Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Betrakta en händelse $E$ , som vi kan anta ha tidskoordinaten $t_E = 0$ och rumskoordinaten $x_E = 0$ . V...

2018-01-26T13:36:18Z

Ny sida: Betrakta en händelse <math display="inline">E</math>, som vi kan anta ha tidskoordinaten <math display="inline">t_E = 0</math> och rumskoordinaten <math display="inline">x_E = 0</math>. V...

Ny sida

Betrakta en händelse <math display="inline">E</math>, som vi kan anta ha tidskoordinaten <math display="inline">t_E = 0</math> och rumskoordinaten <math display="inline">x_E = 0</math>. Vi har redan sett att vilka händelser som är samtidiga med <math display="inline">E</math> beror på vilket inertialsystem vi betraktar. Den mest bekanta definitionen av att en händelse <math display="inline">A</math> ligger i ''framtiden''[def:klassiskframtid] till <math display="inline">E</math> är att tidskoordinaten för <math display="inline">A</math> är större än tidskoordinaten för <math display="inline">E</math>, det vill säga

 
<math display="block">t_A > t_E = 0.</math> 
På samma sätt skulle vi kunna säga att <math display="inline">A</math> ligger i ''dåtiden''[def:klassiskdatid] till <math display="inline">E</math> om 
<math display="block">t_A < t_E = 0.</math> 

På grund av den relativa samtidigheten blir denna definition beroende på vilket inertialsystem vi betraktar, se figur [[#fig:framdatid|[fig:framdatid]]].

Då samtidighetslinjerna i systemen <math display="inline">S</math> och <math display="inline">S'</math> inte är parallella finns det en mängd händelser som i <math display="inline">S</math> ligger i framtiden till <math display="inline">E</math> men som i <math display="inline">S'</math> tillhör dåtiden till <math display="inline">E</math>.

Låt oss studera precis vilka händelser som berörs av denna tvetydighet. Om vi lorentztransformerar händelsen <math display="inline">A</math>s koordinater till inertialsystemet <math display="inline">S'</math>, som rör sig med hastigheten <math display="inline">v</math> relativt <math display="inline">S</math>, erhålls 
<math display="block">c t'_A = \gamma \left(c t_A - \frac{v}{c} x_A\right).</math> 
Om vi antar att <math display="inline">t_A > 0</math> så att <math display="inline">A</math> ligger i <math display="inline">E</math>s framtid i <math display="inline">S</math> samt att <math display="inline">v > 0</math> så fås villkoret 
<math display="block">t'_A = t_A - \frac{vx_A}{c^2} > t_A - \frac{x_A}{c} \geq 0 \quad \Longrightarrow \quad ct_A \geq x_A</math> 
för att <math display="inline">A</math> ska ligga i <math display="inline">E</math>s framtid också i <math display="inline">S'</math> då <math display="inline">v</math> är positivt. Är <math display="inline">v</math> i stället negativt erhålls <math display="inline">ct_A \geq -x_A</math>. Båda dessa villkor kan sammanfattas i villkoret 
<math display="block">c^2 t_A^2 - x_A^2 \geq 0,</math> 
vilket tillsammans med <math display="inline">t_A > 0</math> är kravet för att <math display="inline">A</math> ska ligga i framtiden till <math display="inline">E</math> i alla inertialsystem. På exakt samma sätt kan vi komma fram till att villkoret för att <math display="inline">A</math> alltid ska ligga i dåtiden till <math display="inline">E</math> är detsamma, fast med förändringen att <math display="inline">t_A < 0</math> i stället för <math display="inline">t_A > 0</math>.

Vi kan även förstå dessa argument baserat på ett minkowskidiagram, se figur [[#fig:framdatidmod|[fig:framdatidmod]]].

I det föregående kapitlet kom vi fram till att lutningen på en samtidighetslinje är <math display="inline">v/c</math> och därmed alltid kommer att vara mindre än ett. Om händelsen <math display="inline">A</math> ligger ovanför linjerna <math display="inline">x = ct</math> och <math display="inline">x = -ct</math> finns det därför ingen samtidighetslinje sådan att <math display="inline">A</math> ligger under den och därför inträffar <math display="inline">A</math> senare än <math display="inline">E</math> ''i alla inertialsystem''. Det går även att argumentera i den andra riktningen. Om <math display="inline">A</math> ligger under någon av linjerna <math display="inline">x = ct</math> och <math display="inline">x=-ct</math> så existerar en samtidighetslinje ''för något'' inertialsystem som <math display="inline">A</math> ligger under och därmed inträffar <math display="inline">A</math> innan <math display="inline">E</math> i det systemet. Likaså existerar det alltid i detta fall ett inertialsystem där <math display="inline">A</math> och <math display="inline">E</math> inträffar ''samtidigt''[def:samtid].

'''Två supernovor''' 
Vi ska applicera kraven ovan för två specifika händelser för att se om det existerar något inertialsystem där de inträffar samtidigt. Antag att ljuset från två supernovor når jorden samtidigt och att dessa är belägna i diametralt motsatta riktningar på avstånden 50000 ljusår respektive 100000 ljusår. Efter att vi tagit hänsyn till ljusets ändliga hastighet kan vi därför komma fram till att den mer närbelägna supernovan skedde 50000 år efter den andra. Vi kan här kalla händelsen att den första supernovan exploderade för <math display="inline">E</math> och införa ett koordinatsystem sådant att <math display="inline">x_E=0</math> och <math display="inline">t_E=0</math> motsvarar platsen och tiden för supernovan som skett 100000 ljusår bort. Den andra supernovan kan då tilldelas händelsen <math display="inline">A</math> för vilken <math display="inline">t = 50000</math> år och <math display="inline">x = 150000</math> ljusår. Vi får därför att 
<math display="block">c^2 t_A^2 - x_A^2 = (50000^2 - 150000^2)~\mbox{ljusår}^2 < 0</math> 
och därmed kommer det att existera ett inertialsystem för vilket supernova <math display="inline">A</math> inträffar innan supernova <math display="inline">E</math>. Speciellt gäller att 
<math display="block">t'_A = \gamma\left(50000 - \frac{v}{c}150000\right)~\mbox{år} = 0</math> 
om <math display="inline">v = c/3</math>. I inertialsystemet som rör sig med <math display="inline">v = c/3</math> i riktningen mot supernova <math display="inline">A</math> inträffar därför båda supernovorna samtidigt.

5.1 - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Betrakta en händelse E, som vi kan anta ha tidskoordinaten t_E = 0 och rumskoordinaten x_E = 0. V...

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Betrakta en händelse $E$ , som vi kan anta ha tidskoordinaten $t_E = 0$ och rumskoordinaten $x_E = 0$ . V...