Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Vi ska nu diskutera den relativistiska mekanikens revision av massa, energi och rörelsemängd. Vi ska börja med att diskutera rörelsemängd. Som vi ska se kommer denna analys även att l...

Mustafa Al-Abaychi — Fri, 26 Jan 2018 13:44:00 GMT

Ny sida: Vi ska nu diskutera den relativistiska mekanikens revision av massa, energi och rörelsemängd. Vi ska börja med att diskutera rörelsemängd. Som vi ska se kommer denna analys även att l...

Ny sida

Vi ska nu diskutera den relativistiska mekanikens revision av massa, energi och rörelsemängd. Vi ska börja med att diskutera rörelsemängd. Som vi ska se kommer denna analys även att leda till revisionen av energi och massa. I förra avsnittet fann vi att invariansen hos bevarandelagen för rörelsemängden beror på galileitransformationen. När vi i relativitetsteorin ersätter denna med lorentztransformationen kommer rörelsemängdens bevarande inte att gälla, åtminstone inte om vi definierar rörelsemängden på samma sätt som tidigare. Detta betyder att den klassiska mekanikens grunder behöver revideras. Vi ställer några grundläggande krav på den relativistiska mekaniken:

* Teorin ska stämma med experiment både vid låga och höga relativa hastigheter.
* Vid låga hastigheter fungerar klassiska mekanik bra, så denna gräns ska vara inbyggd.
* Bevarandelagar ska gälla även i relativitetsteorin.

Vi ska börja med att analysera varför den klassiska definitionen av rörelsemängd, <math display="inline">p=m\,dx/dt</math>, inte fungerar inom relativitetsteorin. I det ickerelativistiska exemplet ovan med kolliderande partiklar fann vi att rörelsemängden bevaras i alla inertialsystem. Rörelsemängdens bevarande betyder att <math display="inline">p</math> har samma värde före och efter en kollision, oberoende av val av inertialsystem. Klassiskt beror invariansen hos rörelsemängdens bevarande på att <math display="inline">dx' = dx - v\, dt</math> leder till att <math display="inline">p' = dx'/dt = p - mv</math> där <math display="inline">mv</math> enbart är en konstant som inte påverkar rörelsemängdens förändring, det vill säga <math display="inline">dp' = dp</math>. Om vi försöker göra motsvarande argumentation när vi bytt ut galileitransformationen mot lorentztransformationen stöter vi på ett par problem. Till att börja med är tiden inte längre lorentzinvariant och om vi deriverar med avseende på en tid i ett specifikt inertialsystem kommer denna att bero på vilket inertialsystem vi väljer. För att komma runt detta behöver tidsintervallet <math display="inline">dt</math> i definitionen av rörelsemängden ersättas med ett invariant tidsintervall som vi nu ska konstruera.

Relativitetsteorin har ett mycket användbart uttryck för avståndet mellan händelser. Det rumsliga avståndet i kvadrat mellan två punkter med separationsvektor <math display="inline">(\Delta x,\Delta y,\Delta z)</math> i det tredimensionella rummet ges av <math display="inline">\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2</math> och är invariant under galileitransformationer, det vill säga uttrycket har samma värde efter en galileitransformation till ett nytt koordinatsystem. Tidsavståndet i kvadrat mellan två händelser, <math display="inline">\Delta t^2</math>, är också invariant under en galileitransformation enligt antagandet om absolut tid. Inget av dessa avståndsmått blir invariant i relativitetsteorin, eftersom lorentztransformationen blandar tids- och rumskoordinaterna. I relativitetsteorin konstrueras ett nytt invariant avståndsbegrepp som innehåller både tids- och rumskoordinaterna. Relativitetsteorins invarianta rumtidsintervall skrivs <math display="inline">\Delta s</math> och definieras genom 
<math display="block">(\Delta s)^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2.</math> 
Till skillnad från avståndsformeln i tredimensionella rummet innehåller detta uttryck även minustecken, men det är precis vad som krävs av invarians under lorentztransformationen <math display="inline">c\Delta t'=\gamma(c\Delta t-v\Delta x/c)</math>, <math display="inline">\Delta x'=\gamma(\Delta x-v\Delta t)</math>, <math display="inline">\Delta y'=\Delta y,</math> <math display="inline">\Delta z'=\Delta z</math>. Härledning: <math display="block">\begin{aligned}
(\Delta s')^2
=&(c\Delta t')^2-\Delta x'^2-\Delta y'^2-\Delta z'^2
\nonumber
\\
=&\gamma^2[(c\Delta t-v\Delta x/c)^2-(\Delta x-v\Delta t)^2]
-\Delta y^2-\Delta z^2
\nonumber
\\
=&\gamma^2[c^2\Delta t^2+\Delta x^2v^2/c^2-2\Delta t\Delta xv
\nonumber
\\
&
-\Delta x^2-v^2\Delta t^2+2\Delta t\Delta xv]-\Delta y^2-\Delta z^2
\nonumber
\\
=&(c\Delta t)^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2
\nonumber
\\
=&(\Delta s)^2.\end{aligned}</math>

Det invarianta rumtidsintervallet kan skrivas om som ett invariant tidsintervall. Först bryter vi ut den gemensamma faktorn <math display="inline">\Delta t</math>. Sedan låter vi <math display="inline">\Delta t</math> vara mycket litet och skriver det då som <math display="inline">dt</math>. Dividera slutligen med den invarianta ljushastigheten <math display="inline">c</math>. Vi får då ett invariant tidsintervall som skrivs <math display="inline">d\tau</math> och ges av 
<math display="block">d\tau^2 = dt^2\left(1-\frac{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2}{c^2}\right)
=\frac{dt^2}{\gamma^2},</math> 
där <math display="inline">\tau</math> är egentiden som infördes tidigare när vi diskuterade tidsdilatation som tiden i vilosystemet. Detta ger tidsdilatationsformeln på formen <math display="inline">dt=\gamma \, d\tau</math>. Division med <math display="inline">d\tau</math> ger derivatan 
<math display="block">\frac{dt}{d\tau} = \gamma</math> 
som vi kommer att använda ofta.

I och med konstruktionen av det invarianta tidsintervallet <math display="inline">d\tau</math> kan vi ta oss runt det första problemet med att definiera den relativistiska rörelsemängden, att <math display="inline">dt</math> inte var invariant under lorentztransformationer. Vi ersätter därför <math display="inline">dt</math> med <math display="inline">d\tau</math> och definierar den ''relativistiska rörelsemängden''[def:rorelsemangd] i <math display="inline">x</math>-riktningen enligt 
<math display="block">\label{eq:relativistiskrorelsemangd}
p = m \frac{dx}{d\tau} = m \frac{dt}{d\tau}\frac{dx}{dt} = \gamma mv,</math> 
där <math display="inline">v = dx/dt</math> och vi använt kedjeregeln för derivering.<ref>Den hastighetsberoende kombinationen <math display="inline">\gamma m</math> kallas ibland för den relativistiska massan och skiljs från <math display="inline">m</math> som då kallas vilomassan. Detta begrepp förekommer ofta i äldre litteratur men leder många gånger till missuppfattningar. Vi kommer därför inte att använda detta begrepp utan reserverar <math display="inline">m</math> för den invarianta vilomassan.</ref> För rörelse i tre dimensioner blir <math display="inline">(p_x,p_y,p_z)= \gamma m (v_x,v_y,v_z)</math>. Den relativistiska rörelsemängden övergår i det klassiska uttrycket <math display="inline">p=mv</math> för små hastigheter då <math display="inline">\gamma\approx 1</math>, vilket är ett krav på den relativistiska definitionen.

Om denna definition leder till att rörelsemängdens bevarande är invariant under lorentztransformationer så är definitionen rimlig. Låt oss därför kontrollera om detta är sant. Vi börjar med att uttrycka rörelsemängden i inertialsystemet <math display="inline">S'</math> som rör sig med hastigheten <math display="inline">v</math> relativt <math display="inline">S</math> enligt 
<math display="block">p' = m \frac{dx'}{d\tau} = \left[ \gamma m \frac{dx}{d\tau} - \gamma mv \frac{dt}{d\tau}\right],</math> 
där vi har uttryckt <math display="inline">dx'</math> i termer av <math display="inline">dx</math> och <math display="inline">dt</math> med hjälp av lorentztransformationen. Sätter vi nu in definitionen av den relativistiska rörelsemängden i <math display="inline">S</math> i detta uttryck erhålls 
<math display="block">p' = \gamma \left[ p - v m\frac{dt}{d\tau}\right].</math> 
Vi kan nu kontrollera om rörelsemängdens bevarande är invariant. I en kollision mellan två objekt sätter vi deras rörelsemängder i <math display="inline">S</math> innan kollisionen till <math display="inline">p_{1,\rm in}</math> och <math display="inline">p_{2,\rm in}</math> och efter till <math display="inline">p_{1,\rm ut}</math> och <math display="inline">p_{2,\rm ut}</math>. Om rörelsemängden är bevarad i <math display="inline">S</math> gäller därför att 
<math display="block">p_{1,\rm in} + p_{2,\rm in} = p_{1,\rm ut} + p_{2,\rm ut}.</math> 
Om vi nu utgår från summan av rörelsemängderna i <math display="inline">S'</math> innan kollisionen erhåller vi <math display="block">\begin{aligned}
p'_{1,\rm in} + p'_{2,\rm in} &= \gamma \left[p_{1,\rm in} + p_{2,\rm in} - v \left(m_1 \frac{dt}{d\tau_{1,\rm in}} + m_2 \frac{dt}{d\tau_{2,\rm ut}}\right)\right] \nonumber \\
&=
\gamma \left[p_{1,\rm ut} + p_{2,\rm ut} - v \left(m_1 \frac{dt}{d\tau_{1,\rm in}} + m_2 \frac{dt}{d\tau_{2,\rm in}}\right)\right],\end{aligned}</math> där vi använt oss av rörelsemängdens bevarande i <math display="inline">S</math>. Jämför vi detta med den totala rörelsemängden i <math display="inline">S'</math> efter kollisionen erhålls <math display="block">\begin{aligned}
p'_{\rm tot,ut} - p'_{\rm tot, in} &= p'_{1,\rm ut} + p'_{2,\rm ut} - p'_{1,\rm in} - p'_{2,\rm in}\nonumber \\
&= \gamma v \left[ m_1\left(\frac{dt}{d\tau_{1,\rm in}}- \frac{dt}{d\tau_{1,\rm ut}}\right) + m_2 \left(\frac{dt}{d\tau_{2,\rm in}} - \frac{dt}{d\tau_{2,\rm ut}}\right)\right].\end{aligned}</math> För att den relativistiska rörelsemängden ska vara bevarad även i <math display="inline">S'</math> krävs således att högerledet här är lika med noll. Detta går att lösa om vi förutom rörelsemängdens bevarande också antar att summan av storheten <math display="inline">m\, dt/d\tau = \gamma m</math> för de olika objekten är bevarad i <math display="inline">S</math>, det vill säga 
<math display="block">m_1 \frac{dt}{d\tau_{1,\rm in}} + m_2 \frac{dt}{d\tau_{2,\rm in}} = m_1 \frac{dt}{d\tau_{1,\rm ut}} + m_2 \frac{dt}{d\tau_{2,\rm ut}}.</math> 
Vi ska strax tolka denna nya bevarandelag.

'''Bevarande av relativistisk rörelsemängd''' 
För att se hur den relativistiska rörelsemängdens bevarande fungerar ska vi studera ett exempel. Två identiska partiklar rör sig längs <math display="inline">z</math>-axlarna i var sitt inertialsystem <math display="inline">S</math> och <math display="inline">S'</math>. Partikel 1 har hastighet <math display="inline">u</math> i <math display="inline">S'</math>, och partikel 2 har hastighet <math display="inline">-u</math> i <math display="inline">S</math>. Inertialsystemen <math display="inline">S</math> och <math display="inline">S'</math> har relativ hastighet <math display="inline">v</math> i <math display="inline">x</math>-riktningen. När origo i <math display="inline">S</math> och <math display="inline">S'</math> sammanfaller kolliderar partiklarna och fastnar i varandra, så att den sammansatta partikeln efter kollisionen har rörelsemängden noll i <math display="inline">z</math>-riktningen. Kravet på bevarandet av rörelsemängd i detta exempel är att totala rörelsemängden i <math display="inline">z</math>-riktningen innan kollisionen är noll i alla inertialsystem. Observerat från <math display="inline">S'</math> blir hastigheten i <math display="inline">z</math>-led hos partikeln som rör sig längs <math display="inline">z</math>-axeln i S 
<math display="block">u'=\frac{dz'}{dt'}=\frac{dz}{\gamma dt}=-\frac{u}{\gamma(v)},</math> 
där <math display="inline">dz'=dz</math> enligt lorentztransformationen, och tidsdilatationen ger <math display="inline">dt'=\gamma(v) dt</math>. Innan kollisionen har partiklarna rörelsemängderna 
<math display="block">p_1=\gamma(u)mu
\;,\;
p_2=\gamma(w)mu'=-\frac{\gamma(w)}{\gamma(v)}mu,</math> 
där <math display="inline">w</math> är totala hastigheten hos partikel 2. Låt nu <math display="inline">u</math> vara så liten att vi kan sätta <math display="inline">\gamma(u)=1</math> och <math display="inline">\gamma(w)=\gamma(v)</math>. Då blir <math display="inline">p_1+p_2=0</math> innan kollisionen och bevarandet fungerar. Detta visar att <math display="inline">\gamma</math> behövs i definitionen <math display="inline">p=\gamma mv</math> för att kompensera för tidsdilatation.

Resonemanget ovan visar att kravet på invarians hos rörelsemängdsbevarande leder till en bonus i form av en ny bevarandelag för storheten <math display="inline">\gamma m</math> som vi nu ska studera mer i detalj. Av skäl som snart klarnar inför vi storheten 
<math display="block">E = \gamma mc^2 ,</math> 
som enbart skiljer sig ifrån <math display="inline">\gamma m</math> med den konstanta faktorn <math display="inline">c^2</math>. För låga hastigheter <math display="inline">v \ll c</math> gäller nu att 
<math display="block">E \approx mc^2 \left(1 + \frac{v^2}{2c^2}\right) = mc^2 + \frac{mv^2}{2}.</math> 
Termerna i högerledet är energin <math display="inline">mc^2</math> som vi konstruerade i exemplet med Einsteins låda, och den andra termen känns igen som den klassiska rörelseenergin. Vi kan därför tolka den nya bevarade storheten som en energi. I vila är <math display="inline">v = 0</math> och <math display="inline">\gamma=1</math>, och energin kallas ''viloenergin''[def:viloenergi] 
<math display="block">E = mc^2.</math> 
Bevarandelagen vi förutom rörelsemängdens bevarande i <math display="inline">S</math> behöver för att rörelsemängdens bevarande ska vara invariant är alltså inget annat än energins bevarande!

'''<math display="inline">\boldsymbol{E=mc^2}</math> ger bränsle till stjärnorna''' 
Innan relativitetsteorin var stjärnljus ett mysterium. Varifrån kommer den enorma energin som utstrålas i miljarder år? Förklaringen finns i Einsteins låda som visar att massa kan omvandlas till strålningsenergi enligt <math display="inline">E=mc^2</math>. Från satellitmätningar kan den totala effekten, eller energin som utstrålas per sekund, från vår sol uppskattas till <math display="inline">3.86\cdot 10^{26}</math> W (<math display="inline">1~\mbox{W} = 1~\mbox{J/s}</math>). Energin kommer från fusionsreaktioner i solens kärna. Nettoresultatet av en komplex reaktionskedja är att fyra protoner går ihop till en heliumkärna (alfapartikel) varpå massan minskar med 0.7 %. Massan som omvandlas till energi per sekund kan ur <math display="inline">m = E/c^2</math> uppskattas till fyra miljarder kilo varje sekund. Det kommer att ta ungefär 5 miljarder år innan protonerna tar slut och fusionsreaktionen slocknar. Som jämförelse kan nämnas den mest kraftfulla explosion som orsakats av människor, den sovjetiska vätebomben Tsar Bomba som sprängdes 1961, var på 50 megaton TNT eller <math display="inline">210\cdot 10^{15}</math> J.

[ex:emc2karnkraft] '''<math display="inline">\boldsymbol{E=mc^2}</math> ger bränsle till kärnkraft''' 
I ett kärnkraftverk kommer energin från en fissionsreaktion. Fusion innebär en sammanslagning av partiklar, medan fission innebär en klyvning av atomkärnan. I kärnkraftverk är bränslet uran som består av en blandning av isotoperna U-238 och U-235. U-235-atomer genomgår de fissionsreaktionerna som genererar energin. Kärnan, som består av protoner och neutroner, är instabil och sönderfaller genom att skicka ut neutroner. När neutronerna träffar andra uranatomer splittras även dessa vilket leder till en kedjereaktion som gör fissionsreaktionen självgående. Uranbränslet i reaktorn har form av pellets som packas inuti rör och placeras i en bassäng med vatten. För att kontrollera kärnreaktionen används kontrollstavar som kan skjutas in mellan bränslestavarna och då absorberar delar av neutronstrålningen som upprätthåller kedjereaktionen. Fissionsreaktionen omvandlar en liten andel viloenergi till värmeenergi enligt <math display="inline">E=mc^2</math>. Denna värme används för att koka vatten till ånga. Ångan driver en turbin som roterar en generator som genererar elektricitet. Om man någon gång i framtiden kan åstadkomma kontrollerad fusionskraft så kan det lösa problemet med energiförsörjningen eftersom fusion frigör enorma energier. Bränslet är väte som finns i vatten och är inte radioaktivt. Trots betydande forskningsansträngningar har svårigheterna hittills överträffat förväntningarna och även om framsteg gjorts kommer det troligen att ta ganska lång tid innan detta problem är löst.

Vi ska nu analysera <math display="inline">E=\gamma mc^2</math> och komma fram till ännu en ny invariant. Ur det invarianta rumtidsintervallet <math display="inline">\Delta s</math> som ger avståndet mellan händelser kan en ny invariant kvantitet konstrueras. Ovan visades att det invarianta tidsintervallet <math display="inline">d\tau</math> uppfyller 
<math display="block">dt^2 (1-v^2/c^2)=d\tau^2.</math> 
Division med <math display="inline">d\tau^2</math> och multiplikation med <math display="inline">m^2c^2</math> ger 
<math display="block">\left(\frac{dt}{d\tau}\right)^2 (m^2c^2-m^2v^2)=m^2c^2.</math> 
Med <math display="inline">\gamma=dt/d\tau</math> fås 
<math display="block">\gamma^2m^2c^2 - p^2 = m^2c^2,</math> 
där <math display="inline">p^2=\gamma^2 m^2 v^2</math> är längden i kvadrat av rörelsemängdsvektorn <math display="inline">(p_x,p_y,p_z)</math>. Med <math display="inline">E=\gamma mc^2</math> fås 
<math display="block">E^2 - p^2c^2 = m^2c^4 .</math> 
Högerledet är en konstant vars värde inte ändras vid lorentztransformationer. Alltså är uttrycket i vänsterledet en invariant som antar samma värde i alla inertialsystem, trots att både energi och rörelsemängd är systemberoende. Utöver det invarianta rumtidsintervallet har vi nu konstruerat en ny invariant: ''energi-rörelsemängdsinvarianten''[def:energirorelsemangd] <math display="inline">m^2c^4</math>. Genom att lösa ut <math display="inline">E</math> fås ett nytt uttryck för den relativistiska energin 
<math display="block">E= \gamma mc^2 = \sqrt{p^2c^2+m^2c^4}.</math> 
Vi har redan sett att den relativistiska energin för låga hastigheter kan approximeras enligt 
<math display="block">E = mc^2 + \frac{mv^2}{2} = mc^2 + \frac{p^2}{2m},</math> 
där den andra termen är den klassiska kinetiska energin. I den relativistiska gränsen <math display="inline">v\approx c</math> är det klassiska uttrycket för kinetisk energi inte längre användbart och den relativistiska kinetiska energin definieras i stället som den totala energin minus viloenergin, det vill säga 
<math display="block">T=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}-mc^2=(\gamma-1)mc^2.</math> 
Vid små hastigheter approximeras denna mycket väl med den klassiska kinetiska energin <math display="inline">T=p^2/(2m)</math>.

Den relativistiska rörelselagen ser likadan ut som i det klassiska fallet: 
<math display="block">F = \frac{dp}{dt}</math> 
med den viktiga skillnaden att det är den relativistiska rörelsemängden <math display="inline">p=\gamma mv</math> som ingår. Rörelselagen innehåller rörelsemängdens bevarande: om <math display="inline">F=0</math> så beror <math display="inline">p</math> inte på tiden <math display="inline">t</math>.

Relativitetsteorins förutsägelse om att rörelsemängd och energi innehåller lorentzfaktorn har bekräftats direkt i många experiment. En tidig bekräftelse kom i experiment med elektronstrålar i elektriska och magnetiska fält av Kaufmann, Bucherer och andra. En praktisk tillämpning av relativitetsteorin sker dagligen i en modern variant av dessa experiment i den gamla sortens tjock-TV monitorer och i oscilloskop. Dessa innehåller ett katodstrålerör som är en elektronaccelerator från vilken elektronstrålen genererar en bild när den träffar pixlar på en fluorescerande skärm. Deflektionsmagneterna som riktar strålen mot rätt punkt på bildskärmen är konstruerade med hänsyn taget till relativistiska korrektioner.

[ex:katodstraleror] '''Katodstrålerör''' 
I ett katodstrålerör accelereras en elektron över spänningen <math display="inline">V=35</math> kV. Vad blir elektronens sluthastighet klassiskt och relativistiskt? 
(a) Räkna först klassiskt. Kraften på elektronen är <math display="inline">F=eE</math> där <math display="inline">e=1.6\cdot 10^{-19}</math> C är elektronladdningen och <math display="inline">E</math> är elektriska fältet. Arbetet att flytta elektronen sträckan <math display="inline">x</math> är <math display="inline">W=Fx=eEx=eV</math> där <math display="inline">V=Ex</math> är spänningen. Energins bevarande ger att ändringen i rörelseenergi är lika med arbetet: <math display="inline">\frac{1}{2}mv^2=eV</math> där <math display="inline">m=9.1\cdot 10^{-31}</math> kg är elektronmassan. Detta ger sluthastigheten <math display="inline">v=\sqrt{2eV/m}=
1.109\cdot 10^8</math> m/s vilket är ungefär <math display="inline">c/3</math>. Vid dessa hastigheter är relativistiska effekter inte försumbara och behöver tas med. 
(b) Räkna relativistiskt. Elektronens massa ges av viloenergin <math display="inline">mc^2=511</math> keV (1 eV=e J) och efter att ha accelererats i fältet <math display="inline">35</math> kV får elektronen kinetiska energin 35 keV. Detta ger <math display="inline">(\gamma-1)511=35</math> och <math display="inline">\gamma=1.068</math> samt <math display="inline">v=c\sqrt{1-1/\gamma^2}=1.056\cdot 10^8</math> m/s vilket är 5% mindre än den klassiska hastigheten i (a). Om den relativistiska effekten försummas kan därför inte elektronstrålen riktas mot rätt pixel och bilden blir oskarp.

'''Relativistiska lerklumpar''' 
(a) Två lerklumpar med massa <math display="inline">m=1</math> kg kolliderar. Kollisionen analyseras i ett inertialsystem där hastigheterna är lika stora, <math display="inline">v=0.1c</math> och motriktade. Efter kollisionen antas klumparna gå ihop till en sammansatt lerklump som står helt stilla. Efter kollisionen får den sammansatta lerklumpen en massa som klassiskt blir <math display="inline">M=2m</math>, men detta är inte vad som händer relativistiskt. Antag att klumpen inte strålar ut någon värmeenergi. Då omvandlas den inkommande kinetiska energin till viloenergi efter kollisionen så att <math display="inline">\gamma 2mc^2=Mc^2</math>. Detta ger massan efter kollisionen till <math display="inline">M=\gamma 2m=2m/\sqrt{1-0.1^2}=2.01</math> kg som är större än <math display="inline">2m</math>. 
(b) Vid normala kollisionshastigheter blir massökningen försumbar. Med <math display="inline">v=100</math> m/s blir massökningen <math display="inline">M-2m=(\gamma-1)2m\approx 10^{-13}</math> kg.

'''Dynamit''' 
När ett kilo dynamit exploderar frigörs ungefär energin <math display="inline">5\cdot 10^6</math> J. Explosionen är en kemisk process där en liten del viloenergi omvandlas till kinetisk energi och ljus. Minskningen i massa fås direkt ur <math display="inline">E=mc^2</math> som ger <math display="inline">m=E/c^2=5\cdot 10^6/(3\cdot 10^8)^2=6\cdot 10^{-11}</math> kg vilket inte är mätbart. Lagen om bevarande av massa inom kemin uppfylls alltså inte exakt men ger en mycket användbar approximation. Om hela dynamitmassan skulle kunna omvandlas blir energin <math display="inline">E=mc^2=1\cdot (3\cdot 10^8)^2=9\cdot 10^{16}</math> J, vilket ungefär motsvarar energiåtgången per år för samtliga vägtransporter i Sverige.

'''Masslösa partiklar'''

Vi ska nu visa att masslösa partiklar färdas med ljusets hastighet. Energi-rörelsemängdsinvarianten med <math display="inline">m=0</math> visar att för masslösa partiklar är sambandet mellan energi och rörelsemängd 
<math display="block">E = \sqrt{p^2c^2 + m^2 c^4} = pc.</math> 
Division av relationerna <math display="inline">p=\gamma m v</math> och <math display="inline">E=\gamma m c^2</math> ger 
<math display="block">v=\frac{pc^2}{E},</math> 
eftersom den gemensamma faktorn <math display="inline">\gamma m</math> kancellerar. Med <math display="inline">m=0</math> och <math display="inline">E=pc</math> blir hastigheten <math display="inline">v=pc^2/pc=c</math>. Alltså rör sig masslösa partiklar alltid med ljushastigheten. Ett exempel är ljus som består av masslösa partiklar som kallas fotoner och studeras inom kvantfysik. Detta är inte helt oväntat eftersom vi i exemplet med Einsteins låda använde att sambandet <math display="inline">E=pc</math> gäller för ljus enligt Maxwells ekvationer. Förutsägelsen att ljus består av partiklar gjordes 1905 av Einstein i uppsatsen om fotoelektriska effekten.

'''Hastighetsgränsen'''

En viktig förutsägelse inom relativitetsteorin är att ljushastigheten <math display="inline">c</math> även är en hastighetsgräns för relativ rörelse och en övre gräns för att skicka materia, signaler och information. I den klassiska fysiken finns ingen hastighetsgräns så detta är en avgörande skillnad mot relativitetsteorin. Vi har redan sett att masslösa partiklar alltid färdas med ljushastigheten. Vad gäller för massiva partiklar? I klassisk fysik kan i princip obegränsade hastigheter uppnås enligt Newtons rörelselag genom att accelerera partiklar i kraftfält: om <math display="inline">F</math> är en konstant kraft blir <math display="inline">F=\dot{p}\Rightarrow v=p/m=Ft/m</math> som växer obegränsat med tiden <math display="inline">t</math>. I relativitetsteorin används i stället den relativistiska kraftlagen och den relativistiska energin <math display="inline">E=\gamma mc^2</math>. Om hastigheten <math display="inline">v</math> hos ett fysikaliskt objekt observerat från ett inertialsystem närmar sig ljushastigheten <math display="inline">c</math> ökar lorentzfaktorn obegränsat, <math display="inline">\gamma\to \infty</math>. Det skulle därför krävas obegränsat med energi för att accelerera massiva partiklar till ljusets hastighet. Alltså kan varken masslösa eller massiva partiklar ha hastigheter större än ljusets hastighet som därmed är en hastighetsgräns. Den relativistiska hastighetsgränsen sätter en gräns för hur snabbt ett rymdskepp kan färdas. Tiden att nå närmsta stjärna bortanför solen, Proxima Centauri blir minst 4 år och tiden för att nå närmsta granngalax Andromedagalaxen blir minst 2.5 miljoner år.

Experiment som påvisar en hastighetsgräns fanns inte på Newtons tid, men är vanliga idag. Hastighetsgränsen bekräftas rutinmässigt i många olika sorters experiment. Det mest slående är moderna partikelacceleratorer. Otaliga acceleratorexperiment bekräftar att partiklar inte kan accelereras till hastigheter större än ljushastigheten. I CERN:s stora accelerator LHC (Large Hadron Collider) accelereras protoner i en ring med 27 km omkrets till 99.999999 % av ljusets hastighet och kollideras med sammanlagd energi av 14 TeV <math display="inline">= 14\cdot 10^{12}</math> eV. Denna energi är ca 14000 gånger större än vad som skulle behövas enligt den klassiska mekanikens uttryck för rörelseenergin <math display="inline">E=\frac{1}{2}mv^2</math> för att accelerera protonen till ljushastigheten. Detta och många liknande experiment demonstrerar att ljusets hastighet är en hastighetsgräns för partiklar och att klassisk mekanik inte fungerar vid hastigheter nära ljushastigheten. En vanlig praktisk användning av partikelacceleratorer sker i sjukvården inom cancerbehandling. Energin för att accelerera protoner som kan tränga genom människokroppen är omkring <math display="inline">250</math> MeV och motsvarar hastigheten <math display="inline">v=0.6c</math> där relativistiska effekter är viktiga.

Hastighetsgränsen är ett förvirrande begrepp och vi ska diskutera flera exempel på hastigheter som kan vara större än <math display="inline">c</math>. Exemplen illustrerar olika aspekter av att hastigheten hos ett fysikaliskt objekt observerat från ett inertialsystem inte kan överstiga ljushastigheten.

'''Alice och Bob och hastighetsgränsen''' 
Följande exempel visar att hastighetsgränsen och hastigheter större än ljushastigheten är inte samma sak. Alice och Bob åker i var sin rymdraket i motsatt riktning med hastighet <math display="inline">v=0.8c</math> relativt Eva som är kvar på jorden. Se figur [[#fig8_2_hastighetsaddition|[fig8_2_hastighetsaddition]]].

[fig8_2_hastighetsaddition]

Enligt Eva rör sig raketerna mot varandra med hastighet <math display="inline">v=0.8c+0.8c=1.6c</math> som verkar strida mot hastighetsgränsen. Svaret är korrekt, men det är inte hastigheten hos ett fysikaliskt objekt observerat från ett inertialsystem så hastighetsgränsen gäller inte. För att bestämma Bobs hastighet observeras från Alices inertialsystem används relativistiska hastighetsadditionsformeln. Om <math display="inline">0.8c</math> är jordens hastighet relativt Alice och <math display="inline">0.8c</math> är hastigheten hos Bob relativt jorden så blir Bobs hastighet relativt Alices inertialsystem <math display="block">v=\frac{0.8c+0.8c}{1+0.8c\cdot0.8c/c^2}=0.98c,</math> som är mindre än <math display="inline">c</math>. Alltså uppfylls hastighetsgränsen.

'''Sax och hastighetsgräns''' 
(a) Den relativistiska saxen är ett vanligt exempel på hastighet större än <math display="inline">c</math>. Antag att vi har en jättesax med ett ljusår långa blad och handtag som är några cm. Detta skapar en enorm hävstång. Om saxens sluts på 0.1 s så rör sig kontaktpunkten mellan saxens blad med hastigheten 10 ljusår i sekunden som är mycket större än <math display="inline">c</math>. Detta verkar strida mot hastighetsgränsen. Vad händer? Ett svar är att kontaktpunkten mellan bladen inte är ett fysikaliskt objekt så den kan i princip röra sig snabbare än <math display="inline">c</math>. Rörelsen hos fysiska objekt, här atomerna i saxen, är långsammare än <math display="inline">c</math>. Men resonemanget är trots det inte korrekt. Antagandet att bladen sluter sig när handtagen sluts stämmer inte. Relativitetsteorin begränsar i princip signalhastigheter till högst <math display="inline">c</math>. Signalen om att saxen sluts kan inte sprida sig längs bladen snabbare än <math display="inline">c</math>. Det som händer är att bladen deformeras och deformationen sprider sig långsammare än <math display="inline">c</math>. Kontaktpunkten rör sig av detta skäl inte snabbare än <math display="inline">c</math>. Rörelsen hos atomerna i saxen håller sig inom hastighetsgränsen. För ett verkligt material sprider sig deformationer med en hastighet som är mycket mindre än <math display="inline">c</math>. Hastighetsgränsen ger en ny och begränsad innebörd åt begreppet stel kropp eftersom relativistiska deformationer i princip inte går att undvika. 
(b) Exemplet (a) kan enkelt modifieras så att det blir korrekt genom att studera ett liknande system i likformig rörelse som därmed undviker deformation. Studera två stavar som bildar vinkeln <math display="inline">\phi=1^\circ</math> och passerar varandra med hastighet <math display="inline">v=0.1c</math>. Se figur [[#fig8_stavar|[fig8_stavar]]]. Stavarna visas som tjocka blå streck. I figuren är den horisontella staven i vila och den lutande staven rör sig nedåt. Punkten där de två stavarna möts (den röda punkten i figuren) rör sig åt höger med hastigheten <math display="inline">u</math> som fås ur figuren genom <math display="inline">\cot \phi=ut/vt</math> vilket ger <math display="inline">u=0.1c \cdot \cot(1^\circ)\approx 5.7c</math>. 
(c) Det finns flera varianter av exemplet i (b). Montera en rad stroboskoplampor längs en rak linje och skicka en ljussignal längs linjen. Arrangera en mottagarkrets på varje lampa så att en ljuspuls skickas ut av lampan när ljussignalen tas emot men med en inbyggd fördröjning som minskar längs raden med lampor. Detta leder till en följd ljuspunkter som färdas snabbare än ljuset i sidled, men där ljuspunkterna från de olika stroboskoplamporna inte utgör ett enstaka fysikaliskt objekt. Denna sorts signal kan inte användas för att skicka meddelanden snabbare än <math display="inline">c</math> eftersom ljuspunkterna inte kan nå fram snabbare än den ursprungliga ljussignalen. 
(d) Ännu en variant är följande. Svep en strålkastare över himlen med vinkelhastigheten <math display="inline">180^\circ</math> per sekund så att ljusstrålen träffar månen. På månens yta som är på ungefär 400000 km avstånd blir ljuspunktens hastigheten i sidled större än <math display="inline">c</math>.

[fig8_stavar]

'''Sammanfattning:'''

* Den ''relativistiska rörelsemängden'' och ''energin'' är <math display="block">\begin{aligned}
p&=\gamma mv
\\
E&=\gamma mc^2=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}.\end{aligned}</math>
* ''Viloenergin'' är <math display="inline">E=mc^2</math>, vilket visar att massa och viloenergi är samma sak upp till en konstant.
* Den ''kinetiska energin'' är <math display="inline">T=(\gamma-1)mc^2</math>.
* ''Masslösa'' partiklar rör sig med ljusets hastighet och har energi <math display="inline">E=pc</math>.
* Den relativistiska rörelseekvationen är <math display="inline">F=dp/dt=d(\gamma mv)/dt</math>.
* Klassiskt bevaras massa, rörelsemängd och energi. Relativistiskt bevaras rörelsemängd och energi. Massa behöver inte bevaras eftersom viloenergi kan omvandlas till andra energiformer.
* Det ''invarianta rumtidsintervallet'' i kvadrat är <math display="block">(\Delta s)^2=(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2,</math> den invarianta ''energi-rörelsemängden i kvadrat'' är <math display="block">E^2-p^2c^2=m^2c^4</math> och den invarianta ''egentiden'' är <math display="block">\Delta \tau=\Delta t/\gamma.</math>

8.2 - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Vi ska nu diskutera den relativistiska mekanikens revision av massa, energi och rörelsemängd. Vi ska börja med att diskutera rörelsemängd. Som vi ska se kommer denna analys även att l...