3.3 Potenser och rötter

Förberedande kurs i matematik 2

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: __NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" |   {{Mall:Vald flik|[[3.3 Potenser och rötter|T...)
Nuvarande version (7 maj 2008 kl. 13.19) (redigera) (ogör)
m
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 6: Rad 6:
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
| style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"|  
|}
|}
 +
 +
{{Info|
 +
'''Innehåll:'''
 +
* De Moivres formel
 +
* Binomiska ekvationer
 +
* Exponentialform
 +
* Eulers formel
 +
* Kvadratkomplettering
 +
* Andragradsekvationer
 +
}}
 +
 +
{{Info|
 +
'''Lärandemål:'''
 +
 +
Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
 +
 +
* Beräkna potenser av komplexa tal med de Moivres formel.
 +
* Beräkna rötter av vissa komplexa tal genom omskrivning till polär form.
 +
* Lösa binomiska ekvationer.
 +
* Kvadratkomplettera komplexa andragradsuttryck.
 +
* Lösa komplexa andragradsekvationer.
 +
}}
 +
 +
== De Moivres formel ==
 +
 +
Räknereglerna <math>\ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ </math> och <math>\ |\,zw\,| = |\,z\,|\cdot|\,w\,|\ </math> betyder att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*}&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{osv.}</math>}}
 +
 +
För ett godtyckligt tal <math>z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)</math> har vi därför följande samband
 +
 +
{{Fristående formel||<math>z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Om <math>|\,z\,|=1</math>, (dvs. <math>z</math> ligger på enhetscirkeln) gäller speciellt
 +
 +
<div class="regel">
 +
{{Fristående formel||<math>(\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{,}</math>}}
 +
</div>
 +
 +
vilket brukar kallas ''de Moivres formel''. Denna relation är mycket användbar när det gäller att härleda trigonometriska identiteter och beräkna rötter och potenser av komplexa tal.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 1'''
 +
 +
 +
Om <math>z = \frac{1+i}{\sqrt2}</math>, beräkna <math>z^3</math> och <math>z^{100}</math>.
 +
 +
 +
Skriver vi <math>z</math> i polär form <math>\ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ </math> så ger de Moivres formel oss att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 2'''
 +
 +
 +
På traditionellt sätt kan man med kvadreringsregeln utveckla
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\end{align*}</math>}}
 +
 +
och med de Moivres formel få att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>(\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Om man identifierar real- respektive imaginärdel i de båda uttrycken får man de kända trigonometriska formlerna
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 3'''
 +
 +
 +
Beräkna <math>\ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,</math>.
 +
 +
 +
Vi skriver talen <math>\sqrt{3}+i</math>, <math>1+i\sqrt{3}</math> och <math>1+i</math> i polär form
 +
*<math>\quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
 +
*<math>\quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>,
 +
*<math>\quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
 +
Då får vi med de Moivres formel att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \cdot (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}</math>}}
 +
 +
och detta uttryck kan förenklas genom att utföra multiplikationen och divisionen i polär form
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
 +
== Binomiska ekvationer ==
 +
 +
Ett komplext tal <math>z</math> kallas en ''n'':te rot av det komplexa talet <math>w</math> om
 +
<div class="regel">
 +
{{Fristående formel||<math>z^n= w \mbox{.}</math>}}
 +
</div>
 +
 +
Ovanstående samband kan också ses som en ekvation där <math>z</math> är obekant, och en sådan ekvation kallas en ''binomisk ekvation''. Lösningarna ges av att skriva båda leden i polär form och jämföra belopp och argument.
 +
 +
För ett givet tal <math>w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta)</math> ansätter man det sökta talet <math>z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha)</math> och den binomiska ekvationen blir
 +
 +
{{Fristående formel||<math>r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}</math>}}
 +
 +
där de Moivres formel använts i vänsterledet. För belopp och argument måste nu gälla
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Observera att vi lägger till multipler av <math>2\pi</math> för att få med alla värden på argumentet som anger samma riktning som <math>\theta</math>. Man får då att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}</math>}}
 +
 +
Detta ger ''ett'' värde på <math>r</math>, men oändligt många värden på <math>\alpha</math>. Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från <math>k = 0</math> till <math>k = n - 1</math> får man olika argument för <math>z</math> och därmed olika lägen för <math>z</math> i det komplexa talplanet. För övriga värden på <math>k</math> kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar. Detta resonemang visar att ekvationen <math>z^n=w</math> har exakt <math>n</math> rötter.
 +
 +
''Anm.'' Observera att rötternas olika argument ligger <math>2\pi/n</math> ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien <math>\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}</math> och bildar hörn i en regelbunden ''n''-hörning.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 4'''
 +
 +
 +
Lös den binomiska ekvationen <math>\ z^4= 16\,i\,</math>.
 +
 +
 +
Skriv <math>z</math> och <math>16\,i</math> i polär form
 +
*<math>\quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,</math>,
 +
*<math>\quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}</math>.
 +
Då ger ekvationen <math>\ z^4=16\,i\ </math> att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
När vi identifierar belopp och argument i båda led fås att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align*}\qquad\text{dvs.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}</math>}}
 +
 +
{| width="100%"
 +
| width="95%"|
 +
Lösningarna till ekvationen är alltså
 +
{{Fristående formel||<math>\left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]
 +
\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
 +
\displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt]
 +
\displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.</math>}}
 +
| width="5%" |
 +
||{{:3.3 - Figur - Komplexa talen z₁, z₂, z₃ och z₄}}
 +
|}
 +
 +
</div>
 +
 +
 +
== Exponentialform av komplexa tal ==
 +
 +
Om vi behandlar <math>i</math> likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal <math>z</math> som en funktion av <math>\alpha</math> (och <math>r</math> är en konstant),
 +
 +
{{Fristående formel||<math>f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)</math>}}
 +
 +
så får vi efter derivering
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{osv.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Den enda reella funktion med dessa egenskaper är <math>f(x)= e^{\,kx}</math>, vilket motiverar definitionen
 +
 +
{{Fristående formel||<math>e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter <math>z=a+ib</math> så får man
 +
 +
{{Fristående formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \cdot e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Definitionen av <math>e^{\,z}</math> kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom <math>z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,</math>.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 5'''
 +
 +
 +
För ett reellt tal <math>z</math> överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom <math>z=a+0\cdot i</math> ger att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}</math>}}
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 6'''
 +
 +
 +
Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}\,\mbox{,}</math>}}
 +
 +
vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag,
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\left(a^x\right)^y = a^{x\,y}\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 7'''
 +
 +
 +
Ur definitionen ovan kan man erhålla sambandet
 +
 +
{{Fristående formel||<math>e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1</math>}}
 +
 +
vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken: <math>e</math>, <math>\pi</math>, <math>i</math> och 1.
 +
Detta samband betraktas av många som det vackraste inom matematiken och upptäcktes av Euler i början av 1700-talet.
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 8'''
 +
 +
 +
Lös ekvationen <math>\ (z+i)^3 = -8i</math>.
 +
 +
 +
Sätt <math>w = z + i</math>. Vi får då den binomiska ekvationen <math>\ w^3=-8i\,</math>. Till att börja med skriver vi om <math>w</math> och <math>-8i</math> i polär form
 +
*<math>\quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}</math>
 +
*<math>\quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}</math>
 +
Ekvationen blir i polär form <math>\ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ </math> och identifierar vi belopp och argument i båda led har vi att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Rötterna till ekvationen blir därmed
 +
*<math>\quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
 +
*<math>\quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}</math>
 +
*<math>\quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}</math>
 +
 +
dvs. <math>z_1 = 2i-i=i</math>, <math>z_2 = - \sqrt{3}-2i</math> och <math>z_3 = \sqrt{3}-2i</math>.
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 9'''
 +
 +
 +
Lös ekvationen <math>\ z^2 = \overline{z}\,</math>.
 +
 +
 +
Om <math>z=a+ib</math> har <math>|\,z\,|=r</math> och <math>\arg z = \alpha</math> så gäller att <math>\overline{z}= a-ib</math> har <math>|\,\overline{z}\,|=r</math> och <math>\arg \overline{z} = - \alpha</math>. Därför gäller att <math>z=r\,e^{i\alpha}</math> och <math>\overline{z} = r\,e^{-i\alpha}</math>. Ekvationen kan därmed skrivas
 +
 +
{{Fristående formel||<math>(r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{eller}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}</math>}}
 +
 +
vilket direkt ger att <math>r=0</math> är en lösning, dvs. <math>z=0</math>. Om vi antar att <math>r\not=0</math> så kan ekvationen skrivas <math>\ r\,e^{3i\alpha} = 1\,</math>, som ger efter identifikation av belopp och argument
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Lösningarna är
 +
*<math>\quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}</math>
 +
*<math>\quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math>
 +
*<math>\quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}</math>
 +
*<math>\quad z_4 = 0\,\mbox{.}</math>
 +
 +
</div>
 +
 +
 +
== Kvadratkomplettering ==
 +
 +
Kvadreringsreglerna,
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.</math>}}
 +
 +
som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck. Exempelvis är
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Rotutdragning ger sedan att <math>x+2=\pm\sqrt{9}</math> och därmed att <math>x=-2\pm 3</math>, dvs. <math>x=1</math> eller <math>x=-5</math>.
 +
 +
 +
Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven
 +
 +
{{Fristående formel||<math>x^2+4x-5=0\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Genom att addera 9 till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{,}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Metoden kallas ''kvadratkomplettering''.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 10'''
 +
 +
 +
<ol type="a">
 +
<li> Lös ekvationen <math>\ x^2-6x+7=2\,</math>.
 +
 +
 +
Koefficienten framför <math>x</math> är <math>-6</math> och det visar att vi måste ha talet <math>(-3)^2=9</math> som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till <math>2</math> på båda sidor åstadkommer vi detta:
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\,\mbox{,}\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\,\mbox{,}\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Rotutdragning ger sedan att <math>x-3=\pm 2</math>, vilket betyder att <math>x=1</math> och <math>x=5</math>.
 +
</li>
 +
 +
<li> Lös ekvationen <math>\ z^2+21=4-8z\,</math>.
 +
 +
 +
Ekvationen kan skrivas <math>z^2+8z+17=0</math>. Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\,\mbox{,}\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\,\mbox{,}\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
 +
 +
och därför är <math>z+4=\pm\sqrt{-1}</math>. Med andra ord är lösningarna <math>z=-4-i</math> och <math>z=-4+i</math>.
 +
</li>
 +
</ol>
 +
 +
</div>
 +
 +
Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för ''x''" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas. Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 11'''
 +
 +
 +
Lös ekvationen <math>\ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,</math>.
 +
 +
 +
Halva koefficienten för <math>x</math> är <math>-\tfrac{4}{3}</math>. Vi lägger alltså till <math>\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9}</math> i båda led
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Nu är det enkelt att få fram att <math>x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3}</math> och därmed att <math>x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}</math>, dvs. <math>x=-\tfrac{1}{3}</math> och <math>x=3</math>.
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 12'''
 +
 +
 +
Lös ekvationen <math>\ x^2+px+q=0\,</math>.
 +
 +
 +
Kvadratkomplettering ger
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Detta ger den vanliga formeln, ''pq-formeln'', för lösningar till andragradsekvationer
 +
 +
{{Fristående formel||<math>x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 13'''
 +
 +
 +
Lös ekvationen <math>\ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,</math>.
 +
 +
 +
Halva koefficienten för <math>z</math> är <math>-(6+2i)</math> så vi adderar kvadraten på detta uttryck till båda led
 +
 +
{{Fristående formel||<math>z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Räknar vi ut kvadraten <math>\ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ </math> i högerledet och kvadratkompletterar vänsterledet fås
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\,\mbox{,}\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Efter en rotutdragning har vi att <math>\ z-(6+2i)=\pm 6\ </math> och därmed är lösningarna <math>z=12+2i</math> och <math>z=2i</math>.
 +
 +
</div>
 +
 +
Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 14'''
 +
 +
 +
Kvadratkomplettera uttrycket <math>\ z^2+(2-4i)z+1-3i\,</math>.
 +
 +
 +
Lägg till och dra ifrån termen <math>\bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,</math>,
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
 +
== Lösning med formel ==
 +
 +
Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen <math>\sqrt{a+ib}</math>. Man kan då ansätta
 +
 +
{{Fristående formel||<math>z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Genom att kvadrera båda led får vi att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.</math>}}
 +
 +
Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. <math>y= b/(2x)</math> som kan sättas in i den första ekvationen.
 +
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 15'''
 +
 +
 +
Beräkna <math>\ \sqrt{-3-4i}\,</math>.
 +
 +
 +
Sätt <math>\ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ </math> där <math>x</math> och <math>y</math> är reella tal. Kvadrering av båda led ger
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}\end{align*}</math>}}
 +
 +
vilket leder till ekvationssystemet
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Ur den andra ekvationen kan vi lösa ut <math>\ y=-4/(2x) = -2/x\ </math> och sätts detta in i den första ekvationen fås att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Denna ekvation är en andragradsekvation i <math>x^2</math> vilket man ser lättare genom att sätta <math>t=x^2</math>,
 +
 +
{{Fristående formel||<math>t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}</math>}}
 +
 +
Lösningarna är <math>t = 1</math> och <math>t = -4</math>. Den sista lösningen måste förkastas, eftersom <math>x</math> och <math>y</math> är reella tal och då kan inte <math>x^2=-4</math>. Vi får att <math>x=\pm\sqrt{1}</math>, vilket ger oss två möjligheter
 +
* <math>\ x=-1\ </math> som ger att <math>\ y=-2/(-1)=2\,</math>,
 +
* <math>\ x=1\ </math> som ger att <math>\ y=-2/1=-2\,</math>.
 +
 +
Vi har alltså kommit fram till att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
</div>
 +
 +
<div class="exempel">
 +
'''Exempel 16'''
 +
 +
 +
<ol type="a">
 +
<li> Lös ekvationen <math>\ z^2-2z+10=0\,</math>.
 +
 +
 +
Formeln för lösningar till en andragradsekvation (se exempel 3) ger att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}</math>}}
 +
</li>
 +
 +
<li> Lös ekvationen <math>\ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.}</math>
 +
 +
 +
Även här ger ''pq''-formeln lösningarna direkt
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
</li>
 +
 +
<li> Lös ekvationen <math>\ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.}</math>
 +
 +
 +
Division av båda led med <math>i</math> ger att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
 +
Applicerar vi sedan ''pq''-formeln så fås att
 +
 +
{{Fristående formel||<math>\begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align*}</math>}}
 +
 +
där vi använt det framräknade värdet på <math>\ \sqrt{-3-4i}\ </math> från exempel 15. Lösningarna är alltså
 +
 +
{{Fristående formel||<math>z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}</math>}}
 +
</li>
 +
</ol>
 +
 +
</div>

Nuvarande version

       Teori          Övningar      

Innehåll:

  • De Moivres formel
  • Binomiska ekvationer
  • Exponentialform
  • Eulers formel
  • Kvadratkomplettering
  • Andragradsekvationer

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Beräkna potenser av komplexa tal med de Moivres formel.
  • Beräkna rötter av vissa komplexa tal genom omskrivning till polär form.
  • Lösa binomiska ekvationer.
  • Kvadratkomplettera komplexa andragradsuttryck.
  • Lösa komplexa andragradsekvationer.

De Moivres formel

Räknereglerna \displaystyle \ \arg (zw) = \arg z + \arg w\ och \displaystyle \ |\,zw\,| = |\,z\,|\cdot|\,w\,|\ betyder att

\displaystyle \biggl\{\begin{align*}&\arg (z\cdot z) = \arg z + \arg z \\ &|\,z\cdot z\,| = |\,z\,|\cdot|\,z\,|\end{align*}\qquad\biggl\{\begin{align*}&\arg z^3 = 3 \arg z \cr &|\,z^3\,| = |\,z\,|^3\end{align*}\qquad\text{osv.}

För ett godtyckligt tal \displaystyle z=r\,(\cos \alpha +i\,\sin \alpha) har vi därför följande samband

\displaystyle z^n = \bigl(r\,(\cos \alpha +i\sin \alpha)\bigr)^n = r^n\,(\cos n\alpha +i\,\sin n\alpha)\,\mbox{.}

Om \displaystyle |\,z\,|=1, (dvs. \displaystyle z ligger på enhetscirkeln) gäller speciellt

\displaystyle (\cos \alpha +i\,\sin \alpha)^n = \cos n\alpha +i\,\sin n\alpha\,\mbox{,}

vilket brukar kallas de Moivres formel. Denna relation är mycket användbar när det gäller att härleda trigonometriska identiteter och beräkna rötter och potenser av komplexa tal.


Exempel 1


Om \displaystyle z = \frac{1+i}{\sqrt2}, beräkna \displaystyle z^3 och \displaystyle z^{100}.


Skriver vi \displaystyle z i polär form \displaystyle \ \ z= \frac{1}{\sqrt2} + \frac{i}{\sqrt2} = 1\cdot \Bigl(\cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4}\Bigr)\ \ så ger de Moivres formel oss att

\displaystyle \begin{align*}z^3 &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^3 = \cos\frac{3\pi}{4} + i\,\sin\frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt2} + \frac{1}{\sqrt2}\,i = \frac{-1+i}{\sqrt2}\,\mbox{,}\\[6pt] z^{100} &= \Bigl( \cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)^{100} = \cos\frac{100\pi}{4} + i\,\sin\frac{100\pi}{4}\\[4pt] &= \cos 25\pi + i\,\sin 25\pi = \cos \pi + i\,\sin \pi = -1\,\mbox{.}\end{align*}

Exempel 2


På traditionellt sätt kan man med kvadreringsregeln utveckla

\displaystyle \begin{align*} (\cos v + i\,\sin v)^2 &= \cos^2\!v + i^2 \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\\ &= \cos^2\!v - \sin^2\!v + 2i \sin v \cos v\end{align*}

och med de Moivres formel få att

\displaystyle (\cos v + i \sin v)^2 = \cos 2v + i \sin 2v\,\mbox{.}

Om man identifierar real- respektive imaginärdel i de båda uttrycken får man de kända trigonometriska formlerna

\displaystyle \biggl\{\begin{align*}\cos 2v &= \cos^2\!v - \sin^2\!v\,\mbox{,}\\[2pt] \sin 2v&= 2 \sin v \cos v\,\mbox{.}\end{align*}

Exempel 3


Beräkna \displaystyle \ \ \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}}\,.


Vi skriver talen \displaystyle \sqrt{3}+i, \displaystyle 1+i\sqrt{3} och \displaystyle 1+i i polär form

  • \displaystyle \quad\sqrt{3} + i = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{6} + i\,\sin\frac{\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
  • \displaystyle \quad 1+i\sqrt{3} = 2\Bigl(\cos\frac{\pi}{3} + i\,\sin\frac{\pi}{3}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(},
  • \displaystyle \quad 1+i = \sqrt2\,\Bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\,\sin\frac{\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Då får vi med de Moivres formel att

\displaystyle \frac{(\sqrt3 + i)^{14}}{(1+i\sqrt3\,)^7(1+i)^{10}} = \frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin \frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}{\displaystyle 2^7\Bigl(\cos \frac{7\pi}{3} + i\,\sin\frac{7\pi}{3}\,\Bigr) \cdot (\sqrt{2}\,)^{10}\Bigl(\cos\frac{10\pi}{4} + i\,\sin\frac{10\pi}{4}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}}

och detta uttryck kan förenklas genom att utföra multiplikationen och divisionen i polär form

\displaystyle \begin{align*}\frac{\displaystyle 2^{14}\Bigl(\cos\frac{14\pi}{6} + i\,\sin\frac{14\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} {\displaystyle 2^{12}\Bigl(\cos\frac{29\pi}{6} + i\,\sin\frac{29\pi}{6}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}} &= 2^2 \Bigl(\cos\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{15\pi}{6}\,\Bigr)\,\Bigr)\\[8pt] &= 4\Bigl(\cos \Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr) + i\,\sin\Bigl( -\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\Bigr) = -4i\,\mbox{.}\end{align*}


Binomiska ekvationer

Ett komplext tal \displaystyle z kallas en n:te rot av det komplexa talet \displaystyle w om

\displaystyle z^n= w \mbox{.}

Ovanstående samband kan också ses som en ekvation där \displaystyle z är obekant, och en sådan ekvation kallas en binomisk ekvation. Lösningarna ges av att skriva båda leden i polär form och jämföra belopp och argument.

För ett givet tal \displaystyle w=|\,w\,|\,(\cos \theta + i\,\sin \theta) ansätter man det sökta talet \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\, \sin \alpha) och den binomiska ekvationen blir

\displaystyle r^{\,n}\,(\cos n\alpha + i \sin n\alpha) =|w|\,(\cos \theta + i \sin \theta)\,\mbox{,}

där de Moivres formel använts i vänsterledet. För belopp och argument måste nu gälla

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^{\,n} &= |w|\,\mbox{,}\\ n\alpha &= \theta + k\cdot 2\pi\,\mbox{.}\end{align*}

Observera att vi lägger till multipler av \displaystyle 2\pi för att få med alla värden på argumentet som anger samma riktning som \displaystyle \theta. Man får då att

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &={\textstyle\sqrt[\scriptstyle n]{|w|}},\\ \alpha &= (\theta + 2k\pi)/n\,, \quad k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\end{align*}

Detta ger ett värde på \displaystyle r, men oändligt många värden på \displaystyle \alpha. Trots detta blir det inte oändligt många lösningar. Från \displaystyle k = 0 till \displaystyle k = n - 1 får man olika argument för \displaystyle z och därmed olika lägen för \displaystyle z i det komplexa talplanet. För övriga värden på \displaystyle k kommer man pga. periodiciteten hos sinus och cosinus tillbaka till dessa lägen och får alltså inga nya lösningar. Detta resonemang visar att ekvationen \displaystyle z^n=w har exakt \displaystyle n rötter.

Anm. Observera att rötternas olika argument ligger \displaystyle 2\pi/n ifrån varandra, vilket gör att rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radien \displaystyle \sqrt[\scriptstyle n]{|w|} och bildar hörn i en regelbunden n-hörning.


Exempel 4


Lös den binomiska ekvationen \displaystyle \ z^4= 16\,i\,.


Skriv \displaystyle z och \displaystyle 16\,i i polär form

  • \displaystyle \quad z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)\,,
  • \displaystyle \quad 16\,i= 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\vphantom{\biggl(}.

Då ger ekvationen \displaystyle \ z^4=16\,i\ att

\displaystyle r^4\,(\cos 4\alpha + i\,\sin 4\alpha) = 16\Bigl(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr)\,\mbox{.}

När vi identifierar belopp och argument i båda led fås att

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^4 &= 16,\\ 4\alpha &= \pi/2 + k\cdot 2\pi,\end{align*}\qquad\text{dvs.}\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= \sqrt[\scriptstyle 4]{16}= 2, \\ \alpha &= \pi/8 + k\pi/2\,,\quad k=0,1,2,3.\end{align*}

Lösningarna till ekvationen är alltså

\displaystyle \left\{\begin{align*}\displaystyle z_1&= 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{8} + i\,\sin\frac{\pi}{8}\,\Bigr),\\[4pt]

\displaystyle z_2 &= 2\Bigl(\cos\frac{5\pi}{8} + i\,\sin\frac{5\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_3 &= 2\Bigl(\cos\frac{9\pi}{8} + i\,\sin\frac{9\pi}{8}\,\Bigr),\vphantom{\biggl(}\\[4pt] \displaystyle z_4 &= 2\Bigl(\cos\frac{13\pi}{8} + i\,\sin\frac{13\pi}{8}\,\Bigr).\end{align*}\right.

[Image]


Exponentialform av komplexa tal

Om vi behandlar \displaystyle i likvärdigt med ett reellt tal och betraktar ett komplext tal \displaystyle z som en funktion av \displaystyle \alpha (och \displaystyle r är en konstant),

\displaystyle f(\alpha) = r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha)

så får vi efter derivering

\displaystyle \begin{align*} f^{\,\prime}(\alpha) &= -r\sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = r\,i^2 \sin \alpha + r\,i\,\cos \alpha = i\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i\,f(\alpha)\\ f^{\,\prime\prime} (\alpha) &= - r\,\cos \alpha - r\,i\,\sin \alpha = i^2\,r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = i^2\, f(\alpha)\cr &\text{osv.}\end{align*}

Den enda reella funktion med dessa egenskaper är \displaystyle f(x)= e^{\,kx}, vilket motiverar definitionen

\displaystyle e^{\,i\alpha} = \cos \alpha + i\,\sin \alpha\,\mbox{.}

Denna definition visar sig vara en helt naturlig generalisering av exponentialfunktionen för reella tal. Om man sätter \displaystyle z=a+ib så får man

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+ib} = e^{\,a} \cdot e^{\,ib} = e^{\,a}(\cos b + i\,\sin b)\,\mbox{.}

Definitionen av \displaystyle e^{\,z} kan uppfattas som ett bekvämt skrivsätt för den polära formen av ett komplext tal, eftersom \displaystyle z=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{\,i\alpha}\,.


Exempel 5


För ett reellt tal \displaystyle z överensstämmer definitionen med den reella exponentialfunktionen, eftersom \displaystyle z=a+0\cdot i ger att

\displaystyle e^{\,z} = e^{\,a+0\cdot i} = e^a (\cos 0 + i \sin 0) = e^a \cdot 1 = e^a\,\mbox{.}

Exempel 6


Ytterligare en indikation på det naturliga i ovanstående definition ges av sambandet

\displaystyle \bigl(e^{\,i\alpha}\bigr)^n = (\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n \alpha = e^{\,in\alpha}\,\mbox{,}

vilket visar att de Moivres formel egentligen är identisk med en redan känd potenslag,

\displaystyle \left(a^x\right)^y = a^{x\,y}\,\mbox{.}

Exempel 7


Ur definitionen ovan kan man erhålla sambandet

\displaystyle e^{\pi\,i} = \cos \pi + i \sin \pi = -1

vilket knyter samman de tal som brukar räknas som de mest grundläggande inom matematiken: \displaystyle e, \displaystyle \pi, \displaystyle i och 1. Detta samband betraktas av många som det vackraste inom matematiken och upptäcktes av Euler i början av 1700-talet.

Exempel 8


Lös ekvationen \displaystyle \ (z+i)^3 = -8i.


Sätt \displaystyle w = z + i. Vi får då den binomiska ekvationen \displaystyle \ w^3=-8i\,. Till att börja med skriver vi om \displaystyle w och \displaystyle -8i i polär form

  • \displaystyle \quad w=r\,(\cos \alpha + i\,\sin \alpha) = r\,e^{i\alpha}\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad -8i = 8\Bigl(\cos \frac{3\pi}{2} + i\,\sin\frac{3\pi}{2}\,\Bigr) = 8\,e^{3\pi i/2}\vphantom{\biggl(}\,\mbox{.}

Ekvationen blir i polär form \displaystyle \ r^3e^{3\alpha i}=8\,e^{3\pi i/2}\ och identifierar vi belopp och argument i båda led har vi att

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r^3 &= 8\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 3\pi/2+2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r&=\sqrt[\scriptstyle 3]{8}\,\mbox{,}\\ \alpha&= \pi/2+2k\pi/3\,,\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Rötterna till ekvationen blir därmed

  • \displaystyle \quad w_1 = 2\,e^{\pi i/2} = 2\Bigl(\cos \frac{\pi}{2} + i\,\sin\frac{\pi}{2}\,\Bigr) = 2i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}
  • \displaystyle \quad w_2 = 2\,e^{7\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{6} + i\,\sin\frac{7\pi}{6}\,\Bigr) = -\sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\Biggl(}
  • \displaystyle \quad w_3 = 2\,e^{11\pi i/6} = 2\Bigl(\cos\frac{11\pi}{6} + i\,\sin\frac{11\pi}{6}\,\Bigr) = \sqrt{3}-i\,\mbox{,}\quad\vphantom{\biggl(}

dvs. \displaystyle z_1 = 2i-i=i, \displaystyle z_2 = - \sqrt{3}-2i och \displaystyle z_3 = \sqrt{3}-2i.

Exempel 9


Lös ekvationen \displaystyle \ z^2 = \overline{z}\,.


Om \displaystyle z=a+ib har \displaystyle |\,z\,|=r och \displaystyle \arg z = \alpha så gäller att \displaystyle \overline{z}= a-ib har \displaystyle |\,\overline{z}\,|=r och \displaystyle \arg \overline{z} = - \alpha. Därför gäller att \displaystyle z=r\,e^{i\alpha} och \displaystyle \overline{z} = r\,e^{-i\alpha}. Ekvationen kan därmed skrivas

\displaystyle (r\,e^{i\alpha})^2 = r\,e^{-i\alpha}\qquad\text{eller}\qquad r^2 e^{2i\alpha}= r\,e^{-i\alpha}\,\mbox{,}

vilket direkt ger att \displaystyle r=0 är en lösning, dvs. \displaystyle z=0. Om vi antar att \displaystyle r\not=0 så kan ekvationen skrivas \displaystyle \ r\,e^{3i\alpha} = 1\,, som ger efter identifikation av belopp och argument

\displaystyle \biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ 3\alpha &= 0 + 2k\pi\,\mbox{,}\end{align*}\qquad\Leftrightarrow\qquad\biggl\{\begin{align*} r &= 1\,\mbox{,}\\ \alpha &= 2k\pi/3\,\mbox{,}\quad k=0,1,2\,\mbox{.}\end{align*}

Lösningarna är

  • \displaystyle \quad z_1 = e^0 = 1\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad z_2 = e^{2\pi i/ 3} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\,\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}
  • \displaystyle \quad z_3 = e^{4\pi i/ 3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\,\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2}\,i\,\mbox{,}
  • \displaystyle \quad z_4 = 0\,\mbox{.}


Kvadratkomplettering

Kvadreringsreglerna,

\displaystyle \left\{\begin{align*} (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a-b)^2 &= a^2-2ab+b^2\end{align*}\right.

som vanligtvis används för att utveckla parentesuttryck kan även användas baklänges för att erhålla jämna kvadratuttryck. Exempelvis är

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= (x+2)^2\,\mbox{,}\\ x^2-10x+25 &= (x-5)^2\,\mbox{.}\end{align*}

Detta kan utnyttjas vid lösning av andragradsekvationer, t.ex.

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x+4 &= 9\,\mbox{,}\\ (x+2)^2 &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Rotutdragning ger sedan att \displaystyle x+2=\pm\sqrt{9} och därmed att \displaystyle x=-2\pm 3, dvs. \displaystyle x=1 eller \displaystyle x=-5.


Ibland måste man lägga till eller dra ifrån lämpligt tal för att erhålla ett jämnt kvadratuttryck. Ovanstående ekvation kunde exempelvis lika gärna varit skriven

\displaystyle x^2+4x-5=0\,\mbox{.}

Genom att addera 9 till båda led får vi det önskade uttrycket i vänster led:

\displaystyle \begin{align*} x^2+4x-5+9 &= 0+9\,\mbox{,}\\ x^2+4x+4\phantom{{}+9} &= 9\,\mbox{.}\end{align*}

Metoden kallas kvadratkomplettering.


Exempel 10


  1. Lös ekvationen \displaystyle \ x^2-6x+7=2\,. Koefficienten framför \displaystyle x är \displaystyle -6 och det visar att vi måste ha talet \displaystyle (-3)^2=9 som konstantterm i vänstra ledet för att få ett jämnt kvadratuttryck. Genom att lägga till \displaystyle 2 på båda sidor åstadkommer vi detta:
    \displaystyle \begin{align*} x^2-6x+7+2 &= 2+2\,\mbox{,}\\ x^2-6x+9\phantom{{}+2} &= 4\,\mbox{,}\\ \rlap{(x-3)^2}\phantom{x^2-6x+7+2}{} &= 4\,\mbox{.}\end{align*}

    Rotutdragning ger sedan att \displaystyle x-3=\pm 2, vilket betyder att \displaystyle x=1 och \displaystyle x=5.

  2. Lös ekvationen \displaystyle \ z^2+21=4-8z\,. Ekvationen kan skrivas \displaystyle z^2+8z+17=0. Genom att dra ifrån 1 på båda sidor får vi en jämn kvadrat i vänster led:
    \displaystyle \begin{align*} z^2+8z+17-1 &= 0-1\,\mbox{,}\\ z^2+8z+16\phantom{{}-1} &= -1\,\mbox{,}\\ \rlap{(z+4)^2}\phantom{z^2+8z+17-1}{} &= -1\,\mbox{,}\end{align*}

    och därför är \displaystyle z+4=\pm\sqrt{-1}. Med andra ord är lösningarna \displaystyle z=-4-i och \displaystyle z=-4+i.

Generellt kan man säga att kvadratkomplettering går ut på att skaffa sig "kvadraten på halva koefficienten för x" som konstantterm i andragradsuttrycket. Denna term kan man alltid lägga till i båda led utan att bry sig om vad som fattas. Om koefficienterna i uttrycket är komplexa så kan man gå till väga på samma sätt.


Exempel 11


Lös ekvationen \displaystyle \ x^2-\frac{8}{3}x+1=2\,.


Halva koefficienten för \displaystyle x är \displaystyle -\tfrac{4}{3}. Vi lägger alltså till \displaystyle \bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{9} i båda led

\displaystyle \begin{align*} x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1 &= 2+\tfrac{16}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}}{}+1 &= \tfrac{34}{9}\,\mbox{,}\\ \rlap{\bigl(x-\tfrac{4}{3}\bigr)^2}\phantom{x^2-\tfrac{8}{3}x+\tfrac{16}{9}+1} &= \tfrac{25}{9}\,\mbox{.}\end{align*}

Nu är det enkelt att få fram att \displaystyle x-\tfrac{4}{3}=\pm\tfrac{5}{3} och därmed att \displaystyle x=\tfrac{4}{3}\pm\tfrac{5}{3}, dvs. \displaystyle x=-\tfrac{1}{3} och \displaystyle x=3.

Exempel 12


Lös ekvationen \displaystyle \ x^2+px+q=0\,.


Kvadratkomplettering ger

\displaystyle \begin{align*} x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2\,\mbox{,}\\ \rlap{\Bigl(x+\frac{p}{2}\Bigr)^2}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q\,\mbox{,}\\ \rlap{x+\frac{p}{2}}\phantom{x^2+px+\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2+q}{} &= \pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\ \mbox{.}\end{align*}

Detta ger den vanliga formeln, pq-formeln, för lösningar till andragradsekvationer

\displaystyle x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2-q}\,\mbox{.}

Exempel 13


Lös ekvationen \displaystyle \ z^2-(12+4i)z-4+24i=0\,.


Halva koefficienten för \displaystyle z är \displaystyle -(6+2i) så vi adderar kvadraten på detta uttryck till båda led

\displaystyle z^2-(12+4i)z+(-(6+2i))^2-4+24i=(-(6+2i))^2\,\mbox{.}

Räknar vi ut kvadraten \displaystyle \ (-(6+2i))^2=36+24i+4i^2=32+24i\ i högerledet och kvadratkompletterar vänsterledet fås

\displaystyle \begin{align*} (z-(6+2i))^2-4+24i &= 32+24i\,\mbox{,}\\ \rlap{(z-(6+2i))^2}\phantom{(z-(6+2i))^2-4+24i}{} &= 36\,\mbox{.}\end{align*}

Efter en rotutdragning har vi att \displaystyle \ z-(6+2i)=\pm 6\ och därmed är lösningarna \displaystyle z=12+2i och \displaystyle z=2i.

Om man vill åstadkomma en jämn kvadrat i ett fristående uttryck så kan man också göra på samma sätt. För att inte ändra uttryckets värde lägger man då till och drar ifrån den saknade konstanttermen, exempelvis

\displaystyle \begin{align*} x^2+10x+3 &= x^2+10x+25+3-25\\ &= (x+5)^2-22\,\mbox{.}\end{align*}


Exempel 14


Kvadratkomplettera uttrycket \displaystyle \ z^2+(2-4i)z+1-3i\,.


Lägg till och dra ifrån termen \displaystyle \bigl(\frac{1}{2}(2-4i)\bigr)^2=(1-2i)^2=-3-4i\,,

\displaystyle \begin{align*} z^2+(2-4i)z+1-3i &= z^2+(2-4i)z+(1-2i)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(1-2i)^2+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2-(-3-4i)+1-3i\\ &= \bigl(z+(1-2i)\bigr)^2+4+i\,\mbox{.}\end{align*}


Lösning med formel

Att lösa andragradsekvationer är ibland enklast med hjälp av den vanliga formeln för andragradsekvationer. Ibland kan man dock råka ut för uttryck av typen \displaystyle \sqrt{a+ib}. Man kan då ansätta

\displaystyle z=x+iy=\sqrt{a+ib}\,\mbox{.}

Genom att kvadrera båda led får vi att

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= a+ib\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xy\,i &= a+ib\,\mbox{.}\end{align*}

Identifikation av real- och imaginärdel ger nu att

\displaystyle \left\{\begin{align*} &x^2 - y^2 = a\,\mbox{,}\\ &2xy=b\,\mbox{.}\end{align*}\right.

Detta ekvationssystem kan lösas med substitution, t.ex. \displaystyle y= b/(2x) som kan sättas in i den första ekvationen.


Exempel 15


Beräkna \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\,.


Sätt \displaystyle \ x+iy=\sqrt{-3-4i}\ där \displaystyle x och \displaystyle y är reella tal. Kvadrering av båda led ger

\displaystyle \begin{align*} (x+iy)^2 &= -3-4i\,\mbox{,}\\ x^2 - y^2 + 2xyi &= -3-4i\,\mbox{,}\end{align*}

vilket leder till ekvationssystemet

\displaystyle \Bigl\{\begin{align*} x^2 - y^2 &= -3\,\mbox{,}\\ 2xy&= -4\,\mbox{.}\end{align*}

Ur den andra ekvationen kan vi lösa ut \displaystyle \ y=-4/(2x) = -2/x\ och sätts detta in i den första ekvationen fås att

\displaystyle x^2-\frac{4}{x^2} = -3 \quad \Leftrightarrow \quad x^4 +3x^2 - 4=0\,\mbox{.}

Denna ekvation är en andragradsekvation i \displaystyle x^2 vilket man ser lättare genom att sätta \displaystyle t=x^2,

\displaystyle t^2 +3t -4=0\,\mbox{.}

Lösningarna är \displaystyle t = 1 och \displaystyle t = -4. Den sista lösningen måste förkastas, eftersom \displaystyle x och \displaystyle y är reella tal och då kan inte \displaystyle x^2=-4. Vi får att \displaystyle x=\pm\sqrt{1}, vilket ger oss två möjligheter

  • \displaystyle \ x=-1\ som ger att \displaystyle \ y=-2/(-1)=2\,,
  • \displaystyle \ x=1\ som ger att \displaystyle \ y=-2/1=-2\,.

Vi har alltså kommit fram till att

\displaystyle \sqrt{-3-4i} = \biggl\{\begin{align*} &\phantom{-}1-2i\,\mbox{,}\\ &-1+2i\,\mbox{.}\end{align*}

Exempel 16


  1. Lös ekvationen \displaystyle \ z^2-2z+10=0\,. Formeln för lösningar till en andragradsekvation (se exempel 3) ger att
    \displaystyle z= 1\pm \sqrt{1-10} = 1\pm \sqrt{-9}= 1\pm 3i\,\mbox{.}
  2. Lös ekvationen \displaystyle \ z^2 + (4-2i)z -4i=0\,\mbox{.} Även här ger pq-formeln lösningarna direkt
    \displaystyle \begin{align*} z &= -2+i\pm\sqrt{\smash{(-2+i)^2+4i}\vphantom{i^2}} = -2+i\pm\sqrt{4-4i+i^{\,2}+4i}\\ &=-2+i\pm\sqrt{3} = -2\pm\sqrt{3}+i\,\mbox{.}\end{align*}
  3. Lös ekvationen \displaystyle \ iz^2+(2+6i)z+2+11i=0\,\mbox{.} Division av båda led med \displaystyle i ger att
    \displaystyle \begin{align*} z^2 + \frac{2+6i}{i}z +\frac{2+11i}{i} &= 0\,\mbox{,}\\ z^2+ (6-2i)z + 11-2i &= 0\,\mbox{.}\end{align*}

    Applicerar vi sedan pq-formeln så fås att

    \displaystyle \begin{align*} z &= -3+i \pm \sqrt{\smash{(-3+i)^2 -(11-2i)}\vphantom{i^2}}\\ &= -3+i \pm \sqrt{-3-4i}\\ &= -3+i\pm(1-2i)\end{align*}

    där vi använt det framräknade värdet på \displaystyle \ \sqrt{-3-4i}\ från exempel 15. Lösningarna är alltså

    \displaystyle z=\biggl\{\begin{align*} &-2-i\,\mbox{,}\\ &-4+3i\,\mbox{.}\end{align*}
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte2/index.php/3.3_Potenser_och_r%C3%B6tter