Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Vi har nu sett två anledningar att revidera vår ursprungliga uppfattning av vad begreppen framtid och dåtid borde innebära. Med den intuitiva definitionen att en händelses framtid är ...

Mustafa Al-Abaychi — Fri, 26 Jan 2018 13:37:14 GMT

Ny sida: Vi har nu sett två anledningar att revidera vår ursprungliga uppfattning av vad begreppen framtid och dåtid borde innebära. Med den intuitiva definitionen att en händelses framtid är ...

Ny sida

Vi har nu sett två anledningar att revidera vår ursprungliga uppfattning av vad begreppen framtid och dåtid borde innebära. Med den intuitiva definitionen att en händelses framtid är de händelser som har en större tidskoordinat blir framtiden beroende på vilket inertialsystem vi betraktar och dessutom kan inte händelsen påverka alla framtida händelser. Vi vill därför införa ett nytt framtidsbegrepp som dels är oberoende av vilket inertialsystem som används och dels är sådant att alla framtida händelser till händelsen <math display="inline">E</math> kan påverkas av <math display="inline">E</math>. Lyckligtvis har vi sett att båda dessa två krav kan uppfyllas genom att definiera framtiden och dåtiden till <math display="inline">E</math> enligt:

''Framtiden''[def:framtidrelativistisk] till händelsen <math display="inline">E</math> (given av <math display="inline">t = 0</math> och <math display="inline">x = 0</math>) är de händelser som ''kan påverkas'' av <math display="inline">E</math>. ''Dåtiden''[def:datidrelativistisk] till <math display="inline">E</math> är de händelser som ''kan påverka'' <math display="inline">E</math>.

I enlighet med vår diskussion tidigare i detta avsnitt uppfyller både framtida och dåtida händelser till <math display="inline">E</math> sambandet 
<math display="block">c^2 t^2 - x^2 \geq 0,</math> 
men för framtida händelser gäller dessutom att <math display="inline">t > 0</math> och för dåtida att <math display="inline">t < 0</math>. Detta samband kan enkelt generaliseras även till flera rumsdimensioner där vi i stället erhåller 
<math display="block">c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad c^2 t^2 \geq x^2 + y^2 + z^2</math> 
i fallet med tre rumsdimensioner. Händelserna som en ljussignal precis kan nå fram till uppfyller här likheten och detta samband är då det matematiska uttrycket för en kon, därav benämningen ljuskon, se figur [[#fig:ljuskon2D|[fig:ljuskon2D]]].

Det bör här noteras att vi tills nu förutsatt att händelsen <math display="inline">E</math> ligger i origo <math display="inline">t = 0</math> och <math display="inline">x = 0</math>. Det finns inget som hindrar oss att genomgå precis samma argumentation för vilken händelse som helst. Den enda förändringen som behöver göras är att i stället för koordinaterna <math display="inline">t_A</math> och <math display="inline">x_A</math> för en annan händelse <math display="inline">A</math> studera koordinatdifferenserna <math display="inline">\Delta t = t_A-t_E</math> och <math display="inline">\Delta x = x_A-x_E</math>.

'''Rumslik separation''' [sec:rumslikseparation]

Inom klassisk mekanik kunde vi givet en specifik händelse <math display="inline">E</math> dela upp hela rumtiden i tre olika kategorier: händelser som är framtiden, dåtiden och samtiden till <math display="inline">E</math>, beroende på händelsernas tidskoordinat. Med de nya fram- och dåtidsbegreppen är samtiden inte längre tillräcklig för att täcka in hela rumtiden tillsammans med dessa. Dessutom är som vi redan har sett även samtiden relativ och inertialsystemsberoende. För att komma till bukt med detta inför vi ett nytt begrepp för de händelser som uppfyller 
<math display="block">c^2 t^2 - x^2 < 0</math> 
och säger att dessa är ''rumslikt separerade''[def:rumslikseparation] från <math display="inline">E</math>, se figur [[#fig:ljuskonfancy|[fig:ljuskonfancy]]], då separationen i rummet är större än separationen i tiden.

Per definition är detta de händelser som vare sig kan påverkas av eller påverka händelsen <math display="inline">E</math>. Tillsammans med de nya fram- och dåtidsbegreppen utgör de från <math display="inline">E</math> rumslikt separerade händelserna hela rumtiden på samma sätt som framtid, dåtid och samtid utgör hela rumtiden inom klassisk mekanik. Det är också vanligt att kalla händelser som uppfyller 
<math display="block">c^2 t^2 - x^2 = 0</math> 
för ''ljuslikt separerade''[def:ljuslikseparation], eftersom de ligger på en världslinje för en ljussignal, och händelser som uppfyller 
<math display="block">c^2 t^2 - x^2 > 0</math> 
för ''tidslikt separerade''[def:tidslikseparation], eftersom tidsseparationen är större än rumsseparationen.

'''Samtidighet på jorden''' 
Jordens diameter är ungefär 12000 km. Studerar vi en händelse här och en på andra sidan jorden så fås därför att avståndet mellan dessa är <math display="inline">\Delta x \approx 12\cdot 10^6</math> m. För att händelserna ska vara rumslikt separerade krävs därför att 
<math display="block">c^2 \Delta t^2 < 144\cdot 10^{12}~\mbox{m}^2.</math> 
Detta motsvarar 
<math display="block">|\Delta t| < \frac{12 \cdot 10^6~\mbox{m}}{c} \approx 0.04~\mbox{s}.</math> 
För att två händelser på jorden ska vara rumslikt separerade kan tidsskillnaden (i jordens vilosystem) därför vara maximalt 40 ms. Inträffar händelserna inom en kortare tidsram finns det ingen möjlighet för dem att påverka varandra.

5.3 - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Vi har nu sett två anledningar att revidera vår ursprungliga uppfattning av vad begreppen framtid och dåtid borde innebära. Med den intuitiva definitionen att en händelses framtid är ...