Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Den andra klassiska paradoxen vi ska titta närmare på är den så kallade ''garageparadoxen''[def:garageparadoxen], vilk...

2018-01-26T13:41:00Z

Ny sida: Den andra klassiska paradoxen vi ska titta närmare på är den så kallade ''garageparadoxen''[def:garageparadoxen], vilk...

Ny sida

Den andra klassiska paradoxen vi ska titta närmare på är den så kallade ''garageparadoxen''[def:garageparadoxen], vilken uppkommer när vi studerar längdkontraktion och det faktum att denna på ett sätt som liknar tidsdilatationen är symmetrisk, det vill säga objekt som är i vila i inertialsystemet <math display="inline">S</math> blir längdkontraherade i <math display="inline">S'</math> och vice versa. Paradoxen formuleras på följande sätt: Antag att Bob kör sin nya bil med vilolängd <math display="inline">\ell</math> i en hastighet <math display="inline">v</math> relativt ett garage som också har vilolängden <math display="inline">\ell</math>, se figur [[#fig:garage|[fig:garage]]]. Garaget befinner sig i vila i Alices vilosystem <math display="inline">S</math> och i detta system är Bobs bil längdkontraherad och har därmed längden <math display="inline">\ell' = \ell/\gamma</math>. Alice konstaterar därmed glatt att bilen kommer att få plats i garaget.

I Bobs inertialsystem <math display="inline">S'</math> ser situationen mer dyster ut, se den undre delen av figur [[#fig:garage|[fig:garage]]]. Eftersom det i <math display="inline">S'</math> är garaget som rör sig med hastigheten <math display="inline">-v</math> är det där garaget som är längdkontraherat och har längden <math display="inline">\ell' = \ell/\gamma</math>, vilket betyder att bilen inte kommer att få plats! Hur kan bilen få plats i garaget i det ena inertialsystemet men inte i det andra? En beskrivning av förloppet i minkowskidiagram baserade på de båda inertialsystemen visas i figur [[#fig:garageminkowski|[fig:garageminkowski]]].

För att kunna lösa garageparadoxen måste vi undersöka vad som menas med att bilen “får plats” i garaget. Innebörden av detta i <math display="inline">S</math> är att det finns en tidpunkt <math display="inline">t = t_0</math> då hela bilen befinner sig inuti garaget. På samma sätt är definitionen i <math display="inline">S'</math> att det ska finnas en tidpunkt <math display="inline">t' = t'_0</math> då hela bilen befinner sig inuti garaget. Precis här finner vi därför paradoxens upplösning. Vi har i de föregående delarna av kursen sett exempel på relativ samtidighet. Eftersom samtidighetslinjerna för <math display="inline">S</math> och <math display="inline">S'</math> inte är parallella är det därför inte nödvändigt att det finns en samtidighetslinje för <math display="inline">S'</math> där hela bilen får plats i garaget bara för att det existerar en samtidighetslinje för <math display="inline">S</math> där den gör det. Detta illustreras i figur [[#fig:garageminkowski2|[fig:garageminkowski2]]] där vi har ritat en samtidighetslinje för <math display="inline">S</math> i minkowskidiagrammet som baserats på <math display="inline">S'</math> för vilken hela bilen befinner sig i garaget.

Det bör noteras att inget fysikaliskt förlopp kommer att ske annorlunda i <math display="inline">S</math> jämfört med vad som händer i <math display="inline">S'</math>. Om vi låter garaget ha dörrar på fram- och baksidan och stänger dessa vid samma tidpunkt i <math display="inline">S</math> så kommer bilen i <math display="inline">S</math> att få plats vid denna tidpunkt. Öppnar vi dörrarna direkt efter passerar bilen utan problem. I <math display="inline">S'</math> kommer detta dock beskrivas på ett sådant sätt att dörren i slutet på garaget både stängdes och öppnades innan dörren i början av garaget stängdes. Därmed tilläts bilen passera trots att den är längre än garaget.

'''Sammanfattning:'''

<ul>
<li>''Tvillingparadoxen'' uppkommer då vi betänker att tidsdilatation är en symmetrisk effekt. Hur kan <math display="inline">A</math> uppfatta att tiden går långsammare för <math display="inline">B</math> samtidigt som <math display="inline">B</math> uppfattar att tiden går långsammare för <math display="inline">A</math>? Detta ställs på sin spets då en av observatörerna åker iväg och sedan återvänder. Det finns många olika sätt att lösa paradoxen, varav vi har diskuterat två:
<ul>
<li>Paradoxen upplöses genom att inse att ''relativ samtidighet'' innebär att situationen inte är symmetrisk. När den resande observatören <math display="inline">B</math> vänder byter denne inertialsystem och uppfattningen om vad som är samtida med vändningen är olika i dessa. Detta leder till att ett tidsgap lätt kan missas när situationen beskrivs utifrån <math display="inline">B</math>s inertialsystem.</li>
<li>Genom att göra en analys av ljussignaler som skickas från <math display="inline">A</math> till <math display="inline">B</math> och vice versa kan vi säkerställa att hänsyn tas till observatörernas hela världslinjer mellan det att de separeras tills dess att de återförenas.</li></ul>

Båda dessa lösningar ger samma resultat: att ''mindre tid'' passerar för <math display="inline">B</math>.</li>
<li>''Garageparadoxen'' handlar om symmetrin i längdkontraktion och om en bil med samma vilolängd som vilolängden för ett garage får plats i garaget. Paradoxens upplösning är att vad “får plats” betyder varierar mellan inertialsystemen på grund av ''relativ samtidighet''.</li></ul>

7.2 - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Den andra klassiska paradoxen vi ska titta närmare på är den så kallade ''garageparadoxen''[def:garageparadoxen], vilk...