Warning: jsMath requires JavaScript to process the mathematics on this page.
If your browser supports JavaScript, be sure it is enabled.

3.3 Potenser och rötter

Förberedande kurs i matematik 2

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Teori

Övningar

Innehåll:

De Moivres formel
Binomiska ekvationer
Exponentialform
Eulers formel
Kvadratkomplettering
Andragradsekvationer

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Beräkna potenser av komplexa tal med de Moivres formel.
Beräkna rötter av vissa komplexa tal genom omskrivning till polär form.
Lösa binomiska ekvationer.
Kvadratkomplettera komplexa andragradsuttryck.
Lösa komplexa andragradsekvationer.

De Moivres formel

Räknereglerna \displaystyle \ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ och \displaystyle \ |\,zw\,| = |\,z\,|\cdot|\,w\,|\ betyder att

\displaystyle \biggl\{\begin{align*}&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{osv.}

För ett godtyckligt tal \displaystyle z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha) har vi därför följande samband

\displaystyle z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}

Om \displaystyle |\,z\,|=1, (dvs. \displaystyle z ligger på enhetscirkeln) gäller speciellt

\displaystyle (\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{,}

vilket brukar kallas de Moivres formel. Denna relation är mycket användbar när det gäller att härleda trigonometriska identiteter och beräkna rötter och potenser av komplexa tal.

Exempel 1

Om \displaystyle z = \frac{1+i}{\sqrt2}, beräkna \displaystyle z^3 och \displaystyle z^{100}.

Skriver vi \displaystyle z i polär form \displaystyle \ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ så ger de Moivres formel oss att

\displaystyle \begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}

Exempel 2

På traditionellt sätt kan man med kvadreringsregeln utveckla

\displaystyle \begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\end{align*}

och med de Moivres formel få att

\displaystyle (\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}

Om man identifierar real- respektive imaginärdel i de båda uttrycken får man de kända trigonometriska formlerna

\displaystyle \biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}

Exempel 3

Beräkna \displaystyle \ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,.

Vi skriver talen \displaystyle \sqrt{3}+i, \displaystyle 1+i\sqrt{3} och \displaystyle 1+i i polär form

\displaystyle \quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
\displaystyle \quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
\displaystyle \quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Då får vi med de Moivres formel att

\displaystyle \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \cdot (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}

och detta uttryck kan förenklas genom att utföra multiplikationen och divisionen i polär form

\displaystyle \begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}

Binomiska ekvationer

Ett komplext tal \displaystyle z kallas en n:te rot av det komplexa talet \displaystyle w om

\displaystyle z^n= w \mbox{.}

Ovanstående samband kan också ses som en ekvation där \displaystyle z är obekant, och en sådan ekvation kallas en binomisk ekvation. Lösningarna ges av att skriva båda leden i polär form och jämföra belopp och argument.

För ett givet tal \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) ansätter man det sökta talet \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha) och den binomiska ekvationen blir

\displaystyle r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}

där de Moivres formel använts i vänsterledet. För belopp och argument måste nu gälla

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}

Observera att vi lägger till multipler av \displaystyle 2\pi för att få med alla värden på argumentet som anger samma riktning som \displaystyle \theta. Man får då att

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}

Detta ger ett värde på \displaystyle r, men oändligt många värden på \displaystyle \alpha. Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från \displaystyle k = 0 till \displaystyle k = n - 1 får man olika argument för \displaystyle z och därmed olika lägen för \displaystyle z i det komplexa talplanet. För övriga värden på \displaystyle k kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar. Detta resonemang visar att ekvationen \displaystyle z^n=w har exakt \displaystyle n rötter.

Anm. Observera att rötternas olika argument ligger \displaystyle 2\pi/n ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{|w|} och bildar hörn i en regelbunden n-hörning.

Exempel 4

Lös den binomiska ekvationen \displaystyle \ z^4= 16\,i\,.

Skriv \displaystyle z och \displaystyle 16\,i i polär form

\displaystyle \quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,,
\displaystyle \quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Då ger ekvationen \displaystyle \ z^4=16\,i\ att

\displaystyle r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}

När vi identifierar belopp och argument i båda led fås att

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align*}\qquad\text{dvs.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}

Lösningarna till ekvationen är alltså

\displaystyle \left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]

\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.

[Image]

Exponentialform av komplexa tal

Om vi behandlar \displaystyle i likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal \displaystyle z som en funktion av \displaystyle \alpha (och \displaystyle r är en konstant),

\displaystyle f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)

så får vi efter derivering

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{osv.}\end{align*}

Den enda reella funktion med dessa egenskaper är \displaystyle f(x)= e^{\,kx}, vilket motiverar definitionen

\displaystyle e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}

Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter \displaystyle z=a+ib så får man

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \cdot e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}

Definitionen av \displaystyle e^{\,z} kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,.

Exempel 5

För ett reellt tal \displaystyle z överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom \displaystyle z=a+0\cdot i ger att

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}

Exempel 6

Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet

\displaystyle \bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}\,\mbox{,}

vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag,

\displaystyle \left(a^x\right)^y = a^{x\,y}\,\mbox{.}

Exempel 7

Ur definitionen ovan kan man erhålla sambandet

\displaystyle e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1

vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken: \displaystyle e, \displaystyle \pi, \displaystyle i och 1. Detta samband betraktas av många som det vackraste inom matematiken och upptäcktes av Euler i början av 1700-talet.

Exempel 8

Lös ekvationen \displaystyle \ (z+i)^3 = -8i.

Sätt \displaystyle w = z + i. Vi får då den binomiska ekvationen \displaystyle \ w^3=-8i\,. Till att börja med skriver vi om \displaystyle w och \displaystyle -8i i polär form

\displaystyle \quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}
\displaystyle \quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}

Ekvationen blir i polär form \displaystyle \ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ och identifierar vi belopp och argument i båda led har vi att

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Rötterna till ekvationen blir därmed

\displaystyle \quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}
\displaystyle \quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}

dvs. \displaystyle z_1 = 2i-i=i, \displaystyle z_2 = - \sqrt{3}-2i och \displaystyle z_3 = \sqrt{3}-2i.

Exempel 9

Lös ekvationen \displaystyle \ z^2 = \overline{z}\,.

Om \displaystyle z=a+ib har \displaystyle |\,z\,|=r och \displaystyle \arg z = \alpha så gäller att \displaystyle \overline{z}= a-ib har \displaystyle |\,\overline{z}\,|=r och \displaystyle \arg \overline{z} = - \alpha. Därför gäller att \displaystyle z=r\,e^{i\alpha} och \displaystyle \overline{z} = r\,e^{-i\alpha}. Ekvationen kan därmed skrivas

\displaystyle (r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{eller}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}

vilket direkt ger att \displaystyle r=0 är en lösning, dvs. \displaystyle z=0. Om vi antar att \displaystyle r\not=0 så kan ekvationen skrivas \displaystyle \ r\,e^{3i\alpha} = 1\,, som ger efter identifikation av belopp och argument

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Lösningarna är

\displaystyle \quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}
\displaystyle \quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
\displaystyle \quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}
\displaystyle \quad z_4 = 0\,\mbox{.}

Kvadratkomplettering

Kvadreringsreglerna,

\displaystyle \left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.

som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck. Exempelvis är

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}

Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Rotutdragning ger sedan att \displaystyle x+2=\pm\sqrt{9} och därmed att \displaystyle x=-2\pm 3, dvs. \displaystyle x=1 eller \displaystyle x=-5.

Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven

\displaystyle x^2+4x-5=0\,\mbox{.}

Genom att addera 9 till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{,}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Metoden kallas kvadratkomplettering.

Exempel 10

Lös ekvationen \displaystyle \ x^2-6x+7=2\,. Koefficienten framför \displaystyle x är \displaystyle -6 och det visar att vi måste ha talet \displaystyle (-3)^2=9 som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till \displaystyle 2 på båda sidor åstadkommer vi detta:

\displaystyle \begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\,\mbox{,}\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\,\mbox{,}\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}

Rotutdragning ger sedan att \displaystyle x-3=\pm 2, vilket betyder att \displaystyle x=1 och \displaystyle x=5.
Lös ekvationen \displaystyle \ z^2+21=4-8z\,. Ekvationen kan skrivas \displaystyle z^2+8z+17=0. Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:

\displaystyle \begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\,\mbox{,}\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\,\mbox{,}\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\,\mbox{,}\end{align*}

och därför är \displaystyle z+4=\pm\sqrt{-1}. Med andra ord är lösningarna \displaystyle z=-4-i och \displaystyle z=-4+i.

Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för x" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas. Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.

Exempel 11

Lös ekvationen \displaystyle \ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,.

Halva koefficienten för \displaystyle x är \displaystyle -\tfrac{4}{3}. Vi lägger alltså till \displaystyle \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9} i båda led

\displaystyle \begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}

Nu är det enkelt att få fram att \displaystyle x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3} och därmed att \displaystyle x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}, dvs. \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} och \displaystyle x=3.

Exempel 12

Lös ekvationen \displaystyle \ x^2+px+q=0\,.

Kvadratkomplettering ger

\displaystyle \begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}

Detta ger den vanliga formeln, pq-formeln, för lösningar till andragradsekvationer

\displaystyle x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}

Exempel 13

Lös ekvationen \displaystyle \ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,.

Halva koefficienten för \displaystyle z är \displaystyle -(6+2i) så vi adderar kvadraten på detta uttryck till båda led

\displaystyle z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}

Räknar vi ut kvadraten \displaystyle \ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ i högerledet och kvadratkompletterar vänsterledet fås

\displaystyle \begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\,\mbox{,}\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}

Efter en rotutdragning har vi att \displaystyle \ z-(6+2i)=\pm 6\ och därmed är lösningarna \displaystyle z=12+2i och \displaystyle z=2i.

Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis

\displaystyle \begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}

Exempel 14

Kvadratkomplettera uttrycket \displaystyle \ z^2+(2-4i)z+1-3i\,.

Lägg till och dra ifrån termen \displaystyle \bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,,

\displaystyle \begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}

Lösning med formel

Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen \displaystyle \sqrt{a+ib}. Man kan då ansätta

\displaystyle z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}

Genom att kvadrera båda led får vi att

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}

Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att

\displaystyle \left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.

Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. \displaystyle y= b/(2x) som kan sättas in i den första ekvationen.

Exempel 15

Beräkna \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\,.

Sätt \displaystyle \ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ där \displaystyle x och \displaystyle y är reella tal. Kvadrering av båda led ger

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}\end{align*}

vilket leder till ekvationssystemet

\displaystyle \Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}

Ur den andra ekvationen kan vi lösa ut \displaystyle \ y=-4/(2x) = -2/x\ och sätts detta in i den första ekvationen fås att

\displaystyle x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}

Denna ekvation är en andragradsekvation i \displaystyle x^2 vilket man ser lättare genom att sätta \displaystyle t=x^2,

\displaystyle t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}

Lösningarna är \displaystyle t = 1 och \displaystyle t = -4. Den sista lösningen måste förkastas, eftersom \displaystyle x och \displaystyle y är reella tal och då kan inte \displaystyle x^2=-4. Vi får att \displaystyle x=\pm\sqrt{1}, vilket ger oss två möjligheter

\displaystyle \ x=-1\ som ger att \displaystyle \ y=-2/(-1)=2\,,
\displaystyle \ x=1\ som ger att \displaystyle \ y=-2/1=-2\,.

Vi har alltså kommit fram till att

\displaystyle \sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}

Exempel 16

Lös ekvationen \displaystyle \ z^2-2z+10=0\,. Formeln för lösningar till en andragradsekvation (se exempel 3) ger att

\displaystyle z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}
Lös ekvationen \displaystyle \ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.} Även här ger pq-formeln lösningarna direkt

\displaystyle \begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}
Lös ekvationen \displaystyle \ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.} Division av båda led med \displaystyle i ger att

\displaystyle \begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}

Applicerar vi sedan pq-formeln så fås att

\displaystyle \begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align*}

där vi använt det framräknade värdet på \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\ från exempel 15. Lösningarna är alltså

\displaystyle z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte2/index.php/3.3_Potenser_och_r%C3%B6tter

1. Derivata

2. Integraler

3. Komplexa tal

Sök