Mustafa Al-Abaychi den 26 januari 2018 kl. 13.19

Mustafa Al-Abaychi — Fri, 26 Jan 2018 13:19:54 GMT

← Äldre version		Versionen från 26 januari 2018 kl. 13.19
Rad 1:		Rad 1:
		+	Vi har hittills enbart studerat hur två objekt rör sig i förhållande till varandras inertialsystem. Det är dock hög tid att vi beskriver även hur allmänna fysikaliska förlopp kan beskrivas i olika inertialsystem och hur dessa förhåller sig till varandra. Inom fysiken talar vi om en ''händelse''<span id="def:handelse" label="def:handelse">[def:handelse]</span> som något vi kan tillskriva en tidpunkt och en position i rummet. För att specificera en händelse måste vi ange var och när den har inträffat och vi gör detta genom att tillskriva den en tidskoordinat <math display="inline">t</math> och en rumskoordinat <math display="inline">x</math> (vi kan även lägga till flera rumskoordinater som <math display="inline">y</math> och <math display="inline">z</math> om vi behöver beskriva en händelse i tre rumsdimensioner). Precis som vi redan har diskuterat måste vi här bestämma i vilket inertialsystem vi anger rumskoordinaten <math display="inline">x</math>. För att förstå hur beskrivningen av samma förlopp ter sig i olika inertialsystem ställer vi oss frågan hur rumskoordinaterna <math display="inline">x</math> och <math display="inline">x'</math> förhåller sig till varandra.

-	~~Låt oss nu tänka oss att~~ Bob ~~kastar en boll i samma riktning~~ som ~~han rör sig relativt~~ Alice ~~och bollen rör sig~~ med ~~hastigheten~~ <math display="inline">u'</math> i ~~Bobs vilosystem~~ <math display="inline">S'</math>, ~~se figur [[#fig~~:~~alicebobball\|~~[~~fig~~:~~alicebobball]]~~].	+	Om vi återgår till exemplet med Bob som körde förbi Alice kan en händelse vara att Bob nyser. Denna händelse kan beskrivas med när (tidpunkten för nysningen) och var (platsen där Bob nyste) den skedde. Om vi använder oss av Bobs inertialsystem är det därför naturligt att tilldela händelsen koordinaterna <math display="inline">t = t_0</math> för att beskriva tiden för nysningen och <math display="inline">x' = 0</math> eftersom nysningen skedde i inertialsystemets utgångspunkt. I Alices inertialsystem sker nysningen också vid tiden <math display="inline">t = t_0</math>, men var händelsen inträffar kommer att bero på tiden <math display="inline">t_0</math> eftersom Bob befinner sig i rörelse i detta system. Notera att vi antagit att det finns en ''absolut tid''<span id="def:absoluttid" label="def:absoluttid">[def:absoluttid]</span> <math display="inline">t</math> som är densamma i alla inertialsystem. Detta är ett antagande inom klassisk mekanik och vi kommer i nästa kapitel se hur speciell relativitetsteori kräver att vi reviderar detta antagande.

-	~~Detta innebär att bollens rörelse~~ kan ~~beskrivas~~ genom att ~~ange bollens läge <math display="inline">x'</math> relativt Bob~~ som ~~funktion~~ av ~~tiden<br />~~	+	Vi kan härleda ett allmänt uttryck för hur koordinaterna för en händelse i olika inertialsystem förhåller sig till varandra genom att studera hur avstånden mellan olika objekt beskrivs i de olika systemen. För att göra detta måste vi först välja vilken tidpunkt som motsvarar att tidskoordinaten ges av <math display="inline">t = 0</math>. Låt oss ta exemplet med Alice och Bob och välja en tidskoordinat <math display="inline">t</math> som är lika med noll i det ögonblick då Bob passerar Alice. Detta innebär att vi kommer att ange tider i termer av hur lång tid efter att de passerat varandra olika händelser inträffar.
-	<math display="~~block~~">~~x'(~~t) = ~~x_0 + u't.~~</math>~~<br />~~	+
-	Med hjälp av galileitransformationen kan vi beräkna hur bollen rör sig i Alices inertialsystem <math display="inline">S</math>, det vill säga hur koordinaten <math display="inline">x</math> beror på <math display="inline">t</math>~~. Detta ger<br />~~	+
-	~~<math display="block">x(t) = x'(t) + vt = x_0 + u't + vt = x_0 + (u'+v)t.</math><br />~~	+
-	~~Detta~~ är ~~precis den ekvation som beskriver ett objekt som rör sig likformigt~~ med ~~hastigheten <math display="inline">u = u'+v</math>~~ i ~~Alices inertialsystem~~. ~~Vi får därför sambandet<br />~~	+
-	~~<math display="block">u = u'+v</math><br />~~	+
-	~~som relaterar hastigheten <math display="inline">u</math>~~ av ~~ett objekt i Alices inertialsystem med objektets hastighet <math display="inline">u'</math> i Bobs inertialsystem. Resultatet stämmer även mycket väl överens med vår intuition om~~ hur ~~hastigheter fungerar. Sambandet mellan hastigheterna i~~ de olika inertialsystemen kallas för ''hastighetsaddition''<span id="def:klassiskhastighetsaddition" label="def:klassiskhastighetsaddition">[def:klassiskhastighetsaddition]</span> av den enkla anledning att hastigheten i det ena systemet ges av hastigheten i det andra adderat till den relativa hastigheten mellan systemen.	+

-	~~'''Bilar som kör om varandra'''<br />~~	+	I figur [[#fig:alicebobEvent\|[fig:alicebobEvent]]] visas en händelse <math display="inline">E</math> i punkten <math display="inline">x_E</math> vid tiden <math display="inline">t</math> och Bobs position <math display="inline">vt</math> vid samma tidpunkt.
-	~~Vid~~ en ~~omkörning körs den ena bilen (~~<math display="inline">A</math>~~) med en konstant hastighet~~ <math display="inline">~~v = 50~~</math> ~~km/h om av en annan bil (~~<math display="inline">B</math>~~) med en konstant hastighet~~ <math display="inline">~~u = 70~~</math> ~~km/h~~. ~~Här har hastigheterna angivits relativt vägbanans inertialsystem. Om vi i stället beskriver rörelsen från inertialsystemet där~~ <math display="~~inline~~">A</math> ~~är i vila, som rör sig med hastigheten~~ <math display="inline">v</math> ~~relativt vägbanan~~, ~~kommer bil~~ <math display="inline">B</math> i ~~detta~~ att ~~röra sig med hastigheten~~ <math display="inline">u'</math> ~~som ges av~~<br />	+
-	<~~math display~~="~~block~~">~~70~\mbox{km~~/h} = ~~u' + 50~\mbox{km/h} \quad \Longrightarrow \quad u'~~ = ~~70 - 50 ~\mbox{km/h} = 20~\mbox{km/h}.~~</~~math~~><br />	+	Ur denna figur erhålls sambandet<br />
-	~~Vi kan även använda oss av hastighetsaddition för att kontrollera~~ att <math display="inline">A</math>~~s hastighet~~ <math display="inline">~~v_A'~~</math> i ~~sitt eget~~ vilosystem ~~är noll enligt~~<br />	+	<math display="block">x'_E + vt = x_E \quad \Longleftrightarrow \quad x'_E = x_E - vt.</math><br />
-	<math display="block">50~\mbox{~~km/h~~} ~~= v_A' + 50~~~\mbox{~~km/h~~} \quad ~~\Longrightarrow \quad v_A'~~ = 0~\mbox{~~km/h~~}</math><br />	+	Allmänt sett skulle vi även kunnat tänka oss att använda en förskjuten tidskoordinat <math display="inline">t' = t + \tau</math>, där <math display="inline">\tau</math> är en konstant i Bobs inertialsystem, men konventionen här är att använda samma tidskoordinat i båda systemen och därför sätta <math display="inline">t' = t</math>. Detta leder till att tids- och rumskoordinaterna för en given händelse i de olika systemen förhåller sig enligt
-	~~samt att vägbanans hastighet~~ <math display="inline">w'</math> ~~relativt~~ <math display="inline">A</math> ~~ges~~ av<br />	+
-	<math display="block">0~\mbox{~~km/h~~} ~~= w~~' ~~+ 50~~~\mbox{~~km/h~~}\~~quad~~ \~~Longrightarrow~~ \~~quad w'~~ = -50~\mbox{~~km/h~~}.</math><br />	+	<span>align</span> t’ &= t,<br />
-	~~Notera här~~ att ~~minustecknet betyder att vägbanan rör sig i motsatt riktning i~~ <math display="inline">~~A</math>s inertialsystem jämfört hur <math display~~=~~"inline">A~~</math> ~~rör sig i vägbanans inertialsystem~~.	+	x’ &= x - vt.
		+
		+	Om vi vet koordinaterna för en händelse i ett av systemen samt hur fort systemen rör sig i förhållande till varandra kan vi således beräkna koordinaterna för händelsen i det andra systemet. Denna relation mellan koordinaterna i olika inertialsystem kallas för ''galileitransformationen''<span id="def:galileitransformation" label="def:galileitransformation">[def:galileitransformation]</span>.
		+
		+	<span id="ex:trafikljusgalilei" label="ex:trafikljusgalilei">[ex:trafikljusgalilei]</span> '''Alice, Bob och trafikljuset'''<br />
		+	Bob passerar Alice med sin bil med den konstanta hastigheten 10 m/s och båda ställer in sina klockor så att de vid denna tidpunkt visar <math display="inline">t = t' = 0</math>. Vid koordinaten <math display="inline">x = 100</math> m i Alices vilosystem finns ett trafikljus som slår om till rött fem sekunder senare. Denna händelse har därför koordinaterna<br />
		+	<math display="block">t = 5~\mbox{s} \quad \mbox{och} \quad x = 100~\mbox{m}</math><br />
		+	i Alices vilosystem <math display="inline">S</math>. För att ta reda på vilka koordinater trafikljusets omslag har i Bobs vilosystem <math display="inline">S'</math> kan vi använda oss av galileitransformationen och erhåller då<br />
		+	<math display="block">t' = t = 5~\mbox{s} \quad \mbox{och} \quad x' = x - vt = (100~\mbox{m} - (10~\mbox{m}/\mbox{s})\cdot(5~\mbox{s})) = 50~\mbox{m}.</math><br />
		+	Även för Bob inträffar omslaget därför fem sekunder efter att han kört förbi Alice, men det inträffar <math display="inline">x'=50</math> m bort.

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Låt oss nu tänka oss att Bob kastar en boll i samma riktning som han rör sig relativt Alice och bollen rör sig med hastigheten $u'$ i Bobs vilosystem
Mustafa Al-Abaychi — Fri, 26 Jan 2018 13:16:05 GMT

Ny sida: Låt oss nu tänka oss att Bob kastar en boll i samma riktning som han rör sig relativt Alice och bollen rör sig med hastigheten <math display="inline">u'</math> i Bobs vilosystem <math ...

Ny sida

Låt oss nu tänka oss att Bob kastar en boll i samma riktning som han rör sig relativt Alice och bollen rör sig med hastigheten <math display="inline">u'</math> i Bobs vilosystem <math display="inline">S'</math>, se figur [[#fig:alicebobball|[fig:alicebobball]]].

Detta innebär att bollens rörelse kan beskrivas genom att ange bollens läge <math display="inline">x'</math> relativt Bob som funktion av tiden 
<math display="block">x'(t) = x_0 + u't.</math> 
Med hjälp av galileitransformationen kan vi beräkna hur bollen rör sig i Alices inertialsystem <math display="inline">S</math>, det vill säga hur koordinaten <math display="inline">x</math> beror på <math display="inline">t</math>. Detta ger 
<math display="block">x(t) = x'(t) + vt = x_0 + u't + vt = x_0 + (u'+v)t.</math> 
Detta är precis den ekvation som beskriver ett objekt som rör sig likformigt med hastigheten <math display="inline">u = u'+v</math> i Alices inertialsystem. Vi får därför sambandet 
<math display="block">u = u'+v</math> 
som relaterar hastigheten <math display="inline">u</math> av ett objekt i Alices inertialsystem med objektets hastighet <math display="inline">u'</math> i Bobs inertialsystem. Resultatet stämmer även mycket väl överens med vår intuition om hur hastigheter fungerar. Sambandet mellan hastigheterna i de olika inertialsystemen kallas för ''hastighetsaddition''[def:klassiskhastighetsaddition] av den enkla anledning att hastigheten i det ena systemet ges av hastigheten i det andra adderat till den relativa hastigheten mellan systemen.

'''Bilar som kör om varandra''' 
Vid en omkörning körs den ena bilen (<math display="inline">A</math>) med en konstant hastighet <math display="inline">v = 50</math> km/h om av en annan bil (<math display="inline">B</math>) med en konstant hastighet <math display="inline">u = 70</math> km/h. Här har hastigheterna angivits relativt vägbanans inertialsystem. Om vi i stället beskriver rörelsen från inertialsystemet där <math display="inline">A</math> är i vila, som rör sig med hastigheten <math display="inline">v</math> relativt vägbanan, kommer bil <math display="inline">B</math> i detta att röra sig med hastigheten <math display="inline">u'</math> som ges av 
<math display="block">70~\mbox{km/h} = u' + 50~\mbox{km/h} \quad \Longrightarrow \quad u' = 70 - 50 ~\mbox{km/h} = 20~\mbox{km/h}.</math> 
Vi kan även använda oss av hastighetsaddition för att kontrollera att <math display="inline">A</math>s hastighet <math display="inline">v_A'</math> i sitt eget vilosystem är noll enligt 
<math display="block">50~\mbox{km/h} = v_A' + 50~\mbox{km/h} \quad \Longrightarrow \quad v_A' = 0~\mbox{km/h}</math> 
samt att vägbanans hastighet <math display="inline">w'</math> relativt <math display="inline">A</math> ges av 
<math display="block">0~\mbox{km/h} = w' + 50~\mbox{km/h}\quad \Longrightarrow \quad w' = -50~\mbox{km/h}.</math> 
Notera här att minustecknet betyder att vägbanan rör sig i motsatt riktning i <math display="inline">A</math>s inertialsystem jämfört hur <math display="inline">A</math> rör sig i vägbanans inertialsystem.

1.2 - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi den 26 januari 2018 kl. 13.19