2.1 Inledning till integraler

Förberedande kurs i matematik 2

Version från den 4 april 2008 kl. 14.34; Tek (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök
       Teori          Övningar      

Innehåll:

  • Integralens definition (översiktligt).
  • Integralkalkylens huvudsats.
  • Primitiv funktion till \displaystyle x^\alpha, \displaystyle 1/x, \displaystyle e^x, \displaystyle \cos x och \displaystyle \sin x.
  • Primitiv funktion till summa och differens.

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Tolka integraler som areor, dvs. "area ovanför \displaystyle x-axeln" minus "area under \displaystyle x-axeln".
  • Förstå andra tolkningar av integralen, t. ex. massa/densitet, fart/sträcka, ström/laddning, etc.
  • Kunna bestämma primitiv funktion till \displaystyle x^\alpha, \displaystyle 1/x, \displaystyle e^{kx}, \displaystyle \cos kx, \displaystyle \sin kx och summa/differens av sådana termer.
  • Kunna räkna ut area under en funktionskurva.
  • Kunna räkna ut area mellan två funktionskurvor.
  • Veta att alla funktioner inte har primitiv funktion som kan skrivas som ett analytiskt slutet uttryck, t.ex. \displaystyle e^{x^2} , \displaystyle (\sin x)/x, \displaystyle \sin \sin x, etc.

Area under en funktionskurva

Vi har tidigare sett att lutningen på en funktionskurva är intressant. Den ger oss information om hur funktionen ändras och har stor betydelse i många tillämpningar. På ett liknande sätt är den area som bildas mellan en funktionskurva och x-axeln betydelsefull. Den är naturligtvis beroende av funktionskurvans utseende och därmed intimt besläktad med funktionen i fråga. Det är lätt att inse att denna area har en praktisk betydelse i många olika sammanhang.

Om ett föremål rör sig så kan vi beskriva dess hastighet v efter tiden t i ett v-t-diagram. Vi ser här tre olika fiktiva exempel:


[Image]

[Image]

[Image]

Föremålet rör sig med den konstanta farten 5. Föremålet rör sig med den konstanta farten 4 för att vid en stöt när t = 3 plötsligt öka farten till 6. Föremålet glider ner för ett sluttande plan och har en linjärt ökande fart.


Den tillryggalagda sträckan är i respektive fall

\displaystyle s(6) = 5\cdot 6 = 30\,\mbox{m},\quad 
 s(6) = 4\cdot 3 + 6\cdot 3 = 30\,\mbox{m},\quad
 s(6) = \frac{6\cdot 6}{2} = 18\,\mbox{m}\,\mbox{.}

I samtliga fall ser man att föremålets tillryggalagda sträcka motsvaras av arean under funktionskurvan.

Fler exempel på vad arean under en funktionskurva kan symbolisera följer nedan.

Exempel 1


[Image]

[Image]

[Image]

En solcell som bestrålas av ljus med en viss effekt p kommer ha mottagit en energi som är proportionell mot arean under grafen ovan. Kraften F som verkar i ett föremåls rörelseriktning utför ett arbete som är proportionell mot arean under grafen ovan. En kondensator som laddas upp med en ström i kommer ha en laddning som är proportionell mot arean under grafen ovan.


Integralbeteckningen

För att beskriva arean under en funktionskurva i symbolform inför man integraltecknet \displaystyle \,\smallint\, och gör följande definition:

Med integralen av den positiva funktionen \displaystyle f(x) från \displaystyle a till \displaystyle b menas arean mellan kurvan \displaystyle y=f(x) och x-axeln från \displaystyle x=a till \displaystyle x=b , vilket med symboler skrivs

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{.}

Talen \displaystyle a och \displaystyle b kallas undre respektive övre integrationsgräns, \displaystyle f(x) kallas integrand och \displaystyle x integrationsvariabel.

Exempel 2

Arean under kurvan \displaystyle y=f(x) från \displaystyle x=a till \displaystyle x=c är lika med arean från \displaystyle x=a till \displaystyle x=b plus arean från \displaystyle x=b till \displaystyle x=c. Detta betyder att
\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx 
 = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}

[Image]

Exempel 3

För ett föremål, vars hastighet förändras enligt funktionen \displaystyle v(t) kan den tillryggalagda sträckan efter 10 s beskrivas med integralen
\displaystyle s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}

Anm. Vi antar att hastigheten och sträckan mäts med samma längdenhet.

[Image]

Exempel 4

Vatten rinner in i en tank med en hastighet som är \displaystyle f(t) liter/s efter \displaystyle t sekunder. Integralen

\displaystyle \int_{9}^{10} f(t)\, dt

anger då hur många liter som rinner in i tanken under den tionde sekunden.

Exempel 5

Beräkna integralerna

  1. \displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx

    Integralen kan tolkas som arean under kurvan (linjen) \displaystyle y=3 från \displaystyle x = 0 till \displaystyle x = 4, dvs. en rektangel med basen 4 och höjden 3,
    \displaystyle \int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \cdot 3 = 12\,\mbox{.}

[Image]

  1. \displaystyle \int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx

    Integralen kan tolkas som arean under linjen \displaystyle y=x/2-1 från \displaystyle x = 2 till \displaystyle x = 5, dvs. en triangel med basen 3 och höjden 1,5
    \displaystyle \int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx = \frac{3 \cdot 1{,}5}{2} = 2{,}25\,\mbox{.}

[Image]

  1. \displaystyle \int_{0}^{a} kx \, dx\,\mbox{}\quad där \displaystyle k>0\,.

    Integralen kan tolkas som arean under linjen \displaystyle y=kx från \displaystyle x = 0 till \displaystyle x = a, dvs. en triangel med basen \displaystyle a och höjden \displaystyle ka
    \displaystyle \int_{0}^{\,a} kx\,dx = \frac{a \cdot ka}{2} = \frac{ka^2}{2}\,\mbox{.}

[Image]


Primitiv funktion

Funktionen \displaystyle F är en primitiv funktion till \displaystyle f om \displaystyle F'(x) = f(x) i något intervall. Om \displaystyle F(x) är en primitiv funktion till \displaystyle f(x) så är det klart att även \displaystyle F(x) + C är det, för varje konstant \displaystyle C. Dessutom kan man visa att \displaystyle F(x) + C beskriver samtliga primitiva funktioner till \displaystyle f(x).

Exempel 6

  1. \displaystyle F(x) = x^3 + \cos x - 5 är en primitiv funktion till \displaystyle f(x) = 3x^2 - \sin x, eftersom
    \displaystyle F'(x) = D\,(x^3+\cos x-5) = 3x^2-\sin x-0 
         = f(x)\,\mbox{.}
  2. \displaystyle G(t) = e^{3t + 1} + \ln t är en primitiv funktion till \displaystyle g(t)= 3 e^{3t + 1} + 1/t, eftersom
    \displaystyle G'(t) = D\,\bigl(e^{3t+1}+\ln t\bigr) 
         = e^{3t+1}\cdot 3+\frac{1}{t} = g(t)\,\mbox{.}
  3. \displaystyle F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x + C\,, där \displaystyle C är en godtycklig konstant, beskriver samtliga primitiva funktioner till \displaystyle f(x) = x^3 - 1.


Samband mellan integral och primitiv funktion

Vi har tidigare konstaterat att arean under en funktionskurva, dvs. integralen av en funktion, är beroende av funktionskurvans utseende. Det visar sig att detta beroende utnyttjar den primitiva funktionen, vilket också ger oss möjligheten att beräkna en sådan area exakt.

Antag att \displaystyle f är en kontinuerlig funktion på ett intervall (= funktionskurvan har inga avbrott i intervallet). Värdet av integralen \displaystyle \ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ är då beroende av integrationsgränserna \displaystyle a och \displaystyle b, men om man låter \displaystyle a vara ett fixt värde och sätter \displaystyle x som övre gräns blir integralens värde beroende enbart av den övre integrationsgränsen. För att tydliggöra detta använder vi här i stället \displaystyle t som integrationsvariabel:

[Image]

\displaystyle A(x) = \int_{a}^{\,x} f(t) \, dt\,\mbox{.}

Vi ska nu visa att \displaystyle A i själva verket är en primitiv funktion till \displaystyle f.

[Image]

Den totala arean under kurvan från \displaystyle t=a till \displaystyle t=x+h kan skrivas som \displaystyle A(x+h) och är approximativt lika med arean fram till \displaystyle t=x plus area av en stapel från \displaystyle t=x till \displaystyle t=x+h, dvs.

\displaystyle A(x+h)\approx A(x)+h\cdot f(c)

där \displaystyle c är ett tal mellan \displaystyle x och \displaystyle x+h. Detta uttryck kan vi skriva om som

\displaystyle \frac{A(x+h)-A(x)}{h} = f(c)\,\mbox{.}

Om vi låter \displaystyle h \rightarrow 0 så går vänstra ledet mot \displaystyle A'(x) och det högra ledet mot \displaystyle f(x) , dvs.

\displaystyle A'(x) = f(x)\,\mbox{.}

Funktionen \displaystyle A(x) är alltså en primitiv funktion till \displaystyle f(x).


Beräkning av integraler

För att kunna använda primitiva funktioner vid beräkning av en bestämd integral, noterar vi först att om \displaystyle F är en primitiv funktion till \displaystyle f så är

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C

där konstanten \displaystyle C måste väljas så att högerledet blir noll när \displaystyle b=a, dvs.

\displaystyle \int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0

vilket ger att \displaystyle C=-F(a). Om vi sammanfattar har vi alltså att

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(t) \, dt 
 = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Vi kan naturligtvis här lika gärna välja \displaystyle x som integrationsvariabel och skriva

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx 
 = F(b) - F(a)\,\mbox{.}

Vid beräkning av integraler utför man detta i två steg. Först bestämmer man en primitiv funktion och sedan sätter man in integrationsgränserna. Man skriver vanligtvis

\displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx 
 = \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}


Exempel 7

Arean som begränsas av kurvan \displaystyle y=2x - x^2 och x-axeln kan beräknas med hjälp av integralen

\displaystyle \int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{.}

Eftersom \displaystyle x^2-x^3/3 är en primitiv funktion till integranden är integralens värde

\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align*}

Arean är \displaystyle \frac{4}{3} a.e.

[Image]

Anm: Integralvärdet har ingen enhet. I praktiska tillämpningar kan dock arean ha en enhet. Om arean i en enhetslös figur efterfrågas skriver man ofta a.e. (areaenheter) efter siffervärdet.


Baklängesderivering

Att derivera de vanliga funktionstyperna innebär inga oöverstigliga problem; det finns generella metoder för detta. Att utföra den omvända operationen, dvs. hitta en primitiv funktion till en given funktion är dock betydligt svårare och i vissa fall omöjligt! Det finns ingen systematisk metod som fungerar överallt, men genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna "baklänges" och dessutom lära sig ett antal specialmetoder och knep kan man klara av en stor del av de funktioner som vanligtvis förekommer.

Symbolen \displaystyle \,\int f(x) \,dx\ kallas den obestämda integralen av \displaystyle f(x) och används för att beteckna en godtycklig primitiv funktion till \displaystyle f(x). De vanliga deriveringsreglerna ger att

\displaystyle \begin{align*}\int x^n \, dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{där }\ n \ne -1\\[6pt] \int x^{-1} \, dx &= \ln |x| + C\\[6pt] \int e^x \, dx &= e^x + C\\[6pt] \int \cos x \, dx &= \sin x + C\\[6pt] \int \sin x \, dx &= -\cos x + C \end{align*}

Exempel 8

  1. \displaystyle \int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + \frac{4x^2}{2} - 7x + C
    \displaystyle \phantom{\int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx}{} = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + 2x^2 - 7x + C
  2. \displaystyle \int \Bigl(\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx = \int \Bigl( 3x^{-2} - \frac{1}{2} x^{-3} \Bigr) dx = \frac{3x^{-1}}{-1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-2}}{(-2)} + C
    \displaystyle \phantom{\int \Bigl(\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx}{} = - 3x^{-1} + \tfrac{1}{4}x^{-2} + C = -\frac{3}{x} + \frac{1}{4x^2} + C\vphantom{\Biggl(}
  3. \displaystyle \int \frac{2}{3x} \,dx = \int \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \tfrac{2}{3} \ln |x| + C
  4. \displaystyle \int ( e^x - \cos x - \sin x ) \, dx = e^x - \sin x + \cos x +C


Kompensation för ”inre derivata”

Vid derivering av en sammansatt funktion använder man sig av kedjeregeln, som innebär att man multiplicerar med den inre derivatan. Om den inre funktionen då är linjär så blir den inre derivatan en konstant. Vid integrering av en sådan funktion måste man därför dividera med den inre derivatan för att kompensera för detta.

Exempel 9

  1. \displaystyle \int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C
  2. \displaystyle \int \sin 5x \, dx = - \frac{ \cos 5x}{5} + C
  3. \displaystyle \int (2x +1)^4 \, dx = \frac{(2x+1)^5}{5 \cdot 2} + C

Exempel 10

  1. \displaystyle \int \sin kx \, dx = - \frac{\cos kx}{k} + C
  2. \displaystyle \int \cos kx \, dx = \frac{\sin kx }{k} + C
  3. \displaystyle \int e^{kx} \, dx = \displaystyle \frac{e^{kx}}{k} + C

Observera att detta sätt att kompensera för den inre derivatan endast fungerar om den inre derivatan är en konstant.


Räkneregler för integraler

Med hjälp av beräkningsformeln för integraler är det lätt att visa följande räkneregler för integraler:

  1. \displaystyle \int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  2. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  3. \displaystyle \int_{a}^{\,b} k \cdot f(x)\, dx = k \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  4. \displaystyle \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}

Dessutom gäller att area under x-axeln räknas negativt, dvs. om funktionskurvan ligger under x-axeln så blir integralens värde negativt:

\displaystyle \begin{align*}A_1 &= \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx,\\[6pt] A_2 &= -\int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.} \end{align*}

[Image]

Den sammanlagda arean blir \displaystyle \ A_1 + A_2 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,.

Anm. Värdet av en integral kan alltså vara negativt, medan en area alltid har ett positivt värde.


Exempel 11

  1. \displaystyle \int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx + \int_{1}^{2} 2 \, dx =\int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1+2) \, dx
    \displaystyle \qquad{}= \Bigl[\,\tfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 3x\,\Bigr]_{1}^{2} \vphantom{\Biggr)^2}
    \displaystyle \qquad{}= \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 4-2^3+2^2+3\cdot 2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 1^4 - 1^3 + 1^2 + 3\cdot 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}
    \displaystyle \qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}

    [Image]

    Den vänstra figuren visar arean under grafen till f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1 och den mittersta figuren visar arean under grafen till g(x) = 2. I figuren till höger adderas dessa areor ihop och ger arean under grafen till f(x) + g(x).


  1. \displaystyle \int_{1}^{3} (x^2 - 4x) \, dx + \int_{1}^{3} (4x - x^2 + 3) \, dx =\int_{1}^{3} 3 \, dx = \Bigl[\,3x\,\Bigr]_{1}^{3} = 3\cdot 3 - 3\cdot 1 = 6

[Image]

  1. \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{2(2x^2-1)}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \frac{2x^2 - 1}{x} \, dx \vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \qquad{}= \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \Bigl(2x - \frac{1}{x}\Bigr) \, dx = \frac{2}{3} \Bigl[\,x^2 - \ln x\,\Bigr]_{1}^{2} \vphantom{\Biggl(}
    \displaystyle \qquad{}= \frac {2}{3}\Bigl((4- \ln 2) - (1 - \ln 1)\Bigr) = \tfrac{2}{3}(3 - \ln 2) = 2 - \tfrac{2}{3}\ln 2
  1. \displaystyle \int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \Bigl[\,\frac{x^3}{3} - x\,\Bigl]_{-1}^{2} = \bigl(\tfrac{8}{3} - 2\bigr) - \bigl(\tfrac{-1}{3} + 1 \bigr) = 0

[Image]

Beräkningen ovan visar att den skuggade arean under x-axeln är lika stor som den skuggade arean ovanför x-axeln.


Area mellan kurvor

Om \displaystyle f(x) \ge g(x) i ett intervall \displaystyle a\le x\le b gäller att arean mellan funktionskurvorna ges av

\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \, dx 
 - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}

vilket kan förenklas till

\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\,\mbox{.}

[Image]


Observera att det inte spelar någon roll om \displaystyle f(x) < 0 eller \displaystyle g(x) < 0 så länge som \displaystyle f(x) \ge g(x). Arean mellan kurvorna är naturligtvis lika stor oavsett om kurvorna ligger över eller under x-axeln, vilket följande figurer illustrerar:

[Image]

\displaystyle \begin{align*} A &= \int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\\[4pt] A &= \int_{a}^{b} \bigl((f(x)-3) - (g(x)-3)\bigr)\,dx = \int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\\[4pt] A &= \int_{a}^{b} \bigl((f(x)-6) - (g(x)-6)\bigr)\,dx = \int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\end{align*}


Exempel 12

Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna \displaystyle y=e^x + 1 och \displaystyle y=1 - x^2/2 samt linjerna \displaystyle x = –1 och \displaystyle x = 1.

Eftersom \displaystyle e^x + 1 > 1 - x^2/2 i hela intervallet blir områdets area

\displaystyle \begin{align*} &\int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \int_{-1}^{1} \Bigl( 1- \frac{x^2}{2}\Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \int_{-1}^{1} \Bigl( e^x + \frac{x^2}{2} \Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl[\,e^x + \frac{x^3}{6}\,\Bigr]_{-1}^{1} \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl( e^1 + \frac{1^3}{6} \Bigr) - \Bigl( e^{-1} + \frac{(-1)^3}{6} \Bigr)\vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= e - \frac{1}{e} + \frac{1}{3} \ \text{a.e.}\end{align*}

[Image]

Exempel 13

Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna \displaystyle y= x^2 och \displaystyle y= \sqrt[\scriptstyle 3]{x}.

Kurvorna skär varandra i punkter där deras y-värden är lika

\displaystyle \begin{align*} &x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x\quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{eller}\quad x=1\,\mbox{.}\end{align*}

Mellan \displaystyle x=0 och \displaystyle x=1 är \displaystyle \sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2 så områdets area ges av

\displaystyle \int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx = \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1} = \Bigl[\,\frac{3x^{4/3}}{4} - \frac{x^3}{3}\, \Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{3} - 0 = \tfrac{5}{12}\ \text{a.e.}

[Image]

Exempel 14

Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan \displaystyle y=\frac{1}{x^2} samt linjerna \displaystyle y=x och \displaystyle y = 2.

I figuren till höger är kurvan och de två linjerna skisserade och då ser vi att området kan delas upp i två delområden som var och en ligger mellan två funktionskurvor. Den totala arean är därför summan av integralerna

\displaystyle A_1 = \int_{a}^{\,b} (2 - \frac{1}{x^2}) \, dx 
 \quad\text{och}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}

Vi bestämmer först skärningspunkterna \displaystyle x=a, \displaystyle x=b och \displaystyle x=c:

[Image]

  • Skärningspunkten \displaystyle x=a bestäms av ekvationen
\displaystyle \frac{1}{x^2} = 2 
 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2}
 \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}
(Den negativa roten är dock inte aktuell.)
  • Skärningspunkt \displaystyle x=b bestäms av ekvationen
\displaystyle \frac{1}{x^2} = x 
 \quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1
 \quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}
  • Skärningspunkt \displaystyle x=c bestäms av ekvationen \displaystyle x = 2.

Integralerna blir därför

\displaystyle \begin{align*} A_1 &= \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \Bigl(2 - \frac{1}{x^2}\Bigr) \, dx = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \bigl(2 - x ^{-2}\bigr) \, dx = \Bigl[\,2x-\frac{x^{-1}}{-1}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1}\\[4pt] &= \Bigl[\,2x + \frac{1}{x}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} = (2+ 1) - \Bigl( \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\,\Bigr) = 3 - 2\sqrt{2}\,\mbox{,}\\[4pt] A_2 &= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \Bigl[\,2x - \frac{x^2}{2}\,\Bigr]_{1}^{2} = (4-2) - \Bigl(2- \frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\mbox{.}

\end{align*}

Den sammanlagda arean blir

\displaystyle A_1 + A_2 = 3 - 2\sqrt{2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2} - 2\sqrt{2}\ \text{a.e.}
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte2/index.php/2.1_Inledning_till_integraler