Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Vi börjar med att söka ett samband som talar om hur energin och rörelsemängden för ett objekt i olika inertialsystem förhåller sig till varandra. Som vi diskuterade i kapitel [[#c...

2018-01-26T13:45:30Z

Ny sida: Vi börjar med att söka ett samband som talar om hur energin och rörelsemängden för ett objekt i olika inertialsystem förhåller sig till varandra. Som vi diskuterade i kapitel [[#c...

Ny sida

Vi börjar med att söka ett samband som talar om hur energin och rörelsemängden för ett objekt i olika inertialsystem förhåller sig till varandra.

Som vi diskuterade i kapitel [[#ch:relativistiskkinematik|]] kan energin för ett objekt med massa <math display="inline">m</math> (det vill säga viloenergi <math display="inline">mc^2</math>) i inertialsystemet <math display="inline">S</math> skrivas 
<math display="block">E = mc^2\gamma = mc^2 \frac{dt}{d\tau},</math> 
där <math display="inline">\tau</math> är egentiden för den världslinje objektet följer. På samma sätt kan objektets rörelsemängd i <math display="inline">x</math>-riktningen skrivas 
<math display="block">p = mv\gamma = m\frac{dx}{d\tau}</math> 
och motsvarande samband gäller 
<math display="block">E' = mc^2\gamma = mc^2 \frac{dt'}{d\tau} \quad \mbox{och} \quad p' = mv\gamma = m\frac{dx'}{d\tau}</math> 
i inertialsystemet <math display="inline">S'</math>. Vi vet att <math display="inline">\tau</math> är en invariant som inte beror på inertialsystemet och behöver därför inte ange något prim för detta. Enligt lorentztransformationen av rums- och tidskoordinaterna erhålls nu 
<math display="block">c\, dt' = \gamma\left(c\, dt - \frac{v}{c} dx\right) \quad \mbox{och} \quad
dx' = \gamma \left( dx - \frac{v}{c} c\, dt\right),</math> 
vilket direkt kan sättas in i uttrycken för <math display="inline">E'</math> och <math display="inline">p'</math>. För <math display="inline">E'</math> leder detta till 
<math display="block">E' = mc^2 \frac{dt'}{d\tau} = \gamma \left(mc^2 \frac{dt}{d\tau} - mv \frac{dx}{d\tau}\right)
= \gamma (E - v p )</math> 
och för <math display="inline">p'</math> fås på samma sätt 
<math display="block">p' = m \frac{dx'}{d\tau} = \gamma \left( m \frac{dx}{d\tau} - v m \frac{dt}{d\tau}\right)
= \gamma ( p - \frac{v}{c^2} E).</math> 

Energin och rörelsemängden för ett objekt i olika inertialsystem är därför relaterade enligt 
<math display="block">\boxed{
E' = \gamma \left(E - \frac{v}{c} pc\right) \quad \mbox{och} \quad
p'c = \gamma \left(pc - \frac{v}{c} E\right)
.}</math> 
Vi noterar att detta är på precis samma form som lorentztransformationen (se ekvation [[#eq:lorentztransformation|[eq:lorentztransformation]]]) med <math display="inline">ct</math> utbytt mot <math display="inline">E</math> och <math display="inline">x</math> utbytt mot <math display="inline">pc</math>. Dessa samband talar om för oss hur ett objekts energi och rörelsemängd i olika inertialsystem förhåller sig till varandra och definierar ''lorentztransformationen för energi och rörelsemängd''. På precis samma sätt som lorentztransformationen kopplar samman rum och tid kopplar den alltså samman rörelsemängd och energi.

Lorentztransformationen för rörelsemängd och energi kan på ett rättframt sätt även utvidgas till de övriga två rumsdimensionerna. På samma sätt som ovan fås då <math display="inline">p'_y = p_y</math> och <math display="inline">p'_z = p_z</math> eftersom <math display="inline">dy' = dy</math> och <math display="inline">dz' = dz</math>.

'''En proton beskriven i olika inertialsystem''' 
Den totala energin och rörelsemängden hos en proton i inertialsystemet <math display="inline">S</math> ges av <math display="inline">E = 1.15</math> GeV och <math display="inline">pc = -0.58</math> GeV. I ett inertialsystem <math display="inline">S'</math> som rör sig med hastigheten <math display="inline">v = c/2</math> relativt <math display="inline">S</math> ges protonens energi och rörelsemängd då av lorentztransformationen

<math display="block">\begin{aligned}
E' &= \frac{2}{\sqrt{3}} \left( 1.15 + \frac{1}{2} 0.58 \right) \approx 1.7~\mbox{GeV}, \\
\quad p'c &= \frac{2}{\sqrt{3}}\left(-0.58 - \frac{1}{2} 1.15\right) \approx -1.3~\mbox{GeV}.\end{aligned}</math>

Som diskuterades i föregående kapitel kan vi nu finna protonens hastighet i det nya systemet genom sambandet 
<math display="block">u' = \frac{p'c}{E'}c \approx \frac{1.3}{1.7} c \approx 0.76c.</math> 

'''Allmänna lorentztransformationer och invarianter'''

Vi har nu sett att lorentztransformationen kopplar ihop rörelsemängd och energi på samma sätt som den kopplar ihop rum och tid. Det visar sig att det även finns andra storheter som kopplas ihop på liknande sätt och vi kan säga att två storheter <math display="inline">k_0</math> och <math display="inline">k_1</math> uppfyller en ''allmän lorentztransformation'' om deras värden i inertialsystemen <math display="inline">S</math> och <math display="inline">S'</math> förhåller sig enligt 
<math display="block">\boxed{
k_0' = \gamma \left( k_0 - \frac{v}{c} k_1\right) \quad \mbox{och}\quad
k_1' = \gamma \left( k_1 - \frac{v}{c} k_0\right).}</math> 
I fallet med rum- och tidskoordinater har vi <math display="inline">k_0 = ct</math> och <math display="inline">k_1 = x</math> medan vi i fallet med rörelsemängd och energi har <math display="inline">k_0 = E</math> och <math display="inline">k_1 = pc</math>.

Som vi tidigare diskuterat är invarianta storheter av stor vikt inom fysiken och förutsatt att vi har storheter som transformerar enligt den allmänna lorentztransformationen kan vi använda dem för att skriva ner olika invarianter. Om vi har två uppsättningar av storheter, <math display="inline">k_0</math> och <math display="inline">k_1</math> samt <math display="inline">q_0</math> och <math display="inline">q_1</math>, som uppfyller den allmänna lorentztransformationen så gäller det att <math display="block">\begin{aligned}
k_0' q_0' - k_1' q_1'
&=
\gamma^2 \left(k_0 -\frac{v}{c} k_1\right)\left(q_0 -\frac{v}{c} q_1\right) - \gamma^2 \left(k_1 -\frac{v}{c} k_0\right)\left(q_1 -\frac{v}{c} q_0\right) \nonumber \\
&=
\gamma^2 \left[k_0q_0 - \frac{v}{c}(k_0q_1 + q_0k_1) + \frac{v^2}{c^2}k_1q_1\right. \nonumber \\
& \phantom{= \gamma^2 [} \left. - k_1q_1 + \frac{v}{c}(k_1q_0 + k_0q_1) - \frac{v^2}{c^2} k_0 q_0\right] \nonumber \\
&=
\gamma^2 \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right) (k_0q_0 - k_1 q_1) = k_0q_0 - k_1 q_1,\end{aligned}</math> det vill säga uttrycket <math display="inline">k_0q_0 - k_1q_1</math> är just en invariant som tar samma värde i alla inertialsystem. Detta är ett ytterst användbart samband, speciellt då vi ofta kommer kunna uttrycka <math display="inline">k_0</math>, <math display="inline">k_1</math>, <math display="inline">q_0</math> och <math display="inline">q_1</math> på olika sätt i olika inertialsystem och därigenom kunna relatera storheter i olika inertialsystem med varandra. Hur detta fungerar kommer att visas mer konkret inom kort. Vi kan beteckna ett par av storheter <math display="inline">k_0</math> och <math display="inline">k_1</math> som uppfyller den allmänna lorentztransformationen med <math display="inline">k = (k_0,k_1)</math> och införa en beteckning för invarianten ovan enligt 
<math display="block">\boxed{k\cdot q = (k_0,k_1)\cdot(q_0,q_1) = k_0 q_0 - k_1 q_1.}</math> 
Minustecknet är här nödvändigt för att storheten ska vara invariant och har samma ursprung som minustecknet i det invarianta rumtidsintervallet. Denna definition kommer att avsevärt underlätta vår notation i den återstående delen av detta kapitel. När vi arbetar med tre rumsdimensioner kommer storheterna <math display="inline">k_1</math> och <math display="inline">q_1</math> att bytas ut mot tredimensionella vektorer <math display="inline">\vec k=(k_1,k_2,k_3)</math> och <math display="inline">\vec q = (q_1,q_2,q_3)</math> och produkten <math display="inline">k_1 q_1</math> kommer att bytas ut mot skalärprodukten 
<math display="block">\vec k \cdot \vec q = k_1 q_1 + k_2 q_2 + k_3 q_3.</math> 

'''Energi, rörelsemängd och massa''' 
I fallet med ett objekts rörelsemängd och energi kan vi välja <math display="inline">k_0 = q_0 = E</math> och <math display="inline">k_1 = q_1 = pc</math> samt införa beteckningen <math display="inline">P = (E, pc)</math>. Storheten <math display="inline">k_0q_0 - k_1 q_1 = P\cdot P</math> ges då av 
<math display="block">P\cdot P = E^2 - p^2 c^2 = m^2c^4 \gamma^2 - m^2 c^2 v^2 \gamma^2 = m^2 c^4 \gamma^2 \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = m^2 c^4.</math> 
Invarianten som fås genom detta är således objektets viloenergi i kvadrat som således kan räknas ut genom att ställa upp uttrycket <math display="inline">E^2 - p^2 c^2</math> i ett godtyckligt inertialsystem, precis som vi kom fram till i föregående kapitel. Objektet <math display="inline">P = (E,pc)</math> som innehåller ett objekts energi och rörelsemängd kallas för objektets ''4-rörelsemängd''.

Det bör också nämnas att om vi har två uppsättningar av storheter som transformeras enligt den allmänna lorentztransformationen så kommer även deras summa och differens att göra det. Detta fås direkt ur 
<math display="block">k'_0 \pm q'_0 = \gamma \left(k_0 - \frac{v}{c}k_1\right) \pm \gamma \left(q_0 - \frac{v}{c}q_1\right)
= \gamma \left[(k_0\pm q_0) - \frac{v}{c} (k_1\pm q_1)\right]</math> 
och motsvarande betraktande för <math display="inline">k'_1 \pm q'_1</math>.

'''En summa av energier och rörelsemängder''' 
Om vi betraktar två objekt med energierna <math display="inline">E_1</math> respektive <math display="inline">E_2</math> samt rörelsemängderna <math display="inline">p_1</math> respektive <math display="inline">p_2</math> så gäller det att den totala energin <math display="inline">E = E_1 + E_2</math> och den totala rörelsemängden <math display="inline">p = p_1 + p_2</math> uppfyller den allmänna lorentztransformationen

 
<math display="block">E' = E'_1 + E'_2 = \gamma \left[ E_1+E_2 - v (p_1+p_2)\right] = \gamma ( E - v p)</math> 
samt 
<math display="block">p' = p'_1 + p'_2 = \gamma \left[p_1 + p_2 - \frac{v}{c^2}(E_1 + E_2)\right] = \gamma\left( p - \frac{v}{c^2}E\right).</math>

9.1 - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Vi börjar med att söka ett samband som talar om hur energin och rörelsemängden för ett objekt i olika inertialsystem förhåller sig till varandra. Som vi diskuterade i kapitel [[#c...