2.2 Variabelsubstitution

Förberedande kurs i matematik 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: __NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Mall:Vald flik|[[2.2 Variabelsubstitution|T...)
Rad 6: Rad 6:
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}
 +
 +
{{Info|
 +
'''Innehåll:'''
 +
* Variabelsubstitution
 +
}}
 +
 +
{{Info|
 +
'''Lärandemål:'''
 +
 +
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
 +
 +
* Förstå härledningen av formeln för variabelsubstitution.
 +
* Lösa enklare integrationsproblem som kräver omskrivning och/eller substitution i ett steg.
 +
* Veta hur integrationsgränserna ändras under variabelsubstitution.
 +
* Veta när en variabelsubstitution är tillåten.
 +
}}
 +
 +
== Variabelsubstitution ==
 +
 +
När man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är ''variabelsubstitution'', vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner — den s.k. ''kedjeregeln''.
 +
 +
Kedjeregeln <math>\ \frac{d}{dx}f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \cdot u'(x)\ </math> kan i integralform skrivas
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int f^{\,\prime}(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = f(u(x)) + C</math>}}
 +
 +
eller,
 +
 +
<div class="regel">
 +
{{Fristående formel||<math>\int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}</math>}}
 +
</div>
 +
 +
där ''F'' är en primitiv funktion till ''f''. Jämför vi denna formel med
 +
{{Fristående formel||<math>\int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{,}</math>}}
 +
 +
så kan vi se det som att vi ersätter uttrycket <math>u(x)</math> med variabeln <math>u</math> och <math>u'(x)\, dx</math> med <math>du</math>. Man kan alltså omvandla den krångligare integranden <math>f(u(x)) \cdot u'(x)</math> (med <math>x</math> som variabel) med den förhoppningsvis enklare <math>f(u)</math> (med <math>u</math> som variabel). Metoden kallas variabelsubstitution och kan användas när integranden kan skrivas på formen <math>f(u(x)) \cdot u'(x)</math>.
 +
 +
 +
''Anm. 1'' Metoden bygger naturligtvis på att alla förutsättningar för integrering är uppfyllda; att <math>u(x)</math> är deriverbar i det aktuella intervallet, samt att <math>f</math> är kontinuerlig i värdemängden till <math>u</math>, dvs. för alla värden som <math>u</math> kan anta i intervallet.
 +
 +
 +
''Anm. 2'' Att ersätta <math>u'(x) \, dx</math> med <math>du</math> kan också motiveras genom att studera övergången från differenskvot till derivata:
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{du}{dx} = u'(x)\,\mbox{,}</math>}}
 +
 +
vilket när <math>\Delta x</math> går mot noll kan betraktas som en formell gränsövergång
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\Delta u \approx u'(x) \Delta x \quad \to \quad du = u'(x) \, dx\,\mbox{,}</math>}}
 +
 +
dvs., en liten ändring, <math>dx</math>, i variabeln <math>x</math> ger upphov till en ungefärlig ändring <math>u'(x)\,dx</math> i variabeln <math>u</math>.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 1'''
 +
 +
Bestäm integralen <math>\ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx</math>.
 +
<br>
 +
<br>
 +
Om man sätter <math>u(x)= x^2</math>, så blir <math>u'(x)= 2x</math>. Vid variabelbytet ersätts då <math>e^{x^2}</math> med <math>e^u</math> och <math>u'(x)\,dx</math>, dvs. <math>2x\,dx</math>, med <math>du</math>
 +
 +
{{Fristående formel||<math> \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 2'''
 +
 +
Bestäm integralen <math>\ \int (x^3 + 1)^3 \cdot x^2 \, dx</math>.
 +
<br>
 +
<br>
 +
Sätt <math>u=x^3 + 1</math>. Då blir <math>u'=3x^2</math>, eller <math>du= 3x^2\, dx</math>, och
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 3'''
 +
 +
Bestäm integralen <math>\ \int \tan x \, dx\ \ </math> där <math>-\pi/2 < x < \pi/2</math>.
 +
<br>
 +
<br>
 +
Efter en omskrivning av <math>\tan x</math> som <math>\sin x/\cos x</math> substituerar vi <math>u=\cos x</math>
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
 +
== Integrationsgränser vid variabelbyte ==
 +
 +
Vid beräkning av bestämda integraler, t.ex. en area, där man använder variabelsubstitution kan man gå till väga på två sätt. Antingen beräknar man integralen som vanligt, byter tillbaka till den ursprungliga variabeln och sätter in de ursprungliga integrationsgränserna. Alternativt ändrar man integrationsgränser samtidigt som man gör variabelbytet. De båda metoderna illustreras i följande exempel.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 4'''
 +
 +
Beräkna integralen <math>\ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx</math>.
 +
 +
 +
''Metod 1''
 +
 +
Sätt <math>u=e^x</math> vilket ger att <math>u'= e^x</math> och <math>du= e^x\,dx</math>
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Observera att integrationsgränserna måste skrivas <math>x = 0</math> och <math>x = 2</math> när integrationsvariabeln inte är <math>x</math>. Det vore fel att skriva
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ osv.}</math>}}
 +
 +
 +
''Metod 2''
 +
 +
Sätt <math>u=e^x</math> vilket ger att <math>u'= e^x</math> och <math>du= e^x\, dx</math>. Integrationsgränsen <math>x=0</math> motsvaras då av <math>u=e^0 = 1</math> och <math>x=2</math> motsvaras av <math>u=e^2</math>
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 5'''
 +
 +
Beräkna integralen <math> \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx</math>.
 +
<br>
 +
<br>
 +
Substitutionen <math>u=\sin x</math> ger att <math>du=\cos x\,dx</math> och integrationsgränserna förändras till <math>u=\sin 0=0</math> och <math>u=\sin(\pi/2)=1</math>. Integralen blir
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
 +
<center>{{:2.2 - Figur - Area under y = sin³x cos x resp. y = u³}}</center>
 +
{| width="80%" align="center"
 +
||<small>Figuren till vänster visar grafen till integranden sin³''x'' cos ''x'' och figuren till höger grafen till integranden ''u''³ som fås efter variabelsubstitutionen. Vid variabelbytet ändras integranden och integrationsintervallet. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.</small>
 +
|}
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 6'''
 +
 +
Betrakta beräkningen
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="95%" |
 +
Denna uträkning är dock felaktig, vilket beror på att <math>f(u)=1/u^2</math> inte är kontinuerlig i '''hela''' intervallet <math>[-1,1]</math>.
 +
 +
Villkoret att <math>f(u(x))</math> ska vara definierad och kontinuerlig för alla värden som <math>u(x)</math> kan anta i det aktuella intervallet behövs om man vill vara säker på att substitutionen <math>u=u(x)</math> ska fungera.
 +
| width="5%" |
 +
||
 +
{|
 +
||{{:2.2 - Figur - Grafen till f(u) = 1/u²}}
 +
|-
 +
||<small>Grafen till ''f''(''u'') = 1/''u''²</small>
 +
|}
 +
|}
 +
 +
</div>

Versionen från 7 april 2008 kl. 12.02

       Teori          Övningar      

Innehåll:

  • Variabelsubstitution

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Förstå härledningen av formeln för variabelsubstitution.
  • Lösa enklare integrationsproblem som kräver omskrivning och/eller substitution i ett steg.
  • Veta hur integrationsgränserna ändras under variabelsubstitution.
  • Veta när en variabelsubstitution är tillåten.

Variabelsubstitution

När man inte direkt kan bestämma en primitiv funktion genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna ”baklänges”, behöver man andra metoder eller tekniker. En sådan är variabelsubstitution, vilken kan sägas baseras på regeln för derivering av sammansatta funktioner — den s.k. kedjeregeln.

Kedjeregeln \displaystyle \ \frac{d}{dx}f(u(x)) = f^{\,\prime} (u(x)) \cdot u'(x)\ kan i integralform skrivas

\displaystyle \int f^{\,\prime}(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = f(u(x)) + C

eller,

\displaystyle \int f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = F (u(x)) + C\,\mbox{,}

där F är en primitiv funktion till f. Jämför vi denna formel med

\displaystyle \int f(u) \, du = F(u) + C\,\mbox{,}

så kan vi se det som att vi ersätter uttrycket \displaystyle u(x) med variabeln \displaystyle u och \displaystyle u'(x)\, dx med \displaystyle du. Man kan alltså omvandla den krångligare integranden \displaystyle f(u(x)) \cdot u'(x) (med \displaystyle x som variabel) med den förhoppningsvis enklare \displaystyle f(u) (med \displaystyle u som variabel). Metoden kallas variabelsubstitution och kan användas när integranden kan skrivas på formen \displaystyle f(u(x)) \cdot u'(x).


Anm. 1 Metoden bygger naturligtvis på att alla förutsättningar för integrering är uppfyllda; att \displaystyle u(x) är deriverbar i det aktuella intervallet, samt att \displaystyle f är kontinuerlig i värdemängden till \displaystyle u, dvs. för alla värden som \displaystyle u kan anta i intervallet.


Anm. 2 Att ersätta \displaystyle u'(x) \, dx med \displaystyle du kan också motiveras genom att studera övergången från differenskvot till derivata:

\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = \frac{du}{dx} = u'(x)\,\mbox{,}

vilket när \displaystyle \Delta x går mot noll kan betraktas som en formell gränsövergång

\displaystyle \Delta u \approx u'(x) \Delta x \quad \to \quad du = u'(x) \, dx\,\mbox{,}

dvs., en liten ändring, \displaystyle dx, i variabeln \displaystyle x ger upphov till en ungefärlig ändring \displaystyle u'(x)\,dx i variabeln \displaystyle u.


Exempel 1

Bestäm integralen \displaystyle \ \int 2 x\, e^{x^2} \, dx.

Om man sätter \displaystyle u(x)= x^2, så blir \displaystyle u'(x)= 2x. Vid variabelbytet ersätts då \displaystyle e^{x^2} med \displaystyle e^u och \displaystyle u'(x)\,dx, dvs. \displaystyle 2x\,dx, med \displaystyle du

\displaystyle \int 2 x\,e^{x^2} \, dx = \int e^{x^2} \cdot 2x \, dx = \int e^u \, du = e^u + C = e^{x^2} + C\,\mbox{.}

Exempel 2

Bestäm integralen \displaystyle \ \int (x^3 + 1)^3 \cdot x^2 \, dx.

Sätt \displaystyle u=x^3 + 1. Då blir \displaystyle u'=3x^2, eller \displaystyle du= 3x^2\, dx, och

\displaystyle \begin{align*}\int (x^3 + 1)^3 x^2 \, dx &= \int \frac{ (x^3 + 1)^3}{3} \cdot 3x^2\, dx = \int \frac{u^3}{3}\, du\\[4pt] &= \frac{u^4}{12} + C = \frac{1}{12} (x^3 + 1)^4 + C\,\mbox{.}\end{align*}

Exempel 3

Bestäm integralen \displaystyle \ \int \tan x \, dx\ \ där \displaystyle -\pi/2 < x < \pi/2.

Efter en omskrivning av \displaystyle \tan x som \displaystyle \sin x/\cos x substituerar vi \displaystyle u=\cos x

\displaystyle \begin{align*}\int \tan x \, dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = \left[\,\begin{align*} u &= \cos x\\ u' &= - \sin x\\ du &= - \sin x \, dx \end{align*}\,\right]\\[4pt] &= \int -\frac{1}{u}\, du = - \ln |u| +C = -\ln |\cos x| + C\,\mbox{.}\end{align*}


Integrationsgränser vid variabelbyte

Vid beräkning av bestämda integraler, t.ex. en area, där man använder variabelsubstitution kan man gå till väga på två sätt. Antingen beräknar man integralen som vanligt, byter tillbaka till den ursprungliga variabeln och sätter in de ursprungliga integrationsgränserna. Alternativt ändrar man integrationsgränser samtidigt som man gör variabelbytet. De båda metoderna illustreras i följande exempel.


Exempel 4

Beräkna integralen \displaystyle \ \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx.


Metod 1

Sätt \displaystyle u=e^x vilket ger att \displaystyle u'= e^x och \displaystyle du= e^x\,dx

\displaystyle \begin{align*}\int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx &= \int_{x=0}^{\,x=2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{x=0}^{x=2} = \Bigl[\,\ln (1+ e^x)\,\Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln \frac{1+ e^2}{2}\,\mbox {.}\end{align*}

Observera att integrationsgränserna måste skrivas \displaystyle x = 0 och \displaystyle x = 2 när integrationsvariabeln inte är \displaystyle x. Det vore fel att skriva

\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{1 + u} \, du \quad \text{ osv.}


Metod 2

Sätt \displaystyle u=e^x vilket ger att \displaystyle u'= e^x och \displaystyle du= e^x\, dx. Integrationsgränsen \displaystyle x=0 motsvaras då av \displaystyle u=e^0 = 1 och \displaystyle x=2 motsvaras av \displaystyle u=e^2

\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = \int_{1}^{\,e^2} \frac{1}{1 + u} \, du = \Bigl[\,\ln |1+ u |\,\Bigr]_{1}^{e^2} = \ln (1+ e^2) - \ln 2 = \ln\frac{1+ e^2}{2}\,\mbox{.}

Exempel 5

Beräkna integralen \displaystyle \ \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx.

Substitutionen \displaystyle u=\sin x ger att \displaystyle du=\cos x\,dx och integrationsgränserna förändras till \displaystyle u=\sin 0=0 och \displaystyle u=\sin(\pi/2)=1. Integralen blir

\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x\,\cos x \, dx = \int_{0}^{1} u^3\,du = \Bigl[\,\tfrac{1}{4}u^4\,\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1}{4} - 0 = \tfrac{1}{4}\,\mbox{.}


[Image]

Figuren till vänster visar grafen till integranden sin³x cos x och figuren till höger grafen till integranden u³ som fås efter variabelsubstitutionen. Vid variabelbytet ändras integranden och integrationsintervallet. Integralens värde, storleken på arean, ändras dock inte.

Exempel 6

Betrakta beräkningen

\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\cos x}{\sin^2 x}\, dx = \left[\,\begin{align*} &u = \sin x\\ &du = \cos x \, dx\\ &u(-\pi/2) = -1\\ &u (\pi/2) = 1\end{align*}\,\right ] = \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2} \, du = \Bigl[\, -\frac{1}{u}\, \Bigr]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2\,\mbox{.}

Denna uträkning är dock felaktig, vilket beror på att \displaystyle f(u)=1/u^2 inte är kontinuerlig i hela intervallet \displaystyle [-1,1].

Villkoret att \displaystyle f(u(x)) ska vara definierad och kontinuerlig för alla värden som \displaystyle u(x) kan anta i det aktuella intervallet behövs om man vill vara säker på att substitutionen \displaystyle u=u(x) ska fungera.

[Image]

Grafen till f(u) = 1/u²
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte2/index.php/2.2_Variabelsubstitution