Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: I kapitel #ch:ljushastigheten| härledde vi uttrycken för tidsdilatation och längdkontraktion
$t = \gamma t' \quad \mbox{och} \quad \ell = \frac{\ell_0}{\g...$

Mustafa Al-Abaychi — Fri, 26 Jan 2018 13:31:10 GMT

Ny sida: I kapitel #ch:ljushastigheten härledde vi uttrycken för tidsdilatation och längdkontraktion <math display="block">t = \gamma t' \quad \mbox{och} \quad \ell = \frac{\ell_0}{\g...

Ny sida

I kapitel [[#ch:ljushastigheten|]] härledde vi uttrycken för tidsdilatation och längdkontraktion 
<math display="block">t = \gamma t' \quad \mbox{och} \quad \ell = \frac{\ell_0}{\gamma},</math> 
där <math display="inline">\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}</math>, och vi har förutsatt att tidskoordinaten <math display="inline">t'</math> och vilolängden <math display="inline">\ell_0</math> refererar till inertialsystemet <math display="inline">S'</math> där ett objekt befinner sig i vila. Vi ska nu använda oss av dessa begrepp för att resonera oss fram till hur tids- och rumskoordinaterna i olika inertialsystem måste vara relaterade till varandra. Låt oss studera en stav med vilolängden <math display="inline">\ell_0</math> som är i vila i <math display="inline">S'</math> men som rör sig med hastigheten <math display="inline">v</math> i inertialsystemet <math display="inline">S</math>. Vi använder oss av ett koordinatsystem sådant att stavens bakre ände passerar <math display="inline">x = 0</math> vid tiden <math display="inline">t = 0</math> i <math display="inline">S</math>, se figur [[#fig:lorentztransformation1|[fig:lorentztransformation1]]].

I systemet <math display="inline">S'</math> där staven är i vila kommer dess främre ände alltid ha den konstanta rumskoordinaten <math display="inline">x' = \ell_0</math>. Samtidigt vet vi att den främre änden i systemet <math display="inline">S</math> beskrivs av världslinjen 
<math display="block">x = vt + \ell = vt + \frac{\ell_0}{\gamma} = vt + \frac{x'}{\gamma}</math> 
eftersom staven i detta system har en längd <math display="inline">\ell = \ell_0/\gamma</math> och rör sig med en hastighet <math display="inline">v</math>. Om vi löser ut <math display="inline">x'</math> ur detta samband finner vi att 
<math display="block">x' = \gamma(x-vt).</math> 
Detta påminner väldigt starkt om galileitransformationens <math display="inline">x' = x - vt</math> fast med tillägget av lorentzfaktorn.

För att se hur tidskoordinaten <math display="inline">t'</math> i <math display="inline">S'</math> relateras till koordinaterna <math display="inline">t</math> och <math display="inline">x</math> i <math display="inline">S</math> börjar vi med att studera händelser som inträffar vid <math display="inline">x = 0</math>. För dessa händelser vet vi att <math display="inline">t' = 0</math> när <math display="inline">t = 0</math> och att tiden <math display="inline">t</math> allmänt sett är tidsdilaterad relativt <math display="inline">t'</math>, det vill säga <math display="inline">t' = \gamma t</math>. Om vi i stället tar en händelse med en nollskild <math display="inline">x</math>-koordinat vet vi efter diskussionen i kapitel [[#ch:relativsamtidighet|]] att denna i <math display="inline">S'</math> är samtidig med händelsen som inträffar i origo i <math display="inline">S</math> vid tiden <math display="inline">t - vx/c^2</math>, vilket alltså motsvarar 
<math display="block">t' = \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right).</math> 
Tillsammans med transformationsregeln för rumskoordinaten bildar detta samband lorentztransformationen 
<math display="block">t' = \gamma \left(t - \frac{vx}{c^2}\right), \quad
x' = \gamma (x - vt).</math> 
Multipliceras den första av de här ekvationerna med <math display="inline">c</math> återfås transformationen på samma form som i ekvation [[#eq:lorentztransformation|[eq:lorentztransformation]]]. Det bör noteras att begreppet relativ samtidighet här blir uppenbart.

4.1 - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: I kapitel #ch:ljushastigheten| härledde vi uttrycken för tidsdilatation och längdkontraktion t = \gamma t' \quad \mbox{och} \quad \ell = \frac{\ell_0}{\g...

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: I kapitel #ch:ljushastigheten| härledde vi uttrycken för tidsdilatation och längdkontraktion
$t = \gamma t' \quad \mbox{och} \quad \ell = \frac{\ell_0}{\g...$