Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Här sammanfattas några matematiska resultat som används i kursen. För fler exempel, härledningar och förklaring av vad det betyder att ett uttryck går mot noll hänvisas till gymnasi...

2018-01-26T13:50:11Z

Ny sida: Här sammanfattas några matematiska resultat som används i kursen. För fler exempel, härledningar och förklaring av vad det betyder att ett uttryck går mot noll hänvisas till gymnasi...

Ny sida

Här sammanfattas några matematiska resultat som används i kursen. För fler exempel, härledningar och förklaring av vad det betyder att ett uttryck går mot noll hänvisas till gymnasiets eller universitetets matematikkurser.

'''Pythagoras sats och vektorer'''

Pythagoras sats säger att sidlängderna <math display="inline">a,b,c</math> i en rätvinklig triangel med <math display="inline">c</math> som den längsta sidan uppfyller 
<math display="block">c^2=a^2+b^2.</math> 
Detta kan användas för att bestämma längden hos en vektor, till exempel positionsvektorn <math display="inline">\vec{r}=(x,y,z)</math>. Längden i kvadrat blir summan av kvadraterna av koordinaterna 
<math display="block">r^2=x^2+y^2+z^2.</math> 
Hastigheten i tre dimensioner är derivatan av positionsvektorn med avseende på tiden, <math display="inline">d\vec{v}=d\vec{r}/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)</math>. Kvadraten av hastigheten blir 
<math display="block">v^2=(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2.</math> 
'''Konjugatregeln'''

Uttrycket <math display="inline">a^2 - b^2</math> kan faktoriseras enligt 
<math display="block">a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)</math> 
för godtyckliga <math display="inline">a</math> och <math display="inline">b</math>. Detta följer ur 
<math display="block">(a+b)(a-b) = (a+b)a - (a+b)b = a^2 + ba - ab - b^2 = a^2 - b^2.</math> 
'''Approximationer'''

Vi behöver flera approximationer. I matematiken härleds dessa ofta med hjälp av Taylors formel men vi ska ge en enklare algebraisk härledning. För små värden på <math display="inline">x</math> så att <math display="inline">x\ll 1</math> gäller följande approximation: 
<math display="block">\sqrt{1+x}\approx 1+x/2.</math> 
För att härleda uttrycket kvadrerar vi högerledet och bortser från <math display="inline">x^2</math>-termer och högre potenser av <math display="inline">x</math> om sådana finns: 
<math display="block">(1+x/2)^2=1+x+(x/2)^2 \approx 1+x
\Rightarrow
\sqrt{1+x}\approx 1+x/2</math> 
eftersom <math display="inline">x^2</math> kan försummas jämfört med <math display="inline">x</math> då <math display="inline">x \ll 1</math>. Vi kommer även använda approximationen 
<math display="block">\frac{1}{1+x} \approx 1-x,</math> 
som följer ur betraktandet <math display="inline">(1-x)(1+x)=1-x^2 \approx 1</math>. En annan viktig approximation används när vi studerar rotuttrycket 
<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1+x}}\approx 1-x/2.</math> 
Detta kan härledas enligt <math display="inline">1/\sqrt{1+x}
\approx 1/(1+x/2)
\approx 1-x/2</math>. I samtliga formler ovan kan <math display="inline">x</math> byta tecken eller bytas mot <math display="inline">x^2</math>. Exempel: 
<math display="block">\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\approx 1+x^2/2</math> 
'''Derivator'''

Derivatan av en funktion <math display="inline">f</math> definieras som 
<math display="block">\frac{df}{dx}=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x},</math> 
där intervallet <math display="inline">\Delta x</math> ska gå mot noll. Exempel: en rät linje med riktningskoefficient eller lutningen <math display="inline">k</math> har ekvationen <math display="inline">f(x)=kx+l</math> och derivatan blir 
<math display="block">\frac{df}{dx}
=\frac{[k(x+\Delta x)+l]-[kx+l]}{\Delta x}
=k.</math> 
Alltså är derivatan lika med lutningen. För en ickelinjär funktion är derivatan i punkten <math display="inline">x</math> lika med tangentens lutning och varierar med <math display="inline">x</math>. Exempel: för <math display="inline">f=x^2</math> blir 
<math display="block">\frac{df}{dx}
=\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}
=\frac{x^2+2x\Delta x+ (\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}
=2x+\Delta x=2x</math> 
eftersom <math display="inline">\Delta x</math>-termen går mot noll. Vi behöver ett resultat till som vi ska använda utan härledning. Derivatan ovan är ett specialfall av deriveringsregeln 
<math display="block">\frac{dx^y}{dx}=yx^{y-1},</math> 
där <math display="inline">y</math> inte behöver vara ett heltal. Vi behöver även derivera sammansatta funktioner av typ <math display="inline">f(g(x))</math> vilket görs med kedjeregeln 
<math display="block">\frac{df}{dx}=\frac{df}{dg}\frac{dg}{dx}.</math> 
Exempel: bestäm derivatan av <math display="inline">f(x)=1/\sqrt{1-x^2}=(1-x^2)^{-1/2}</math>. Kedjeregeln med <math display="inline">f(g)=g^{-1/2}</math> och <math display="inline">g(x)=1-x^2</math> ger 
<math display="block">\frac{df}{dx}
=-\frac{1}{2}g^{-3/2}\cdot(-2x)
=\frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}.</math> 
Kedjeregeln kan även skrivas 
<math display="block">\frac{df}{dx}=\frac{df/dg}{dx/dg},</math> 
där vi utnyttjat formeln för derivatan av en invers funktion: <math display="inline">dg/dx=1/(dx/dg)</math>.

'''Grekiska bokstäver'''

Många fysikaliska storheter betecknas med bokstäver från det grekiska alfabetet, så även storheter som förekommer inom speciell relativitetsteori. Det grekiska alfabetet är:

{|
!align="center"|

! Svensk transkribering
!align="center"|

! Svensk transkribering
|-
|align="center"| <math display="inline">\alpha</math>
| alfa
|align="center"| <math display="inline">\nu</math>
| ny
|-
|align="center"| <math display="inline">\beta</math>
| beta
|align="center"| <math display="inline">\xi</math>
| xi
|-
|align="center"| <math display="inline">\gamma</math>
| gamma
|align="center"| <math display="inline">o</math>
| omikron
|-
|align="center"| <math display="inline">\delta</math>
| delta
|align="center"| <math display="inline">\pi</math>
| pi
|-
|align="center"| <math display="inline">\epsilon</math>
| epsilon
|align="center"| <math display="inline">\rho</math>
| rho
|-
|align="center"| <math display="inline">\zeta</math>
| zeta
|align="center"| <math display="inline">\sigma</math>
| sigma
|-
|align="center"| <math display="inline">\eta</math>
| eta
|align="center"| <math display="inline">\tau</math>
| tau
|-
|align="center"| <math display="inline">\theta</math>
| theta
|align="center"| <math display="inline">\upsilon</math>
| ypsilon
|-
|align="center"| <math display="inline">\iota</math>
| jota
|align="center"| <math display="inline">\phi</math>
| fi
|-
|align="center"| <math display="inline">\kappa</math>
| kappa
|align="center"| <math display="inline">\chi</math>
| chi
|-
|align="center"| <math display="inline">\lambda</math>
| lambda
|align="center"| <math display="inline">\psi</math>
| psi
|-
|align="center"| <math display="inline">\mu</math>
| my
|align="center"| <math display="inline">\omega</math>
| omega
|}

Bilaga A: Matematiska formler - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Här sammanfattas några matematiska resultat som används i kursen. För fler exempel, härledningar och förklaring av vad det betyder att ett uttryck går mot noll hänvisas till gymnasi...