Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Vi baserade härledningen av lorentztransformationen ovan på begreppen tidsdilatation och längdkontraktion, men det går även utmärkt att resonera sig fram till den direkt från kravet ...

Mustafa Al-Abaychi — Fri, 26 Jan 2018 13:31:45 GMT

Ny sida: Vi baserade härledningen av lorentztransformationen ovan på begreppen tidsdilatation och längdkontraktion, men det går även utmärkt att resonera sig fram till den direkt från kravet ...

Ny sida

Vi baserade härledningen av lorentztransformationen ovan på begreppen tidsdilatation och längdkontraktion, men det går även utmärkt att resonera sig fram till den direkt från kravet att ljushastigheten måste vara invariant. En ljussignal från koordinaterna <math display="inline">t = 0</math> och <math display="inline">x = 0</math> i inertialsystemet <math display="inline">S</math> följer någon av världslinjerna <math display="inline">x = \pm ct</math>, vilket i ett annat inertialsystem <math display="inline">S'</math> kan uttryckas <math display="inline">x' = \pm ct'</math> då ljushastigheten är invariant. Dessa samband är lösningarna till 
<math display="block">\label{eq:ljusintervall}
c^2t^2 - x^2 = c^2 t'^2 - x'^2 = 0</math> 
som därför sammanfattar kraven för en ljussignal oberoende av vilken riktning den rör sig i. Vi kan härleda lorentztransformationen genom att anta att sambandet 
<math display="block">\label{eq:linjeelement}
c^2 t^2 - x^2 = c^2 t'^2 - x'^2</math> 
måste gälla för alla händelser, inte bara dem som ljussignalen från origo passerar. Om detta ger tillräcklig information för att helt bestämma lorentztransformationen kommer ekvation [[#eq:ljusintervall|[eq:ljusintervall]]] automatiskt att vara uppfylld.

Vi vill nu hitta den transformation som uppfyller sambandet samtidigt som <math display="inline">x' = 0</math> är ekvivalent med <math display="inline">x = vt</math>, det vill säga att origo för <math display="inline">S'</math> rör sig med en hastighet <math display="inline">v</math> i <math display="inline">S</math>, och vi ansätter därför

<math display="block">\begin{aligned}
ct' &= c\alpha t + \beta x, \\
x' &= c\lambda t + \mu x,\end{aligned}</math>

där <math display="inline">\alpha</math>, <math display="inline">\beta</math>, <math display="inline">\lambda</math> och <math display="inline">\mu</math> är konstanter vi vill bestämma. Vi kräver att <math display="inline">\alpha > 0</math> för att tiden <math display="inline">t'</math> ska öka om <math display="inline">t</math> gör det samt att <math display="inline">\mu > 0</math> för att koordinaten <math display="inline">x'</math> ska öka om <math display="inline">x</math> gör det (i båda fallen med <math display="inline">x</math> respektive <math display="inline">t</math> konstant). Genom att kvadrera dessa ekvationer och sätta in resultaten i ekvation [[#eq:linjeelement|[eq:linjeelement]]] fås 
<math display="block">c^2 t^2(\alpha^2 - \lambda^2) + 2c(\alpha\beta - \lambda\mu) tx - x^2 (\mu^2 - \beta^2) = c^2 t^2 - x^2.</math> 
För att detta ska vara uppfyllt för alla möjliga <math display="inline">t</math> och <math display="inline">x</math> erhålls ekvationssystemet

<math display="block">\begin{aligned}
\alpha^2 - \lambda^2 &= 1, \\
\mu^2 - \beta^2 &= 1, \\
\alpha\beta &= \lambda\mu.\end{aligned}</math>

Ur de första två ekvationerna erhålls 
<math display="block">\alpha = \sqrt{1+\lambda^2} \quad \mbox{och} \quad \mu = \sqrt{1+\beta^2}</math> 
vilket insatt i den tredje leder till 
<math display="block">\frac{\beta}{\sqrt{1+\beta^2}} = \frac{\lambda}{\sqrt{1+\lambda^2}}</math> 
som är uppfyllt enbart då <math display="inline">\beta = \lambda</math>. Kravet att <math display="inline">x' = 0</math> om <math display="inline">x = vt</math> ger dessutom 
<math display="block">0 = \lambda ct + \mu vt \quad \Longrightarrow \quad \lambda = \beta = -\frac vc \mu.</math> 
Insatt i de ursprungliga ekvationerna hittar vi nu lösningen

<math display="block">\begin{aligned}
\mu^2 - \frac{v^2}{c^2}\mu^2 = 1 \quad \Longrightarrow \quad \mu = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} &= \gamma, \\
\lambda = \beta = -\frac{v}{c}\mu &= \frac{-v}{c} \gamma, \\
\alpha = \sqrt{1+\lambda^2} = \sqrt{1+\frac{v^2}{c^2(1-\frac{v^2}{c^2})}} &= \gamma.\end{aligned}</math>

Jämför vi detta resultat med den ursprungliga ansatsen ser vi nu att 
<math display="block">ct' = \gamma\left(ct - \frac{v}{c}x\right) \quad \mbox{och} \quad x' = \gamma\left(x - \frac{v}{c}ct\right).</math> 
Som väntat är detta lorentztransformationen given i ekvation [[#eq:lorentztransformation|[eq:lorentztransformation]]].

4.2 - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Vi baserade härledningen av lorentztransformationen ovan på begreppen tidsdilatation och längdkontraktion, men det går även utmärkt att resonera sig fram till den direkt från kravet ...