdot (P_j + P_k) = P_i \cdot P_j + P_i \cdot P_k</math> 
vilket följer ur <math display="block">\begin{aligned}
(E_i, \vec p_i c) \cdot (E_j+E_k,\vec p_j+ \vec p_k) &= E_i(E_j + E_k) - \vec p_i \cdot (\vec p_j + \vec p_k) \nonumber \\
&= (E_i E_j - \vec p_i \cdot \vec p_j) + (E_i E_k - \vec p_i \cdot \vec p_k) \nonumber \\
&= P_i\cdot P_j + P_i \cdot P_k.\end{aligned}</math> Med hjälp av detta kan vi skriva om <math display="block">\begin{aligned}
P_4 \cdot P_4 &= (P_1+P_2-P_3)\cdot(P_1+P_2-P_3) \nonumber \\
&= P_1\cdot P_1 + P_2\cdot P_2 + P_3\cdot P_3 +2P_1\cdot P_2 - 2P_1 \cdot P_3 - 2P_2\cdot P_3 \nonumber \\
&= (m_1^2 + m_2^2 + m_3^2)c^4 + 2(P_1 \cdot P_2 - P_1 \cdot P_3 - P_2\cdot P_3).\end{aligned}</math> Alla de tre kvarvarande invarianterna kan här beräknas i godtyckligt inertialsystem just eftersom de är invarianter.

'''Comptonspridning''' 
Typexemplet på en 2-till-2-kollision är så kallad ''comptonspridning'' där en foton med en given energi <math display="inline">E_0</math> kolliderar med en elektron i vila i laboratoriesystemet <math display="inline">S</math> och resulterar i att fotonen deflekteras med en vinkel <math display="inline">\theta</math>, se figur [[#fig:compton|[fig:compton]]].

Vi ställer oss frågan vad den nya fotonens energi är i <math display="inline">S</math> och kan direkt applicera ovanstående resonemang. Vi låter den inkommande fotonen vara partikel 1 och den utgående partikel 3 medans den ursprungliga elektronen är partikel 2 och den utgående är partikel 4. Detta leder till att <math display="inline">m_1 = m_3 = 0</math> och att <math display="inline">m_2 = m_4 = m_e</math> där <math display="inline">m_e</math> är elektronmassan. Vår argumentation leder nu till att 
<math display="block">m_e^2 c^4 = m_e^2 c^4 + 2(P_1 \cdot P_2 - P_1 \cdot P_3 - P_2 \cdot P_3)
\quad \Longrightarrow \quad
P_1 \cdot P_2 = (P_1 + P_2) \cdot P_3.</math> 
Då vi är ute efter att uttrycka <math display="inline">E</math> i termer av <math display="inline">E_0</math> beräknar vi alla dessa storheter i systemet <math display="inline">S</math> där 
<math display="block">P_1 = (E_0, \vec p_1), \quad P_2 = (m_ec^2, 0), \quad P_3 = (E, \vec p_3).</math> 
Vi noterar även att i detta inertialsystem har rörelsemängderna <math display="inline">\vec p_1</math> och <math display="inline">\vec p_3</math> komponenterna 
<math display="block">p_{1x} = E_0, \ p_{1y} = 0, \ p_{1z} = 0 \ p_{3x} = E\cos(\theta), \ p_{3y} = E\sin(\theta), \ p_{3z} = 0.</math> 
Detta leder till <math display="block">\begin{aligned}
P_1 \cdot P_2 &= E_0 m_ec^2 = (P_1+P_2)\cdot P_3 = [(E_0 + m_ec^2) - E_0 \cos(\theta)]E \nonumber \\
&= E[m_ec^2 + E_0(1-\cos(\theta))].\end{aligned}</math> Löser vi ut <math display="inline">E</math> ur detta erhålls 
<math display="block">E = \frac{E_0}{1 + \frac{E_0}{m_ec^2}[1-\cos(\theta)]}.</math> 
Detta uttryck kallas för comptonformeln och verifierades experimentellt 1923 av Arthur Holly Compton, efter vilken formeln uppkallats. För detta tilldelades Compton Nobelpriset år 1927.

'''Sammanfattning:'''

* Energin och rörelsemängden för ett objekt i inertialsystemen <math display="inline">S</math> och <math display="inline">S'</math> förhåller sig till varandra enligt <math display="block">E' = \gamma \left(E - \frac{v}{c} pc\right) \quad \mbox{och} \quad
p'c = \gamma \left(pc - \frac{v}{c} E\right).</math> Detta är ''lorentztransformationen för energi och rörelsemängd''.
* Om storheterna <math display="inline">k_0</math> och <math display="inline">k_1</math> transformeras enligt <math display="block">k_0' = \gamma \left(k_0 - \frac{v}{c} k_1\right) \quad \mbox{och} \quad
k_1' = \gamma \left(k_1 - \frac{v}{c} k_0\right)</math> vid byte av inertialsystem sägs de uppfylla den ''allmänna lorentztransformationen''. Ett sådant par av storheter kan med fördel skrivas som <math display="inline">k = (k_0,k_1)</math>.
* För energin <math display="inline">E</math> och rörelsemängden <math display="inline">p</math> hos ett objekt definierar vi ''4-rörelsemängden'' <math display="inline">P = (E,pc)</math> som uppfyller den allmänna lorentztransformationen.
* Om två par av storheter <math display="inline">k = (k_0,k_1)</math> och <math display="inline">q = (q_0,q_1)</math> uppfyller den allmänna lorentztransformationen så gäller att <math display="block">k\cdot q = k_0 q_0 - k_1 q_1 = k'_0 q'_0 - k'_1 q'_1 = k'\cdot q'.</math> Storheten <math display="inline">k\cdot q</math> beror därför inte på vilket inertialsystem det evalueras i och kallas för en ''invariant''.
* Vi kan med fördel använda oss av invarianter för att studera sönderfall och kollisioner med hjälp av relativitetsteori.

9.2 - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Invarianter av den typ som vi introducerat ovan är mycket användbara när vi vill studera partikelsönderfall och relativistiska kollisioner av partiklar som bland annat förekommer vid ...