3.4 Komplexa polynom

Förberedande kurs i matematik 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: __NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Mall:Vald flik|[[3.4 Komplexa polynom|Teori...)
Nuvarande version (7 maj 2008 kl. 14.05) (redigera) (ogör)
m
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 6: Rad 6:
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}
 +
 +
{{Info|
 +
'''Innehåll:'''
 +
* Faktorsatsen
 +
* Polynomdivision
 +
* Algebrans fundamentalsats
 +
}}
 +
 +
{{Info|
 +
'''Lärandemål:'''
 +
 +
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
 +
 +
* Utföra polynomdivision.
 +
* Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom.
 +
* Veta att en polynomekvation av grad ''n'' har ''n'' rötter (räknade med multiplicitet).
 +
* Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter.
 +
}}
 +
 +
== Polynom och ekvationer ==
 +
 +
Ett uttryck på formen
 +
{{Fristående formel||<math>a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0</math>}}
 +
 +
där <math>n</math> är ett naturligt tal, kallas ett ''polynom'' av grad <math>n</math> i en obestämd variabel <math>x</math>. Talet <math>a_1</math> kallas koefficienten för <math>x</math>, <math>a_2</math> koefficienten för <math>x^2</math>, etc. Konstanten <math>a_0</math> kallas ''konstanttermen''.
 +
 +
 +
Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 1'''
 +
 +
 +
Jämför följande heltal skrivet i basen 10,
 +
 +
{{Fristående formel||<math>1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3</math>}}
 +
 +
med ett polynom i <math>x</math>
 +
 +
{{Fristående formel||<math>x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3</math>}}
 +
 +
och sedan följande divisioner,
 +
 +
*<math>\quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad</math> eftersom <math>\ 1353= 123\cdot 11\,</math>,
 +
 +
*<math>\quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad</math> eftersom <math>\ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,</math>.
 +
 +
</div>
 +
 +
Om <math>p(x)</math> är ett polynom av grad <math>n</math> så kallas <math>p(x)=0</math> en ''polynomekvation'' av grad <math>n</math>. Om <math>x=a</math> är ett tal sådant att <math>p(a)=0</math> så kallas <math>x=a</math> en ''rot'', eller lösning till ekvationen. Man säger också att <math>x=a</math> är ett ''nollställe'' till <math>p(x)</math>.
 +
 +
Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. <math>37</math> divideras med <math>5</math>, får man
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Uträkningen kan även skrivas <math>\ 37= 7\cdot 5+2\,</math>. Talet 7 kallas ''kvot'' och talet 2 ''rest''. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2.
 +
 +
 +
Om <math>p(x)</math> och <math>q(x)</math> är polynom så kan man på liknande sätt dividera <math>p(x)</math> med <math>q(x)</math> och entydigt bestämma polynom <math>k(x)</math> och <math>r(x)</math> så att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}</math>}}
 +
 +
eller <math>\ p(x)= k(x)\cdot q(x)+r(x)\,</math>. Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten <math>k(x)</math> och resten <math>r(x)</math>.
 +
 +
 +
Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt: Om <math>r(x)=0</math> så är <math>p(x)</math> delbart med <math>q(x)</math>, eller, <math>q(x)</math> är en ''delare'' till <math>p(x)</math>. Man skriver
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}</math>}}
 +
eller <math>\ p(x) = k(x)\cdot q(x)\,</math>.
 +
 +
 +
== Polynomdivision ==
 +
 +
Om <math>p(x)</math> är ett polynom med högre grad än polynomet <math>q(x)</math> så kan man dividera <math>p(x)</math> med <math>q(x)</math>. Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multipler av <math>q(x)</math> från <math>p(x)</math> tills den återstående täljaren har lägre grad än <math>q(x)</math> i nämnaren.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 2'''
 +
 +
 +
Utför polynomdivisionen <math>\ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,</math>.
 +
 +
 +
Det första steget är att vi ''lägger till och drar ifrån'' en lämplig <math>x^2</math>-term i täljaren
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Anledningen till att vi gör detta är att nu kan deluttrycket <math>x^3+2x^2</math> skrivas som <math>x^2(x+2)</math> och förkortas med nämnaren
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Sedan lägger vi till och drar ifrån en lämplig <math>x</math>-term så att den ledande <math>x^2</math>-termen i täljaren kan förkortas bort
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Det sista steget är att vi lägger till och drar ifrån en konstant
 +
 +
{{Fristående formel||<math>x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Alltså gäller att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Kvoten är <math>x^2 -x + 1</math> och resten är <math>2</math>. Eftersom resten inte är noll går divisionen inte jämnt upp, dvs. <math>q(x)= x+2</math> är inte en ''delare'' till <math>p(x)=x^3 + x^2 -x +4</math>.
 +
 +
</div>
 +
 +
 +
== Samband mellan faktorer och nollställen ==
 +
 +
Om <math>q(x)</math> är en delare till <math>p(x)</math> så gäller alltså att <math>p(x)=k(x)\cdot q(x)</math>. Vi har därmed ''faktoriserat'' <math>p(x)</math> . Man säger att <math>q(x)</math> är en faktor i <math>p(x)</math>. Speciellt gäller att om förstagradspolynomet <math>(x-a)</math> är en delare till <math>p(x)</math> så är <math>(x-a)</math> en faktor i <math>p(x)</math> , dvs.
 +
 +
{{Fristående formel||<math>p(x)= q(x)\cdot (x-a)\,\mbox{.}</math>}}
 +
Eftersom <math>\ p(a)=q(a)\cdot (a-a)= q(a)\cdot 0 = 0\ </math> så betyder detta att <math>x=a</math> är ett nollställe till <math>p(x)</math>. Detta är precis innehållet i den s.k. ''faktorsatsen''.
 +
 +
<div class="regel">
 +
'''Faktorsatsen:'''
 +
 +
<math>(x-a)</math> är en delare till polynomet <math>p(x)</math> om och endast om <math>x=a</math> är ett nollställe till <math>p(x)</math>.
 +
</div>
 +
 +
Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att <math>x=a</math> är ett nollställe till <math>p(x)</math> så vet man automatiskt att <math>p(x)</math> är delbart med <math>(x-a)</math>.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 3'''
 +
 +
 +
Polynomet <math>p(x) = x^2-6x+8</math> kan faktoriseras som
 +
 +
{{Fristående formel||<math>x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)</math>}}
 +
 +
och har därför nollställena <math>x=2</math> och <math>x=4</math> (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen <math>\ x^2-6x+8 = 0\,</math>.
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 4'''
 +
 +
 +
<ol type="a">
 +
<li> Faktorisera polynomet <math>\ x^2-3x-10\,</math>.
 +
 +
 +
Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer. Andragradsekvationen <math>\ x^2-3x-10=0\ </math> har lösningarna
 +
 +
{{Fristående formel||<math>x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}</math>}}
 +
 +
dvs. <math>x=-2</math> och <math>x=5</math>. Detta betyder att <math>\ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,</math>.
 +
</li>
 +
 +
<li> Faktorisera polynomet <math>\ x^2+6x+9\,</math>.
 +
 +
 +
Detta polynom har en dubbelrot
 +
 +
{{Fristående formel||<math>x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3</math>}}
 +
 +
och därmed är <math>\ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,</math>.
 +
</li>
 +
 +
<li> Faktorisera polynomet <math>\ x^2 -4x+5\,</math>.
 +
 +
 +
I detta fall har polynomet två komplexa rötter
 +
 +
{{Fristående formel||<math>x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i</math>}}
 +
 +
och faktoriseringen blir <math>\ (x-(2-i))(x-(2+i))\,</math>.
 +
</li>
 +
 +
</ol>
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 5'''
 +
 +
 +
Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena <math>1</math> , <math>-1</math> och <math>3</math>.
 +
 +
 +
Polynomet måste enligt faktorsatsen ha faktorerna <math>(x-1)</math>, <math>(x+1)</math> och <math>(x-3)</math>. Multiplicerar vi ihop dessa faktorer får vi just ett tredjegradspolynom
 +
 +
{{Fristående formel||<math>(x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
 +
== Algebrans fundamentalsats ==
 +
 +
Vi införde i början av detta kapitel de komplexa talen för att kunna lösa andragradsekvationen <math>x^2=-1</math> och man kan nu ställa sig den lite mer teoretiska frågan om detta räcker, eller behöver vi uppfinna fler typer av tal för att kunna lösa andra mer komplicerade polynomekvationer. Svaret på den frågan är att det behöver vi inte göra utan det räcker med de komplexa talen. Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss bevisade år 1799 ''algebrans fundamentalsats'' som säger följande:
 +
 +
<div class="regel">
 +
Varje polynom av grad <math>n\ge1</math> med komplexa koefficienter har minst ett nollställe bland de komplexa talen.
 +
</div>
 +
 +
Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:
 +
 +
<div class="regel">
 +
Varje polynom av grad <math>n\ge1</math> har exakt <math>n</math> stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin ''multiplicitet''.
 +
</div>
 +
(Med multiplicitet menas att ett dubbelt nollställe räknas 2 gånger, ett trippelnollställe 3 gånger, osv.)
 +
 +
 +
Notera att dessa satser bara säger att det ''finns'' komplexa rötter till polynom men inte ''hur'' man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller oss till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep som kan hjälpa oss att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 6'''
 +
 +
 +
Visa att polynomet <math>p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5</math> har nollställena <math>x=i</math> och <math>x = 2-i</math>. Bestäm därefter övriga nollställen.
 +
 +
 +
Vi har att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
För att räkna ut det sista uttrycket behöver vi bestämma
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\\ (2-i)^3 &= (3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\\ (2-i)^4 &= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Detta ger att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\\ &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
 +
 +
vilket visar att <math>i</math> och <math>2-i</math> är nollställen till polynomet.
 +
 +
 +
Eftersom polynomet har reella koefficienter kan vi direkt säga att de två andra nollställena är komplexkonjugatet av de två första nollställena, dvs. de två andra rötterna är <math>z=-i</math> och <math>z=2+i</math>.
 +
 +
</div>
 +
 +
En konsekvens av algebrans fundamentalsats (och faktorsatsen) är att alla polynom kan faktoriseras i en produkt av komplexa förstagradsfaktorer. Detta gäller även polynom med reella koefficienter, men för dessa går det att multiplicera ihop förstagradsfaktorer som hör till komplexkonjugerade rötter och få en faktorisering helt med reella första- och andragradsfaktorer.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 7'''
 +
 +
 +
Visa att <math>x=1</math> är ett nollställe till <math>p(x)= x^3+x^2-2</math>. Faktorisera därefter <math>p(x)</math> i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.
 +
 +
 +
Vi har att <math>\ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ </math> vilket visar att <math>x=1</math> är ett nollställe till polynomet. Enligt faktorsatsen betyder detta att <math>x-1</math> är en faktor i <math>p(x)</math>, dvs. att <math>p(x)</math> är delbar med <math>x-1</math>. Vi delar därför polynomet med <math>x-1</math> för att få återstående faktor om <math>x-1</math> bryts ut ur polynomet
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Alltså har vi att <math>\ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,</math>.
 +
 +
 +
Nu återstår att faktorisera <math>x^2+2x+2</math>. Ekvationen <math>x^2+2x+2=0</math> har lösningarna
 +
 +
{{Fristående formel||<math>x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i</math>}}
 +
 +
och därför har polynomet följande faktoriseringen i komplexa förstagradsfaktorer
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
</div>

Nuvarande version

       Teori          Övningar      

Innehåll:

  • Faktorsatsen
  • Polynomdivision
  • Algebrans fundamentalsats

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Utföra polynomdivision.
  • Förstå sambandet mellan faktorer och nollställen till polynom.
  • Veta att en polynomekvation av grad n har n rötter (räknade med multiplicitet).
  • Veta att reella polynomekvationer har komplexkonjugerade rötter.

Polynom och ekvationer

Ett uttryck på formen

\displaystyle a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2x^2 + a_1x+a_0

där \displaystyle n är ett naturligt tal, kallas ett polynom av grad \displaystyle n i en obestämd variabel \displaystyle x. Talet \displaystyle a_1 kallas koefficienten för \displaystyle x, \displaystyle a_2 koefficienten för \displaystyle x^2, etc. Konstanten \displaystyle a_0 kallas konstanttermen.


Polynom är grundläggande för en stor del av matematiken och visar bl.a. upp stora likheter med våra heltal, vilket gör att vi kan räkna med polynom på liknande sätt som med heltalen.


Exempel 1


Jämför följande heltal skrivet i basen 10,

\displaystyle 1353= 1\cdot 10^3 + 3\cdot 10^2 + 5\cdot 10 + 3

med ett polynom i \displaystyle x

\displaystyle x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 1\cdot x^3 + 3\cdot x^2 + 5\cdot x + 3

och sedan följande divisioner,

  • \displaystyle \quad\frac{1353}{11} = 123 \qquad eftersom \displaystyle \ 1353= 123\cdot 11\,,
  • \displaystyle \quad\frac{x^3 + 3x^2 + 5x + 3}{x+1} = x^2+2x+3\qquad eftersom \displaystyle \ x^3 + 3x^2 + 5x + 3= (x^2+2x+3)(x+1)\,.

Om \displaystyle p(x) är ett polynom av grad \displaystyle n så kallas \displaystyle p(x)=0 en polynomekvation av grad \displaystyle n. Om \displaystyle x=a är ett tal sådant att \displaystyle p(a)=0 så kallas \displaystyle x=a en rot, eller lösning till ekvationen. Man säger också att \displaystyle x=a är ett nollställe till \displaystyle p(x).

Som exemplet ovan visade kan polynom divideras precis som heltal. En sådan division går, precis som för heltal, i allmänhet inte jämnt upp. Om t.ex. \displaystyle 37 divideras med \displaystyle 5, får man

\displaystyle \frac{37}{5} = \frac{35+2}{5}=7+\frac{2}{5}\,\mbox{.}

Uträkningen kan även skrivas \displaystyle \ 37= 7\cdot 5+2\,. Talet 7 kallas kvot och talet 2 rest. Man säger att division av 37 med 5 ger kvoten 7 och resten 2.


Om \displaystyle p(x) och \displaystyle q(x) är polynom så kan man på liknande sätt dividera \displaystyle p(x) med \displaystyle q(x) och entydigt bestämma polynom \displaystyle k(x) och \displaystyle r(x) så att

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)+ \frac{r(x)}{q(x)}\,\mbox{,}

eller \displaystyle \ p(x)= k(x)\cdot q(x)+r(x)\,. Man säger här att polynomdivisionen ger kvoten \displaystyle k(x) och resten \displaystyle r(x).


Det är uppenbart att en division går jämnt upp om resten är noll. För polynom uttrycks detta på följande sätt: Om \displaystyle r(x)=0 så är \displaystyle p(x) delbart med \displaystyle q(x), eller, \displaystyle q(x) är en delare till \displaystyle p(x). Man skriver

\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)} = k(x)\,\mbox{,}

eller \displaystyle \ p(x) = k(x)\cdot q(x)\,.


Polynomdivision

Om \displaystyle p(x) är ett polynom med högre grad än polynomet \displaystyle q(x) så kan man dividera \displaystyle p(x) med \displaystyle q(x). Det kan t.ex. göras genom att successivt subtrahera lämpliga multipler av \displaystyle q(x) från \displaystyle p(x) tills den återstående täljaren har lägre grad än \displaystyle q(x) i nämnaren.


Exempel 2


Utför polynomdivisionen \displaystyle \ \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2}\,.


Det första steget är att vi lägger till och drar ifrån en lämplig \displaystyle x^2-term i täljaren

\displaystyle \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = \frac{x^3+2x^2-2x^2+x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}

Anledningen till att vi gör detta är att nu kan deluttrycket \displaystyle x^3+2x^2 skrivas som \displaystyle x^2(x+2) och förkortas med nämnaren

\displaystyle \frac{x^2(x+2)-2x^2+x^2-x+4}{x+2} = x^2+\frac{-x^2-x+4}{x+2}\,\mbox{.}

Sedan lägger vi till och drar ifrån en lämplig \displaystyle x-term så att den ledande \displaystyle x^2-termen i täljaren kan förkortas bort

\displaystyle \begin{align*} x^2+\frac{-x^2-2x+2x-x+4}{x+2} &= x^2+\frac{-x(x+2)+2x-x+4}{x+2}\\ &=x^2-x+\frac{x+4}{x+2}\,\mbox{.}\end{align*}

Det sista steget är att vi lägger till och drar ifrån en konstant

\displaystyle x^2-x+\frac{x+4}{x+2}=x^2-x+\frac{x+2-2+4}{x+2} = x^2-x+1+\frac{2}{x+2}\,\mbox{.}

Alltså gäller att

\displaystyle \frac{x^3 + x^2 -x +4}{x+2} = x^2 -x + 1 + \frac{2}{x+2}\,\mbox{.}

Kvoten är \displaystyle x^2 -x + 1 och resten är \displaystyle 2. Eftersom resten inte är noll går divisionen inte jämnt upp, dvs. \displaystyle q(x)= x+2 är inte en delare till \displaystyle p(x)=x^3 + x^2 -x +4.


Samband mellan faktorer och nollställen

Om \displaystyle q(x) är en delare till \displaystyle p(x) så gäller alltså att \displaystyle p(x)=k(x)\cdot q(x). Vi har därmed faktoriserat \displaystyle p(x) . Man säger att \displaystyle q(x) är en faktor i \displaystyle p(x). Speciellt gäller att om förstagradspolynomet \displaystyle (x-a) är en delare till \displaystyle p(x) så är \displaystyle (x-a) en faktor i \displaystyle p(x) , dvs.

\displaystyle p(x)= q(x)\cdot (x-a)\,\mbox{.}

Eftersom \displaystyle \ p(a)=q(a)\cdot (a-a)= q(a)\cdot 0 = 0\ så betyder detta att \displaystyle x=a är ett nollställe till \displaystyle p(x). Detta är precis innehållet i den s.k. faktorsatsen.

Faktorsatsen:

\displaystyle (x-a) är en delare till polynomet \displaystyle p(x) om och endast om \displaystyle x=a är ett nollställe till \displaystyle p(x).

Observera att satsen gäller åt båda hållen, dvs. om man vet att \displaystyle x=a är ett nollställe till \displaystyle p(x) så vet man automatiskt att \displaystyle p(x) är delbart med \displaystyle (x-a).


Exempel 3


Polynomet \displaystyle p(x) = x^2-6x+8 kan faktoriseras som

\displaystyle x^2-6x+8 = (x-2)(x-4)

och har därför nollställena \displaystyle x=2 och \displaystyle x=4 (och inga andra). Det är precis dessa man får fram om man löser ekvationen \displaystyle \ x^2-6x+8 = 0\,.

Exempel 4


  1. Faktorisera polynomet \displaystyle \ x^2-3x-10\,. Genom att bestämma polynomets nollställen får man enligt faktorsatsen automatiskt dess faktorer. Andragradsekvationen \displaystyle \ x^2-3x-10=0\ har lösningarna
    \displaystyle x= \frac{3}{2} \pm \sqrt{\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^2 - (-10)} = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}\,\mbox{,}

    dvs. \displaystyle x=-2 och \displaystyle x=5. Detta betyder att \displaystyle \ x^2-3x-10=(x-(-2))(x-5)=(x+2)(x-5)\,.

  2. Faktorisera polynomet \displaystyle \ x^2+6x+9\,. Detta polynom har en dubbelrot
    \displaystyle x= -3 \pm \sqrt{\smash{(-3)^2 -9}\vphantom{i^2}} = -3

    och därmed är \displaystyle \ x^2+6x+9=(x-(-3))(x-(-3))=(x+3)^2\,.

  3. Faktorisera polynomet \displaystyle \ x^2 -4x+5\,. I detta fall har polynomet två komplexa rötter
    \displaystyle x= 2 \pm \sqrt{2^2 -5} = 2\pm \sqrt{-1} = 2\pm i

    och faktoriseringen blir \displaystyle \ (x-(2-i))(x-(2+i))\,.

Exempel 5


Bestäm ett tredjegradspolynom med nollställena \displaystyle 1 , \displaystyle -1 och \displaystyle 3.


Polynomet måste enligt faktorsatsen ha faktorerna \displaystyle (x-1), \displaystyle (x+1) och \displaystyle (x-3). Multiplicerar vi ihop dessa faktorer får vi just ett tredjegradspolynom

\displaystyle (x-1)(x+1)(x-3) = (x^2-1)(x-3)= x^3 -3x^2 -x+3\,\mbox{.}


Algebrans fundamentalsats

Vi införde i början av detta kapitel de komplexa talen för att kunna lösa andragradsekvationen \displaystyle x^2=-1 och man kan nu ställa sig den lite mer teoretiska frågan om detta räcker, eller behöver vi uppfinna fler typer av tal för att kunna lösa andra mer komplicerade polynomekvationer. Svaret på den frågan är att det behöver vi inte göra utan det räcker med de komplexa talen. Den tyske matematikern Carl Friedrich Gauss bevisade år 1799 algebrans fundamentalsats som säger följande:

Varje polynom av grad \displaystyle n\ge1 med komplexa koefficienter har minst ett nollställe bland de komplexa talen.

Eftersom varje nollställe enligt faktorsatsen motsvaras av en faktor, kan man nu också fastställa följande sats:

Varje polynom av grad \displaystyle n\ge1 har exakt \displaystyle n stycken nollställen om varje nollställe räknas med sin multiplicitet.

(Med multiplicitet menas att ett dubbelt nollställe räknas 2 gånger, ett trippelnollställe 3 gånger, osv.)


Notera att dessa satser bara säger att det finns komplexa rötter till polynom men inte hur man räknar ut dessa. I allmänhet finns det ingen enkel metod att skriva upp en formel för rötterna, utan för polynomekvationer av högre gradtal får vi använda diverse knep för att lösa. Om vi håller oss till polynom med reella koefficienter så är ett av dessa knep som kan hjälpa oss att polynomets komplexa rötter alltid är komplexkonjugerade.


Exempel 6


Visa att polynomet \displaystyle p(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+5 har nollställena \displaystyle x=i och \displaystyle x = 2-i. Bestäm därefter övriga nollställen.


Vi har att

\displaystyle \begin{align*} p(i) &= i^4- 4i^3 +6i^2-4i+5 = 1+4i-6-4i+5=0\,\mbox{,}\\ p(2-i) &= (2-i)^4 -4(2-i)^3 + 6(2-i)^2 - 4(2-i) +5\,\mbox{.}\end{align*}

För att räkna ut det sista uttrycket behöver vi bestämma

\displaystyle \begin{align*} (2-i)^2 &= 4-4i+i^2 = 3-4i\,\mbox{,}\\ (2-i)^3 &= (3-4i)(2-i) = 6-3i-8i+4i^2 = 2-11i\,\mbox{,}\\ (2-i)^4 &= (2-11i)(2-i) = 4-2i-22i+11i^2= -7-24i\,\mbox{.}\end{align*}

Detta ger att

\displaystyle \begin{align*} p(2-i) &= -7-24i-4(2-11i)+6(3-4i) -4(2-i) +5\\ &= -7-24i-8+44i+18-24i-8+4i+5=0\,\mbox{,}\end{align*}

vilket visar att \displaystyle i och \displaystyle 2-i är nollställen till polynomet.


Eftersom polynomet har reella koefficienter kan vi direkt säga att de två andra nollställena är komplexkonjugatet av de två första nollställena, dvs. de två andra rötterna är \displaystyle z=-i och \displaystyle z=2+i.

En konsekvens av algebrans fundamentalsats (och faktorsatsen) är att alla polynom kan faktoriseras i en produkt av komplexa förstagradsfaktorer. Detta gäller även polynom med reella koefficienter, men för dessa går det att multiplicera ihop förstagradsfaktorer som hör till komplexkonjugerade rötter och få en faktorisering helt med reella första- och andragradsfaktorer.


Exempel 7


Visa att \displaystyle x=1 är ett nollställe till \displaystyle p(x)= x^3+x^2-2. Faktorisera därefter \displaystyle p(x) i polynom med reella koefficienter, samt fullständigt i förstagradsfaktorer.


Vi har att \displaystyle \ p(1)= 1^3 + 1^2 -2 = 0\ vilket visar att \displaystyle x=1 är ett nollställe till polynomet. Enligt faktorsatsen betyder detta att \displaystyle x-1 är en faktor i \displaystyle p(x), dvs. att \displaystyle p(x) är delbar med \displaystyle x-1. Vi delar därför polynomet med \displaystyle x-1 för att få återstående faktor om \displaystyle x-1 bryts ut ur polynomet

\displaystyle \begin{align*} \frac{x^3+x^2-2}{x-1} &= \frac{x^2(x-1)+2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x^2-2}{x-1} = x^2 + \frac{2x(x-1) +2x -2}{x-1}\\[4pt] &= x^2 + 2x + \frac{2x-2}{x-1} = x^2 + 2x + \frac{2(x-1)}{x-1} = x^2 + 2x + 2\,\mbox{.}\end{align*}

Alltså har vi att \displaystyle \ p(x)= (x-1)(x^2+2x+2)\,.


Nu återstår att faktorisera \displaystyle x^2+2x+2. Ekvationen \displaystyle x^2+2x+2=0 har lösningarna

\displaystyle x=-1\pm \sqrt{\smash{(-1)^2 -2}\vphantom{i^2}} = -1 \pm \sqrt{-1} = -1\pm i

och därför har polynomet följande faktoriseringen i komplexa förstagradsfaktorer

\displaystyle \begin{align*} x^3+x^2-2 = (x-1)(x^2+2x+2) &= (x-1)(x-(-1+i))(x-(-1-i))\\ &= (x-1)(x+1-i)(x+1+i)\,\mbox{.}\end{align*}
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte2/index.php/3.4_Komplexa_polynom