http://wiki.sommarmatte.se/wikis/relativitetsteori2018/index.php?action=history&feed=atom&title=8.18.1 - Versionshistorik2026-04-11T13:39:33ZVersionshistorik för denna sida på wikinMediaWiki 1.11.1http://wiki.sommarmatte.se/wikis/relativitetsteori2018/index.php?title=8.1&diff=52&oldid=prevMustafa Al-Abaychi: Ny sida: Innan vi kommer till relativistisk mekanik ska vi sammanfatta några huvudresultat inom klassisk mekanik. Fokus kommer att ligga på ''bevarandelagar''<span id="def:bevarandelagar" label="d...2018-01-26T13:42:37Z<p>Ny sida: Innan vi kommer till relativistisk mekanik ska vi sammanfatta några huvudresultat inom klassisk mekanik. Fokus kommer att ligga på ''bevarandelagar''<span id="def:bevarandelagar" label="d...</p>
<p><b>Ny sida</b></p><div>Innan vi kommer till relativistisk mekanik ska vi sammanfatta några huvudresultat inom klassisk mekanik. Fokus kommer att ligga på ''bevarandelagar''<span id="def:bevarandelagar" label="def:bevarandelagar">[def:bevarandelagar]</span> som är centrala resultat i mekaniken. En bevarandelag beskriver att en egenskap inte ändras med tiden. De egenskaper som ska studeras är massa, energi och rörelsemängd. I klassisk mekanik bevaras den totala massan, energin och rörelsemängden även om systemet genomgår reaktioner och kollisioner, så att dessa antar samma värden före och efter kollisionen. Vi ska först se hur detta fungerar i klassisk fysik för att sedan komma till vad som behöver modifieras i relativitetsteorin.<br />
<br />
'''Massa'''<br />
<br />
Vi börjar med att diskutera begreppet massa och dess egenskaper i klassisk mekanik. Massan hos ett objekt är en karakteristisk konstant hos varje system, som klassiskt definieras som proportionalitetskonstanten mellan en kraft som påverkar objektet och den resulterande accelerationen. Detta är Newtons andra lag<br /><br />
<math display="block">F=ma,</math><br /><br />
där <math display="inline">F</math> är kraften, <math display="inline">m</math> är massan och <math display="inline">a</math> är accelerationen. Massan 1 kg definieras idag som massan hos den internationella prototypen för kilogrammet (IPK) som lagras i Sèvres i Frankrike. Det finns flera kopior av standardmassan runt om i världen. Massan hos andra objekt kan bestämmas experimentellt genom att jämföra accelerationen som en given kraft ger. Om standardmassan <math display="inline">m_0</math> får accelerationen <math display="inline">a_0</math> så blir <math display="inline">F=m_0a_0=ma \Rightarrow m=m_0 a_0/a</math>. Det vanligare sättet att bestämma massa är att använda en våg som utnyttjar att gravitationskraften vid jordytan är <math display="inline">F=mg</math>, där <math display="inline">g\approx 9.8</math> m/s<math display="inline">^2</math> är tyngdaccelerationen vid jordytan. Genom att mäta gravitationskraften med till exempel utsträckningen av en fjäder på grund av tyngdkraften kan <math display="inline">m</math> bestämmas.<br />
<br />
Det finns några andra relaterade begrepp som vi nämner för fullständighetens skull. Massan <math display="inline">m</math> som förekommer i Newtons gravitationslag kallas ibland den “tunga massan” och man kan fråga sig om den är samma sak som den “tröga massan” i Newtons andra lag. Experimentellt finns ingen skillnad på värdena av de två och de antas därför vara samma. Detta antagande är en av grundtankarna bakom Einsteins allmänna relativitetsteori som vi inte kommer att gå in på i denna kurs. Ett närliggande begrepp är tyngden hos en kropp, som ges av gravitationskraften på en massa, det vill säga <math display="inline">F = mg</math>. Denna beror på värdet av tyngdaccelerationen <math display="inline">g</math> och ändras om värdet på <math display="inline">g</math> ändras. I tyngdlöshet är <math display="inline">g\approx 0</math>. På månen är tyngdaccelerationen ungefär <math display="inline">0.16 g</math> och tyngden hos ett objekt blir därför enbart 16 % av tyngden vid jordytan.<br />
<br />
''Lagen om massans bevarande'' är en viktig princip i klassisk fysik som säger att massa inte kan förstöras eller skapas. Vid en reaktion är summan av de ingående massorna samma före och efter reaktionen. Denna lag är ofta väldigt användbar till exempel inom kemi och vätskeflöden, men gäller inte i allmänhet relativistiskt. Vi såg redan ett exempel ovan när vi diskuterade Einsteins låda på hur massa kan omvandlas till strålning.<br />
<br />
'''Rörelsemängd'''<br />
<br />
Rörelsemängden <math display="inline">p</math> definieras inom den klassiska mekaniken som massan <math display="inline">m</math> gånger hastigheten <math display="inline">v=dx/dt</math> hos ett objekt:<br /><br />
<math display="block">p=mv.</math><br /><br />
Vi antar här rörelse enbart i <math display="inline">x</math>-riktningen för enkelhets skull. I allmänhet är hastighet och rörelsemängd vektorer med komponenter i <math display="inline">x,y,z</math>-riktningarna: <math display="inline">(p_x,p_y,p_z)=(mv_x,mv_y,mv_z)</math>. Newtons rörelselag kan med hjälp av rörelsemängden uttryckas på följande sätt:<br /><br />
<math display="block">F=\frac{dp}{dt}=m\,\frac{dv}{dt}.</math><br /><br />
Den sista likheten gäller om <math display="inline">m</math> inte beror på tiden. Detta är inte nödvändigtvis sant. Exempelvis minskar massan hos ett rymdskepp med tiden på grund av att raketbränslet konsumeras och rörelseekvationen på formen <math display="inline">F=dp/dt=v\,dm/dt+m\,dv/dt</math> måste användas.<br />
<br />
Redan i kapitel [[#ch:klassiskmekanik|]] nämnde vi Newtons första lag som säger att utan yttre krafter befinner sig ett objekt i likformig rörelse:<br /><br />
<math display="block">F=\frac{dp}{dt}=0<br />
\quad \Longrightarrow \quad<br />
p=\mbox{konstant}.</math><br /><br />
Vid likformig rörelse bevaras alltså rörelsemängden. Vi kommer ofta diskutera vad som händer vid en kollision mellan två partiklar. Då bevaras den totala rörelsemängden som ges av summan av partiklarnas rörelsemängder. Den totala rörelsemängden är lika stor före och efter kollisionen. Denna egenskap är grunden för mycket av det som kommer att diskuteras i detta kapitel. Nästa exempel är viktigt och ger det centrala resultatet: rörelsemängdens bevarande är invariant det vill säga gäller i alla inertialsystem.<br />
<br />
'''Rörelsemängd hos kolliderande partiklar'''<br /><br />
Två partiklar med massa <math display="inline">m_1</math> och <math display="inline">m_2</math>, hastighet <math display="inline">v_1</math> och <math display="inline">v_2</math>, och rörelsemängd <math display="inline">p_1=m_1v_1,p_2=m_2v_2</math> kolliderar med varandra. Partiklarna påverkar varandra med en kraft vid kollisionen, men inga yttre krafter antas verka på systemet. Alice studerar kollisionen i sitt vilosystem. Enligt Newtons andra lag är <math display="inline">dp_1/dt=F_1</math> och <math display="inline">dp_2/dt=F_2</math> där <math display="inline">F_1</math> är kraften från partikel 2 på 1, och <math display="inline">F_2</math> är kraften från partikel 1 på 2. Enligt Newtons tredje lag är dessa krafter lika stora och motriktade: <math display="inline">F_1=-F_2</math>. Summan av partiklarnas rörelseekvationer blir därför <math display="block">\frac{d}{dt}(p_1+p_2)=F_1+F_2=0.</math> Detta visar att den totala rörelsemängden <math display="inline">p_1+p_2</math> bevaras, det vill säga <math display="inline">p_1+p_2</math> beror inte på tiden utan antar samma värde vid alla tider, före och efter kollisionen. Vad gäller i andra inertialsystem? Bobs vilosystem rör sig med hastighet <math display="inline">v</math> relativt Alice. Enligt galileitransformationen och den klassiska hastighetsadditionsformeln är partiklarnas hastigheter i Bobs inertialsystem <math display="inline">v_1'=v_1-v</math> och <math display="inline">v_2'=v_2-v</math>, och rörelsemängderna blir <math display="inline">p_1'=m_1v_1-m_1v=p_1-m_1v</math> och <math display="inline">p_2'=m_2v_2-m_2v=p_2-m_2v</math>. Rörelsemängderna har alltså inte samma värden som i Alices system. Vi erhåller nu <math display="block">\frac{d}{dt}(p_1'+p_2')= \frac{d}{dt}(p_1 + p_2) - (m_1 + m_2) \frac{dv}{dt} =<br />
\frac{d}{dt}(p_1+p_2)=0</math> eftersom <math display="inline">v</math> är en konstant. Detta visar att om rörelsemängden bevaras i ett inertialsystem så bevaras den i alla.<br />
<br />
Slutsatsen är att rörelsemängden beror på valet av inertialsystem, men nyckelobservationen är att totala rörelsemängden bevaras i alla inertialsystem. Detta följer av galileitransformationen och klassisk hastighetsaddition.<br />
<br />
'''Energi'''<br />
<br />
I klassisk mekanik definieras ''rörelseenergin''<span id="def:rorelseenergi" label="def:rorelseenergi">[def:rorelseenergi]</span> eller ''kinetiska energin'' som<br /><br />
<math display="block">T=\frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m},</math><br /><br />
där <math display="inline">p=mv</math> är rörelsemängden. Den totala rörelseenergin för de två partiklarna i exemplet ovan blir<br /><br />
<math display="block">E=\frac{p_1^2}{2m_1}+\frac{p_2^2}{2m_2}</math><br /><br />
i Alices system. Värdet i Bobs system är annorlunda och ges i stället av<br /><br />
<math display="block">E'=\frac{(p'_1)^2}{2m_1}+\frac{(p'_2)^2}{2m_2}<br />
=\frac{(p_1-m_1v)^2}{2m_1}+\frac{(p_2-m_2v)^2}{2m_2},</math><br /><br />
vilket inte överensstämmer med energins värde <math display="inline">E</math> i Alices system. Rörelseenergins värde beror alltså, liksom rörelsemängdens värde, på valet av inertialsystem,<br />
<br />
Så kallade konservativa krafter kan skrivas som derivatan av en potentiell energi <math display="inline">V</math> som<br /><br />
<math display="block">F=-\frac{dV}{dx}.</math><br /><br />
Vid konservativa krafter definieras den totala energin som<br /><br />
<math display="block">E=T+V.</math><br /><br />
Ändringen av den totala energin med tiden ges av<br /><br />
<math display="block">\frac{dE}{dt}<br />
=\frac{d}{dt}\frac{p^2}{2m}+\frac{dV}{dt}<br />
=\frac{dp}{dt}\frac{p}{m}+\frac{dV}{dx}\frac{dx}{dt}<br />
=Fv-Fv=0</math><br /><br />
enligt Newtons rörelselag <math display="inline">F=dp/dt=-dV/dx</math> och kedjeregeln för derivering <math display="inline">dV(x(t))/dt=(dV(x)/dx)(dx/dt)</math>. Detta är energiprincipen, eller lagen om att den totala energin bevaras. Den säger att den totala energin är konstant men kan omvandlas mellan olika energiformer. Det kan även finnas fler former än de som nämnts ovan, exempelvis som värmeenergi och strålningsenergi. Det allmänna resultatet är att den totala energin bevaras om alla bidrag tas med.<br />
<br />
Sammanfattningsvis har vi formulerat tre viktiga bevarandelagar i klassisk mekanik: massa och energi bevaras, och rörelsemängd bevaras hos fri rörelse. Bevarandelagarna gäller i alla inertialsystem.</div>Mustafa Al-Abaychi