Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: När vi diskuterade klassisk mekanik tittade vi även på hur hastigheter i olika inertialsystem förhöll sig till varandra och kom fram till det enkla sambandet $u ...$

2018-01-26T13:33:23Z

Ny sida: När vi diskuterade klassisk mekanik tittade vi även på hur hastigheter i olika inertialsystem förhöll sig till varandra och kom fram till det enkla sambandet <math display="inline">u ...

Ny sida

När vi diskuterade klassisk mekanik tittade vi även på hur hastigheter i olika inertialsystem förhöll sig till varandra och kom fram till det enkla sambandet <math display="inline">u = u' + v</math>, där <math display="inline">u</math> är hastigheten i inertialsystemet <math display="inline">S</math>, <math display="inline">u'</math> är hastigheten i inertialsystemet <math display="inline">S'</math> och <math display="inline">v</math> är hastigheten för <math display="inline">S'</math> relativt <math display="inline">S</math>. Låt oss nu göra motsvarande betraktelse i det relativistiska fallet. Precis som i fallet med klassisk mekanik (se avsnitt [[#sec:klassiskhastighetsaddition|3]]) antar vi att Bob kastar en boll som i hans eget inertialsystem <math display="inline">S'</math> kan beskrivas av ekvationen 
<math display="block">x' = u't' + x_0' = \frac{u'}{c} \gamma \left(ct - \frac{v}{c} x\right) + x_0' = \gamma(x-vt),</math> 
där vi har använt oss av lorentztransformationens båda samband för att erhålla en relation mellan <math display="inline">x</math> och <math display="inline">t</math> i Alices inertialsystem <math display="inline">S</math>. Om vi löser ut <math display="inline">x</math> ur detta som funktion av <math display="inline">t</math> erhålls 
<math display="block">x = \frac{u'+v}{1+\frac{u' v}{c^2}} t + \frac{x_0'}{\gamma\left(1+\frac{u'v}{c^2}\right)} \equiv ut + x_0.</math> 
Med andra ord kommer bollen i <math display="inline">S</math> att ha hastigheten 
<math display="block">u = \frac{u'+v}{1+\frac{u' v}{c^2}}.</math> 
Detta är formeln för ''relativistisk hastighetsaddition''[def:relativistiskhastighetsaddition]. Notera dock att vi här förutsatt att rörelsen sker enbart i samma riktning som den relativa rörelsen mellan inertialsystemen. I det mer allmänna fallet, då bollen även har en hastighetskomponent ortogonalt mot inertialsystemens relativa hastighet, blir sambandet aningen mer komplicerat.

'''Alice, Bob och relativistisk hastighetsaddition''' 
Låt oss återgå till de exempel vi såg i början av kapitel [[#ch:ljushastigheten|]]. Alice färdas med ett tåg som har hastighet 1 m/s i förhållande till Bob som observerar tåget från marken och Alice kastar en boll med hastigheten 1 m/s relativt henne själv i tågets färdriktning. I Bobs inertialsystem får då bollen hastigheten 
<math display="block">u = \frac{1~\mbox{m/s} + 1~\mbox{m/s}}{1 + \left(\frac{1}{299792458}\right)^2} \approx
1.99999999999999998~\mbox{m/s}.</math> 
Numeriskt är detta värde så nära 2 m/s att den första korrektionen till den klassiska hastighetsadditionsformeln <math display="inline">u = u'+v</math> kommer i den sjuttonde decimalen. Detta är därför fullkomligt försumbart i vardagssituationer.

'''Alice och Bob adderar hastigheter i rymden''' 
Om Alice byter ut tåget mot ett rymdskepp som färdas med hastigheten <math display="inline">v = 0.9999c</math> i Bobs inertialsystem och i stället skickar ut en ljusstråle i skeppets färdriktning kommer denna i Alices vilosystem att röra sig med hastigheten <math display="inline">u' = c</math>. I Bobs vilosystem får vi då enligt hastighetsadditionsformeln 
<math display="block">u = \frac{c + v}{1 + \frac{cv}{c^2}} = c,</math> 
det vill säga ljusstrålen rör sig även med hastigheten <math display="inline">c</math> i Bobs inertialsystem. Detta är givetvis inte särskilt förvånande eftersom den relativistiska hastighetsadditionsformeln konstruerades just för att ljushastigheten ska vara densamma i alla inertialsystem.

'''Sammanfattning:'''

* I speciell relativitetsteori ersätts galileitransformationen med ''lorentztransformationen'' <math display="block">ct' = \gamma\left(ct - \frac{v}{c}x\right) \quad \mbox{och} \quad x' = \gamma\left(x - vt\right)</math> vilken beskriver hur koordinaterna i olika inertialsystem relaterar till varandra.
* Lorentztransformationen kan härledas antingen från tidsdilatation och längdkontraktion eller direkt från ljushastighetens invarians.
* Rumtidsdiagram i speciell relativitetsteori använder ofta variabeln <math display="inline">ct</math> på den vertikala axeln och kallas för ''minkowskidiagram''. Följande gäller:
** ''Världslinjer'' har lutningen <math display="inline">c/v</math> där <math display="inline">v</math> är objektets hastighet. Speciellt har världslinjer som beskriver ''ljussignaler'' lutningen <math display="inline">\pm 1</math>.
** ''Positionslinjer'' motsvarar händelser med samma rumskoordinat. ''Samtidighetslinjer'' motsvarar händelser med samma tidskoordinat. Positions- och samtidighetslinjerna för det inertialsystem <math display="inline">S</math> som minkowskidiagrammet baserats på är ''vertikala'' respektive ''horisontella''.
** Positionslinjer för ett ''annat system'' <math display="inline">S'</math> har lutningen <math display="inline">c/v</math> där <math display="inline">v</math> är den relativa hastigheten mellan <math display="inline">S</math> och <math display="inline">S'</math>. Samtidighetslinjerna för <math display="inline">S'</math> har lutningen <math display="inline">v/c</math>.
* Den relativistiska formeln för ''hastighetsaddition'' är <math display="block">u = \frac{u'+v}{1+\frac{u' v}{c^2}}.</math>

4.5 - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: När vi diskuterade klassisk mekanik tittade vi även på hur hastigheter i olika inertialsystem förhöll sig till varandra och kom fram till det enkla sambandet u ...

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: När vi diskuterade klassisk mekanik tittade vi även på hur hastigheter i olika inertialsystem förhöll sig till varandra och kom fram till det enkla sambandet $u ...$