1.3 - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Låt oss nu tänka oss att Bob kastar en boll i samma riktning som han rör sig relativt Alice och bollen rör sig med hastigheten $u'$ i Bobs vilosystem
Mustafa Al-Abaychi — Fri, 26 Jan 2018 13:20:58 GMT

Ny sida: Låt oss nu tänka oss att Bob kastar en boll i samma riktning som han rör sig relativt Alice och bollen rör sig med hastigheten <math display="inline">u'</math> i Bobs vilosystem <math ...

Ny sida

Låt oss nu tänka oss att Bob kastar en boll i samma riktning som han rör sig relativt Alice och bollen rör sig med hastigheten <math display="inline">u'</math> i Bobs vilosystem <math display="inline">S'</math>, se figur [[#fig:alicebobball|[fig:alicebobball]]].

Detta innebär att bollens rörelse kan beskrivas genom att ange bollens läge <math display="inline">x'</math> relativt Bob som funktion av tiden<br />
<math display="block">x'(t) = x_0 + u't.</math><br />
Med hjälp av galileitransformationen kan vi beräkna hur bollen rör sig i Alices inertialsystem <math display="inline">S</math>, det vill säga hur koordinaten <math display="inline">x</math> beror på <math display="inline">t</math>. Detta ger<br />
<math display="block">x(t) = x'(t) + vt = x_0 + u't + vt = x_0 + (u'+v)t.</math><br />
Detta är precis den ekvation som beskriver ett objekt som rör sig likformigt med hastigheten <math display="inline">u = u'+v</math> i Alices inertialsystem. Vi får därför sambandet<br />
<math display="block">u = u'+v</math><br />
som relaterar hastigheten <math display="inline">u</math> av ett objekt i Alices inertialsystem med objektets hastighet <math display="inline">u'</math> i Bobs inertialsystem. Resultatet stämmer även mycket väl överens med vår intuition om hur hastigheter fungerar. Sambandet mellan hastigheterna i de olika inertialsystemen kallas för ''hastighetsaddition''<span id="def:klassiskhastighetsaddition" label="def:klassiskhastighetsaddition">[def:klassiskhastighetsaddition]</span> av den enkla anledning att hastigheten i det ena systemet ges av hastigheten i det andra adderat till den relativa hastigheten mellan systemen.

'''Bilar som kör om varandra'''<br />
Vid en omkörning körs den ena bilen (<math display="inline">A</math>) med en konstant hastighet <math display="inline">v = 50</math> km/h om av en annan bil (<math display="inline">B</math>) med en konstant hastighet <math display="inline">u = 70</math> km/h. Här har hastigheterna angivits relativt vägbanans inertialsystem. Om vi i stället beskriver rörelsen från inertialsystemet där <math display="inline">A</math> är i vila, som rör sig med hastigheten <math display="inline">v</math> relativt vägbanan, kommer bil <math display="inline">B</math> i detta att röra sig med hastigheten <math display="inline">u'</math> som ges av<br />
<math display="block">70~\mbox{km/h} = u' + 50~\mbox{km/h} \quad \Longrightarrow \quad u' = 70 - 50 ~\mbox{km/h} = 20~\mbox{km/h}.</math><br />
Vi kan även använda oss av hastighetsaddition för att kontrollera att <math display="inline">A</math>s hastighet <math display="inline">v_A'</math> i sitt eget vilosystem är noll enligt<br />
<math display="block">50~\mbox{km/h} = v_A' + 50~\mbox{km/h} \quad \Longrightarrow \quad v_A' = 0~\mbox{km/h}</math><br />
samt att vägbanans hastighet <math display="inline">w'</math> relativt <math display="inline">A</math> ges av<br />
<math display="block">0~\mbox{km/h} = w' + 50~\mbox{km/h}\quad \Longrightarrow \quad w' = -50~\mbox{km/h}.</math><br />
Notera här att minustecknet betyder att vägbanan rör sig i motsatt riktning i <math display="inline">A</math>s inertialsystem jämfört hur <math display="inline">A</math> rör sig i vägbanans inertialsystem.