Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Den kanske mest förekommande paradoxen kan formuleras på ett antal olika sätt. Alice och Bob börjar vid samma position vid $t = 0$ och Bob rör sig med hasti...

Mustafa Al-Abaychi — Fri, 26 Jan 2018 13:40:29 GMT

Ny sida: Den kanske mest förekommande paradoxen kan formuleras på ett antal olika sätt. Alice och Bob börjar vid samma position vid <math display="inline">t = 0</math> och Bob rör sig med hasti...

Ny sida

Den kanske mest förekommande paradoxen kan formuleras på ett antal olika sätt. Alice och Bob börjar vid samma position vid <math display="inline">t = 0</math> och Bob rör sig med hastigheten <math display="inline">v</math> i Alice vilosystem. Om han vid tiden <math display="inline">t=t_0</math> vänder för att färdas med en hastighet <math display="inline">-v</math> så kommer Bobs klocka hela tiden att vara tidsdilaterad med samma faktor <math display="inline">\gamma = 1/\sqrt{1-v^2/c^2}</math>. När Bob kommer tillbaka till Alices position har tiden i Alices vilosystem blivit 
<math display="block">t_A = 2t_0.</math> 
Eftersom Bob under hela färden varit tidsdilaterad kommer tiden som passerat för Bob att ges av 
<math display="block">t_B = 2\frac{t_0}{\gamma} = \frac{t_A}{\gamma}.</math> 
Men hur ser det hela ut från Bobs vilosystem? Eftersom Bob vänder efter halva resan kommer han att under resans gång byta vilosystem, men oberoende av vilket inertialsystem han är i vila relativt så kommer Alices klocka att vara tidsdilaterad med en faktor <math display="inline">\gamma</math>. Borde inte detta innebära att vi i stället får relationen 
<math display="block">t_A = \frac{t_B}{\gamma}</math> 
som står i direkt konflikt med vad vi kom fram till sett från Alices vilosystem? Detta verkar vara en motsägelse och det är precis denna motsägelse som brukar kallas för ''tvillingparadoxen''[def:tvillingparadoxen]. Ursprunget till paradoxen är det faktum att tidsdilatation är symmetrisk, det vill säga om Bob rör sig med en hastighet <math display="inline">v</math> relativt Alice så kommer Alice att uppfatta att Bobs klocka är tidsdilaterad men Bob kommer att uppfatta att det är Alices klocka som tidsdilateras.

'''En resa till <math display="inline">\boldsymbol{\alpha}</math>-Centauri''' 
I trippelstjärnesystemet <math display="inline">\alpha</math>-Centauri ligger de tre stjärnor som, förutom solen, ligger närmast jorden drygt fyra ljusår bort. Nyligen har bland annat Stephen Hawking föreslagit ett projekt för att skicka små ultralätta rymdfarkoster till <math display="inline">\alpha</math>-Centauri med en hastighet på <math display="inline">v = 0.2c</math>. Dessa kommer inte att kunna vända om, men skulle en rymdfarkost som kunde det utföra samma resa och sedan färdas tillbaka med samma hastighet skulle vi kunna räkna ut tiden det skulle ta enligt 
<math display="block">t = 2\frac{4~\mbox{ljusår}}{0.2~\mbox{ljusår}/\mbox{år}} = 40~\mbox{år}.</math> 
En hastighet på <math display="inline">v = 0.2c</math> skulle innebära en lorentzfaktor på <math display="inline">\gamma \approx 1.02</math>. En klocka ombord på farkosten skulle dessutom vara tidsdilaterad och därför enbart tickat fram <math display="inline">t' \approx 39.2</math> år, det vill säga nästan 10 månader mindre.

'''Minkowskidiagram och tidsgap'''

Hur kan det då gå ihop att en klocka på jorden är tidsdilaterad i farkostens vilosystem samtidigt som att en klocka i farkosten är tidsdilaterad i jordens vilosystem? Vi ska här titta på hur tvillingparadoxen kan upplösas på två olika sätt, dels genom att utföra en analys av förloppen med en jämförelse av samtidigheter och dels med hjälp av två ljussignaler. Resonemangen kommer att kräva en del matematik, men kan förklaras konceptuellt enbart med hjälp av minkowskidiagram och en förståelse för hur relativ samtidighet ter sig i dessa.

I Alices vilosystem <math display="inline">S</math> kan förloppet beskrivas med minkowskidiagrammet i figur [[#fig:twinS|[fig:twinS]]].

Vid tiden <math display="inline">t = t_0</math> vänder Bob och färdas i motsatt riktning och hela tiden är Bob därför tidsdilaterad med en faktor <math display="inline">\gamma</math>. Alice åldras under hela förloppet <math display="inline">t_A = 2t_0</math> och Bob åldras <math display="inline">t_B = t_A/\gamma</math>. Detta är precis samma argument vi använde ovan.

I de två vilosystemen där Bob befinner sig i vila under delar av sin resa, som vi kan kalla <math display="inline">S'</math> och <math display="inline">S''</math>, har vi i stället situationerna som visas i figur [[#fig:twinSprime|[fig:twinSprime]]].

I <math display="inline">S'</math> är Bob i vila en tid <math display="inline">t_0'</math> innan han börjar röra sig och Alices klocka tickar under denna tid <math display="inline">t_0'/\gamma</math> i <math display="inline">S'</math>. På samma sätt tar det Bob samma tid <math display="inline">t_0'</math> innan han återförenas med Alice och under denna tid tickar Alices klocka också <math display="inline">t_0'/\gamma</math> i <math display="inline">S''</math>. Från rumtidsdiagrammen i figur [[#fig:twinSprime|[fig:twinSprime]]] ser vi att tiden <math display="inline">t_0'/\gamma</math> motsvarar den tid Alices klocka tickar fram mellan att de tar farväl och att Bob vänder i <math display="inline">S'</math> och att Bob vänder i <math display="inline">S''</math> och de återförenas. Antagandet att Alices totala tid nu ges av <math display="inline">2t_0'/\gamma</math> baseras nu på att händelsen <math display="inline">A'</math> är densamma som händelsen <math display="inline">A''</math>. Om detta inte är fallet har vi inte tagit hela Alices världslinje i beaktande när vi räknat ut hennes tid! Tittar vi nu i stället på vilka delar av rumtidsdiagrammet baserat på <math display="inline">S'</math> som diagrammen i figur [[#fig:twinSprime|[fig:twinSprime]]] beskriver (se figur [[#fig:twinall|[fig:twinall]]]) så ser vi att samtidighetslinjerna för <math display="inline">S'</math> och <math display="inline">S''</math> inte är desamma och detta innebär att <math display="inline">A'</math> och <math display="inline">A''</math> ''inte motsvarar samma händelse'' på Alices världslinje och Alices totala tid ges därför inte av <math display="inline">2t_0'/\gamma</math>. Om vi gör detta finns det därför ett ''tidsgap''[def:tidsgap] som vi inte räknat med då vi använt oss av tidsdilationen.

Vi kan räkna ut vad Alices totala tid borde bli om vi tar hela hennes världslinje i beaktande genom att studera figur [[#fig:twinSprimealt|[fig:twinSprimealt]]] där vi ritat ut samtidighetslinjen för <math display="inline">S</math> i <math display="inline">S'</math> då halva Alices tid passerat vid den händelse som är samtidig med Bobs vändning i <math display="inline">S</math>.

Eftersom samtidighetslinjen har lutningen <math display="inline">-v/c</math> och Alices världslinje i <math display="inline">S'</math> har lutningen <math display="inline">-c/v</math> erhålls ur geometrin sambandet 
<math display="block">-\frac{v}{c} c\tau = - \frac{c}{v}(c\tau - ct_0') \quad \Longrightarrow \quad \tau = \frac{t_0'}{1-\frac{v^2}{c^2}} = t_0' \gamma^2.</math> 
Eftersom Alice i <math display="inline">S'</math> är tidsdilaterad kommer tiden det tar henne att nå fram till samtidighetslinjen att ges av 
<math display="block">t_0 = \frac{\tau}{\gamma} = \frac{t_0'\gamma^2}{\gamma} = t_0' \gamma.</math> 
Motsvarande argument för inertialsystemet <math display="inline">S''</math> ger att Alices totala tid blir 
<math display="block">t_A = 2t_0'\gamma = t_B \gamma.</math> 
Vi återfår därför precis samma uttryck <math display="inline">t_B = t_A/\gamma</math> som vi fick genom att studera händelseförloppet från Alices vilosystem och tvillingparadoxen är löst - det kommer ha gått mindre tid för Bob än för Alice när de återförenas!

'''Jorden runt och 300 ms''' 
Tvillingparadoxen har testats direkt genom Hafele–Keating-experimentet år 1971 som även omnämndes i kapitel [[#ch:ljushastigheten|]]. Genom att flyga två atomur runt jorden, ett i östlig och ett i västlig riktning, och sedan återförena dem och jämföra de tider som gått för dessa med ett referensur. För detta experiment var även effekterna från allmän relativitetsteori viktiga, men resultatet visade tydligt på en skillnad mellan uren som framför allt härrör från effekterna från speciell relativitetsteori. På grund av jordens rotation i östlig riktning rörde sig planet som flög i östlig rikting fortare och uret tickade under färden fram ungefär 300 ms mindre.

'''Ljussignalsanalys'''

Som ett alternativ till det ovanstående kan vi göra en analys som i stället påminner om den vi gjorde när vi diskuterade dopplereffekten i det föregående kapitlet. Vi kan tänka oss att Alice skickar ut en ljussignal som när den når Bob talar om för honom att det är dags att vända om och att Bob när han vänder skickar en ljussignal tillbaka till Alice som svar, se figur [[#fig:twinljusS|[fig:twinljusS]]]. Med hjälp av dessa signaler kommer vi att kunna nå fram till samma slutsats som tidigare, men på ett lite annorlunda sätt.

Vi börjar med att från Alices vilosystem <math display="inline">S</math> titta på signalen Bob skickar tillbaka. Bob sänder ut denna signal vid tiden <math display="inline">t = t_0</math> och befinner sig då vid <math display="inline">x = vt_0</math>. Inkluderar vi signalfördröjningen innebär detta att Alice tar emot Bobs svar vid tiden 
<math display="block">t_{A1} = t_0 + \frac{v}{c}t_0</math> 
eftersom det tar ljuset tiden <math display="inline">vt_0/c</math> att färdas tillbaka. När Bob kommer tillbaka kan Alice också konstatera att då Bob skickade signalen vid tiden <math display="inline">t = t_0</math> så kommer tiden mellan att hon mottagit Bobs signal och att Bob kommer tillbaka att ges av 
<math display="block">t_{A2} = t_0 - \frac{v}{c} t_0.</math> 
Den totala tiden Alice upplever för hela förloppet ges därför av 
<math display="block">t_A = t_{A1} + t_{A2} = 2 t_0.</math> 
Samtidigt är Bob tidsdilaterad relativt <math display="inline">S</math> och Bobs passerade tid ges därför av 
<math display="block">t_B = \frac{2t_0}{\gamma} = \frac{t_A}{\gamma}.</math> 
Låt oss nu använda oss av Bobs olika inertialsystem för att komma fram till samma slutsats och då studera signalen som Alice skickat i stället. I Bobs ursprungliga inertialsystem <math display="inline">S'</math> mottar han ljussignalen efter tiden <math display="inline">t_0'</math>. Om vi kallar tiden i <math display="inline">S'</math> då Alice skickar signalen för <math display="inline">t_{A1}'</math> kan vi ur figur [[#fig:twinSprimealt2|[fig:twinSprimealt2]]] komma fram till att Alice skickat iväg signalen då hon befann sig på ett avstånd <math display="inline">vt_{A1}</math> och att det därför tar signalen tiden <math display="inline">vt_{A1}/c</math> att nå Bob. Därmed erhålls sambandet 
<math display="block">t_0' = t_{A1}'\left(1 + \frac{v}{c}\right) \quad \Longrightarrow \quad t_{A1}' = \frac{c t_0'}{c+v}.</math> 
Eftersom Alice är tidsdilaterad i <math display="inline">S'</math> med en faktor <math display="inline">\gamma</math> är tiden Alice upplever tills dess att hon skickat iväg signalen 
<math display="block">t_{A1} = \frac{t_{A1}'}{\gamma} = \frac{1}{\gamma} \frac{ct_0'}{c+v}.</math> 
Vi använder nu Bobs återvändande inertialsystem <math display="inline">S''</math> för att beräkna tiden Alice upplever efter det att hon skickat signalen. Det tar Bob tiden <math display="inline">t_0'</math> innan han återförenas med Alice och om vi antar att det i detta inertialsystem tar Alice tiden <math display="inline">t_{A2}''</math> att komma fram till Bob efter att ha skickat signalen så erhålls ur figur [[#fig:twinSprimeprimealt2|[fig:twinSprimeprimealt2]]] sambandet 
<math display="block">t_{A2}'' = t_0' + \frac{v}{c} t_{A2}'',</math> 
där den sista termen är den tid det tar för ljuset att färdas sträckan <math display="inline">v t_{A2}''</math>, det vill säga samma sträcka som Alice färdas i <math display="inline">S''</math> för att komma fram till Bob. Genom att lösa ut <math display="inline">t_{A2}''</math> ur detta fås 
<math display="block">t_{A2}'' = \frac{ct_0'}{c-v}</math> 
och tiden <math display="inline">t_{A2}</math> som Alice upplever under denna ges av 
<math display="block">t_{A2} = \frac{t_{A2}''}{\gamma} = \frac{1}{\gamma} \frac{ct_0'}{c-v}</math> 
eftersom Alice i <math display="inline">S''</math> är tidsdilaterad med faktorn <math display="inline">\gamma</math>. Den totala tiden som Alice upplever från det att hon separerats från Bob tills de möts igen ges därför av 
<math display="block">t_A = t_{A1} + t_{A2} = \frac{1}{\gamma}\left(\frac{ct_0'}{c+v} + \frac{ct_0'}{c-v}\right) = \frac{2t_0'}{\gamma}\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} = \frac{t_B \gamma^2}{\gamma} = t_B \gamma.</math> 
Liksom i den tidigare analysen med tidsgapet kommer vi därför fram till att det ofrånkomligen är så att Alice är den som har åldrats mest när Alice och Bob återförenas samt att detta inte beror på vilka inertialsystem vi använder för att beskriva händelseförloppet.

'''Acceleration'''

En vanligt förekommande förklaring till varför förloppet i tvillingparadoxen inte är symmetriskt är att Bob måste accelerera. Det är helt korrekt att detta är en konsekvens av att Bob byter vilosystem, accelererar han inte byter han inte vilosystem, men det är inte helt rättvisande att hänvisa till att det är accelerationen som är upphov till varför Bob åldras mindre, utan detta beskrivs helt och hållet med analyserna ovan som inte någonstans hänvisat till Bobs acceleration. Tidsdilatationerna och geometrin som använts har enbart hänvisat till Alices och Bobs relativa hastigheter.

7.1 - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Den kanske mest förekommande paradoxen kan formuleras på ett antal olika sätt. Alice och Bob börjar vid samma position vid t = 0 och Bob rör sig med hasti...

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Den kanske mest förekommande paradoxen kan formuleras på ett antal olika sätt. Alice och Bob börjar vid samma position vid $t = 0$ och Bob rör sig med hasti...