Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Liksom i fallet med rumtidsdiagram inom klassisk mekanik kan vi rita minkowskidiagram baserade på vilket inertialsystem som helst. Det har ingen betydelse vilket inertialsystem vi baserar ...

2018-01-26T13:32:49Z

Ny sida: Liksom i fallet med rumtidsdiagram inom klassisk mekanik kan vi rita minkowskidiagram baserade på vilket inertialsystem som helst. Det har ingen betydelse vilket inertialsystem vi baserar ...

Ny sida

Liksom i fallet med rumtidsdiagram inom klassisk mekanik kan vi rita minkowskidiagram baserade på vilket inertialsystem som helst. Det har ingen betydelse vilket inertialsystem vi baserar vårt minkowskidiagram på eftersom alla minkowskidiagram kommer att beskriva samma rumtid, om än på olika sätt. Låt oss nu jämföra minkowskidiagrammen från olika inertialsystem och diskutera ett antal grundläggande begrepp inom speciell relativitetsteori med deras hjälp.

Vi börjar med att diskutera hur koordinataxlarna för inertialsystemet <math display="inline">S'</math> beskrivs i minkowskidiagrammet baserat på inertialsystemet <math display="inline">S</math>. Tidsaxeln i <math display="inline">S'</math> är den linje för vilken <math display="inline">x' = 0</math>. Om <math display="inline">S'</math> rör sig med hastigheten <math display="inline">v</math> i förhållande till <math display="inline">S</math> innebär detta att tidsaxeln beskrivs av 
<math display="block">x' = \gamma(x-vt) = 0 \quad \Longrightarrow \quad ct = \frac{c}{v}x,</math> 
det vill säga en linje från origo med lutningen <math display="inline">c/v</math>. Detta är helt konsekvent med hur tidsaxeln ändrades genom galileitransformationen. När vi i stället tittar på hur rumsaxeln i <math display="inline">S'</math> beskrivs i <math display="inline">S</math> vet vi på samma sätt att denna beskrivs av <math display="inline">t' = 0</math> och därför 
<math display="block">ct' = \gamma\left(ct - \frac vc x\right) = 0 \quad \Longrightarrow \quad ct = \frac{v}{c} x.</math> 
Detta innebär att <math display="inline">x'</math>-axeln i minkowskidiagrammet baserat på inertialsystemet <math display="inline">S</math> beskrivs av en linje genom origo med lutningen <math display="inline">v/c</math>, se figur [[#fig:mdiagramaxlar|[fig:mdiagramaxlar]]].

Att <math display="inline">x'</math>-axeln skiljer sig ifrån <math display="inline">x</math>-axeln är en fundamental skillnad jämfört med rumtidsdiagrammen som baserades på galileitransformationen, där dessa alltid sammanföll.

'''Samma plats och samma tid'''

Om två händelser inträffar på samma position i ett inertialsystem <math display="inline">S</math> gäller det per definition att de har samma rumskoordinat <math display="inline">x=x_0</math>. Detta innebär att om vi vill beskriva alla händelser som inträffar vid denna position i <math display="inline">S</math> så beskrivs dessa av en vertikal ''positionslinje''[def:positionslinje] i minkowskidiagrammet baserat på <math display="inline">S</math>. På motsvarande sätt gäller att samtidiga händelser i <math display="inline">S</math> per definition har samma tidskoordinat <math display="inline">t = t_0</math> och därmed beskrivs alla dessa med en horisontell ''samtidighetslinje''[def:samtidighetslinje] i minkowskidiagrammet, se figur [[#fig:samtidighet|[fig:samtidighet]]].

På samma sätt som vi ritade ut koordinataxlarna till inertialsystemet <math display="inline">S'</math> i minkowskidiagrammet baserat på <math display="inline">S</math> kan vi rita ut positions- och samtidighetslinjerna som tillhör <math display="inline">S'</math> i samma minkowskidiagram. För positionslinjerna i <math display="inline">S'</math> ska det gälla att de motsvarar samma <math display="inline">x'</math>-koordinat och om vi sätter <math display="inline">x' = x_0'</math> erhålls från lorentztransformationen 
<math display="block">x_0' = \gamma (x - vt) \quad \Longrightarrow \quad ct = \frac{c}{v}x - \frac{cx_0'}{v\gamma}.</math> 
Positionslinjen tillhörandes <math display="inline">S'</math> beskrivs således av en linje med lutningen <math display="inline">c/v</math> i minkowskidiagrammet baserat på <math display="inline">S</math>, det vill säga en linje som är parallell med tidsaxeln i <math display="inline">S'</math>. För samtidighetslinjen motsvarande <math display="inline">t' = t_0'</math> fås 
<math display="block">ct_0' = \gamma\left(ct - \frac{v}{c} x\right) \quad \Longrightarrow \quad ct = \frac{v}{c}x + \frac{ct_0'}{\gamma},</math> 
det vill säga en linje med lutningen <math display="inline">v/c</math> som därmed är parallell med <math display="inline">x'</math>-axeln, se figur [[#fig:samtidighetSprim|[fig:samtidighetSprim]]].

Vi noterar här speciellt att samtidighetslinjer för <math display="inline">S</math> och samtidighetslinjer för <math display="inline">S'</math> har olika lutning i minkowskidiagrammet. Detta är en direkt grafisk representation av relativ samtidighet då två händelser som ligger på en samtidighetslinje i <math display="inline">S</math> inte kommer ligga på en samtidighetslinje i <math display="inline">S'</math> och vice versa.

'''Klassiska gränsen'''

Vi kan också studera den klassiska gränsen i vilken lorentztransformationen övergår i galileitransformationen. Vi gör detta genom att gå tillbaka till ett rumtidsdiagram där vi på tidsaxeln anger <math display="inline">t</math> i stället för <math display="inline">ct</math>. I ett sådant rumtidsdiagram får positionslinjerna för <math display="inline">S'</math> i stället lutningen <math display="inline">1/v</math> och samtidighetslinjerna lutningen <math display="inline">v/c^2</math>. I figur [[#fig:lorentztogalilei|[fig:lorentztogalilei]]] visas hur positionslinjerna och samtidighetslinjerna ändras när vi stegvis minskar <math display="inline">v/c</math> till dess att <math display="inline">v = c/7</math>.

Vi ser att även om positionslinjerna är oförändrade ändras samtidighetslinjerna för <math display="inline">S'</math> tills de blir i stort sett parallella med samtidighetslinjerna i <math display="inline">S</math> och vi återfår därför både galileitransformationen och den absoluta samtidigheten i gränsen då ljushastigheten <math display="inline">c</math> kan anses vara mycket stor.

4.4 - Versionshistorik

Mustafa Al-Abaychi: Ny sida: Liksom i fallet med rumtidsdiagram inom klassisk mekanik kan vi rita minkowskidiagram baserade på vilket inertialsystem som helst. Det har ingen betydelse vilket inertialsystem vi baserar ...