Förberedande kurs i matematik 2

Funktionen du vill använda är begränsad till användare i grupperna Administratörer, approved.

Du kan se och kopiera sidans wikikod:

__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp; {{Mall:Vald flik|[[2.1 Inledning till integraler|Teori]]}} {{Mall:Ej vald flik|[[2.1 Övningar|Övningar]]}} | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp; |} {{Info| '''Innehåll:''' * Integralens definition (översiktligt). * Integralkalkylens huvudsats. * Primitiv funktion till <math>x^\alpha</math>, <math>1/x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math> och <math>\sin x</math>. * Primitiv funktion till summa och differens. }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: * Tolka integraler som areor, dvs. "area ovanför <math>x</math>-axeln" minus "area under <math>x</math>-axeln". * Förstå andra tolkningar av integralen, t.&nbsp;ex. massa/densitet, fart/sträcka, ström/laddning, etc. * Kunna bestämma primitiv funktion till <math>x^\alpha</math>, <math>1/x</math>, <math>e^{kx}</math>, <math>\cos kx</math>, <math>\sin kx</math> och summa/differens av sådana termer. * Kunna räkna ut area under en funktionskurva. * Kunna räkna ut area mellan två funktionskurvor. * Veta att alla funktioner inte har primitiv funktion som kan skrivas som ett analytiskt slutet uttryck, t.ex. <math>e^{x^2} </math>, <math>(\sin x)/x</math>, <math>\sin \sin x</math>, etc. }} == Area under en funktionskurva == Vi har tidigare sett att lutningen på en funktionskurva är intressant. Den ger oss information om hur funktionen ändras och har stor betydelse i många tillämpningar. På ett liknande sätt är den area som bildas mellan en funktionskurva och ''x''-axeln betydelsefull. Den är naturligtvis beroende av funktionskurvans utseende och därmed intimt besläktad med funktionen i fråga. Det är lätt att inse att denna area har en praktisk betydelse i många olika sammanhang. Om ett föremål rör sig så kan vi beskriva dess hastighet ''v'' efter tiden ''t'' i ett ''v-t''-diagram. Vi ser här tre olika fiktiva exempel: {| width="100%" align="center" | width="2.5%" | | width="30%" |{{:2.1 - Figur - v-t-diagram med konstant fart 5}} | width="2.5%" | | width="30%" |{{:2.1 - Figur - v-t-diagram med konstant fart 4 och 6}} | width="2.5%" | | width="30%" |{{:2.1 - Figur - v-t-diagram med fart v(t) = t}} | width="2.5%" | |- || | valign="top" |<small>Föremålet rör sig med den konstanta farten 5.</small> || | valign="top" |<small>Föremålet rör sig med den konstanta farten 4 för att vid en stöt när ''t''&nbsp;=&nbsp;3 plötsligt öka farten till 6.</small> || | valign="top" |<small>Föremålet glider ner för ett sluttande plan och har en linjärt ökande fart.</small> || |} Den tillryggalagda sträckan är i respektive fall {{Fristående formel||<math>s(6) = 5\cdot 6 = 30\,\mbox{m},\quad s(6) = 4\cdot 3 + 6\cdot 3 = 30\,\mbox{m},\quad s(6) = \frac{6\cdot 6}{2} = 18\,\mbox{m}\,\mbox{.}</math>}} I samtliga fall ser man att föremålets tillryggalagda sträcka motsvaras av arean under funktionskurvan. Fler exempel på vad arean under en funktionskurva kan symbolisera följer nedan. <div class="exempel"> '''Exempel 1''' {| width="100%" align="center" | width="2.5%" | | width="30%" |{{:2.1 - Figur - Effekt-tid-diagram}} | width="2.5%" | | width="30%" |{{:2.1 - Figur - Kraft-sträcka-diagram}} | width="2.5%" | | width="30%" |{{:2.1 - Figur - Ström-tid-diagram}} | width="2.5%" | |- || | valign="top" |<small>En solcell som bestrålas av ljus med en viss effekt ''p'' kommer ha mottagit en energi som är proportionell mot arean under grafen ovan.</small> || | valign="top" |<small>Kraften ''F'' som verkar i ett föremåls rörelseriktning utför ett arbete som är proportionell mot arean under grafen ovan.</small> || | valign="top" |<small>En kondensator som laddas upp med en ström ''i'' kommer ha en laddning som är proportionell mot arean under grafen ovan.</small> || |} </div> == Integralbeteckningen == För att beskriva arean under en funktionskurva i symbolform inför man ''integraltecknet'' <math>\,\smallint\,</math> och gör följande definition: <div class="tips"> Med integralen av den positiva funktionen <math>f(x)</math> från <math>a</math> till <math>b</math> menas arean mellan kurvan <math>y=f(x)</math> och ''x''-axeln från <math>x=a</math> till <math>x=b</math> , vilket med symboler skrivs {{Fristående formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}} Talen <math>a</math> och <math>b</math> kallas undre respektive övre integrationsgräns, <math>f(x)</math> kallas integrand och <math>x</math> integrationsvariabel. </div> <div class="exempel"> '''Exempel 2''' {| width="100%" | width="95%" |Arean under kurvan <math>y=f(x)</math> från <math>x=a</math> till <math>x=c</math> är lika med arean från <math>x=a</math> till <math>x=b</math> plus arean från <math>x=b</math> till <math>x=c</math>. Detta betyder att {{Fristående formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x)\, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math>}} | width="5%" | ||{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = f(x) från a till b och c}} |} </div> <div class="exempel"> '''Exempel 3''' {| width="100%" | width="95%" | För ett föremål, vars hastighet förändras enligt funktionen <math>v(t)</math> kan den tillryggalagda sträckan efter 10&nbsp;s beskrivas med integralen {{Fristående formel||<math>s(10) = \int_{0}^{10} v(t)\, dt\,\mbox{.}</math>}} ''Anm.'' Vi antar att hastigheten och sträckan mäts med samma längdenhet. | width="5%" | ||{{:2.1 - Figur - Area s(10) i ett v-t-diagram}} |} </div> <div class="exempel"> '''Exempel 4''' Vatten rinner in i en tank med en hastighet som är <math>f(t)</math>&nbsp;liter/s efter <math>t</math> sekunder. Integralen {{Fristående formel||<math>\int_{9}^{10} f(t)\, dt</math>}} anger då hur många liter som rinner in i tanken under den tionde sekunden. </div> <div class="exempel"> '''Exempel 5''' Beräkna integralerna {| width="100%" | width="95%" | <ol type="a"> <li> <math>\int_{0}^{4} 3 \, dx</math><br> <br> Integralen kan tolkas som arean under kurvan (linjen) <math>y=3</math> från <math>x = 0</math> till <math>x = 4</math>, dvs. en rektangel med basen 4 och höjden 3, <br> <center><math>\int_{0}^{4} 3 \, dx = 4 \cdot 3 = 12\,\mbox{.}</math></center></li> </ol> | width="5%" | ||{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = 3 från x = 0 till x = 4}} |} {| width="100%" | width="95%" | <ol type="a" start=2> <li><math>\int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx</math> <br><br> Integralen kan tolkas som arean under linjen <math>y=x/2-1</math> från <math>x = 2</math> till <math>x = 5</math>, dvs. en triangel med basen 3 och höjden 1,5 <br> <center><math>\int_{2}^{5} \Bigl(\frac{x}{2} -1 \Bigr) \, dx = \frac{3 \cdot 1{,}5}{2} = 2{,}25\,\mbox{.}</math></center></li> </ol> | width="5%" | ||{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = x/2 - 1 från x = 2 till x = 5}} |} {| width="100%" | width="95%" | <ol type="a" start=3> <li><math>\int_{0}^{a} kx \, dx\,\mbox{}\quad</math> där <math>k>0\,</math>.<br><br> Integralen kan tolkas som arean under linjen <math>y=kx</math> från <math>x = 0</math> till <math>x = a</math>, dvs. en triangel med basen <math>a</math> och höjden <math>ka</math><br> <center><math>\int_{0}^{\,a} kx\,dx = \frac{a \cdot ka}{2} = \frac{ka^2}{2}\,\mbox{.}</math></center></li> </ol> | width="5%" | ||{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = kx från x = 0 till x = a}} |} </div> == Primitiv funktion == Funktionen <math>F</math> är en ''primitiv'' funktion till <math>f</math> om <math>F'(x) = f(x)</math> i något intervall. Om <math>F(x)</math> är en primitiv funktion till <math>f(x)</math> så är det klart att även <math>F(x) + C</math> är det, för varje konstant <math>C</math>. Dessutom kan man visa att <math>F(x) + C</math> beskriver samtliga primitiva funktioner till <math>f(x)</math>. <div class="exempel"> '''Exempel 6''' <ol type="a"> <li><math>F(x) = x^3 + \cos x - 5</math> är en primitiv funktion till <math>f(x) = 3x^2 - \sin x</math>, eftersom {{Fristående formel||<math>F'(x) = D\,(x^3+\cos x-5) = 3x^2-\sin x-0 = f(x)\,\mbox{.}</math>}}</li> <li><math>G(t) = e^{3t + 1} + \ln t</math> är en primitiv funktion till <math>g(t)= 3 e^{3t + 1} + 1/t</math>, eftersom {{Fristående formel||<math>G'(t) = D\,\bigl(e^{3t+1}+\ln t\bigr) = e^{3t+1}\cdot 3+\frac{1}{t} = g(t)\,\mbox{.}</math>}}</li> <li><math>F(x) = \frac{1}{4}x^4 - x + C\,</math>, där <math>C</math> är en godtycklig konstant, beskriver samtliga primitiva funktioner till <math>f(x) = x^3 - 1</math>.</li> </ol> </div> == Samband mellan integral och primitiv funktion == Vi har tidigare konstaterat att arean under en funktionskurva, dvs. integralen av en funktion, är beroende av funktionskurvans utseende. Det visar sig att detta beroende utnyttjar den primitiva funktionen, vilket också ger oss möjligheten att beräkna en sådan area exakt. Antag att <math>f</math> är en kontinuerlig funktion på ett intervall (= funktionskurvan har inga avbrott i intervallet). Värdet av integralen <math>\ \int_{a}^{b} f(x) \, dx\ </math> är då beroende av integrationsgränserna <math>a</math> och <math>b</math>, men om man låter <math>a</math> vara ett fixt värde och sätter <math>x</math> som övre gräns blir integralens värde beroende enbart av den övre integrationsgränsen. För att tydliggöra detta använder vi här i stället <math>t</math> som integrationsvariabel: <center>{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = f(x) från t = a till t = x}}</center> {{Fristående formel||<math>A(x) = \int_{a}^{\,x} f(t) \, dt\,\mbox{.}</math>}} Vi ska nu visa att <math>A</math> i själva verket är en primitiv funktion till <math>f</math>. <center>{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = f(x) från t = a till t = x + h}}</center> Den totala arean under kurvan från <math>t=a</math> till <math>t=x+h</math> kan skrivas som <math>A(x+h)</math> och är approximativt lika med arean fram till <math>t=x</math> plus area av en stapel från <math>t=x</math> till <math>t=x+h</math>, dvs. {{Fristående formel||<math>A(x+h)\approx A(x)+h\cdot f(c)</math>}} där <math>c</math> är ett tal mellan <math>x</math> och <math>x+h</math>. Detta uttryck kan vi skriva om som {{Fristående formel||<math>\frac{A(x+h)-A(x)}{h} = f(c)\,\mbox{.}</math>}} Om vi låter <math>h \rightarrow 0</math> så går vänstra ledet mot <math>A'(x)</math> och det högra ledet mot <math>f(x)</math> , dvs. {{Fristående formel||<math>A'(x) = f(x)\,\mbox{.}</math>}} Funktionen <math>A(x)</math> är alltså en primitiv funktion till <math>f(x)</math>. == Beräkning av integraler == För att kunna använda primitiva funktioner vid beräkning av en bestämd integral, noterar vi först att om <math>F</math> är en primitiv funktion till <math>f</math> så är {{Fristående formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) + C</math>}} där konstanten <math>C</math> måste väljas så att högerledet blir noll när <math>b=a</math>, dvs. {{Fristående formel||<math>\int_{a}^{\,a} f(t) \, dt = F(a) + C = 0</math>}} vilket ger att <math>C=-F(a)</math>. Om vi sammanfattar har vi alltså att {{Fristående formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(t) \, dt = F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}} Vi kan naturligtvis här lika gärna välja <math>x</math> som integrationsvariabel och skriva {{Fristående formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}} Vid beräkning av integraler utför man detta i två steg. Först bestämmer man en primitiv funktion och sedan sätter man in integrationsgränserna. Man skriver vanligtvis {{Fristående formel||<math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx = \Bigl[\,F(x)\,\Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\,\mbox{.}</math>}} <div class="exempel"> '''Exempel 7''' Arean som begränsas av kurvan <math>y=2x - x^2</math> och ''x''-axeln kan beräknas med hjälp av integralen {| width="100%" | width="95%" | {{Fristående formel||<math>\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx\,\mbox{.}</math>}} Eftersom <math>x^2-x^3/3</math> är en primitiv funktion till integranden är integralens värde {{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int_{0}^{2} (2x-x^2) \, dx &= \Bigl[\,x^2 - {\textstyle\frac{1}{3}}x^3\, \Bigr]_{0}^{2}\\[4pt] &= \bigl( 2^2 - \tfrac{1}{3}2^3\bigr) - \bigl(0^2-\tfrac{1}{3}0^3\bigr)\\[4pt] &= 4 - \tfrac{8}{3} = \tfrac{4}{3}\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Arean är <math>\frac{4}{3}</math>&nbsp;a.e. | width="5%" | ||{{:2.1 - Figur - Area under grafen y = 2x - x² från x = 0 till x = 2}} |} ''Anm:'' Integralvärdet har ingen enhet. I praktiska tillämpningar kan dock arean ha en enhet. Om arean i en enhetslös figur efterfrågas skriver man ofta ''a.e. (areaenheter)'' efter siffervärdet. </div> == Baklängesderivering == Att derivera de vanliga funktionstyperna innebär inga oöverstigliga problem; det finns generella metoder för detta. Att utföra den omvända operationen, dvs. hitta en primitiv funktion till en given funktion är dock betydligt svårare och i vissa fall omöjligt! Det finns ingen systematisk metod som fungerar överallt, men genom att utnyttja de vanliga deriveringsreglerna "baklänges" och dessutom lära sig ett antal specialmetoder och knep kan man klara av en stor del av de funktioner som vanligtvis förekommer. Symbolen <math>\,\int f(x) \,dx\ </math> kallas den ''obestämda'' integralen av <math>f(x)</math> och används för att beteckna en godtycklig primitiv funktion till <math>f(x)</math>. De vanliga deriveringsreglerna ger att {{Fristående formel||<math>\begin{align*}\int x^n \, dx &= \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad \text{där }\ n \ne -1\\[6pt] \int x^{-1} \, dx &= \ln |x| + C\\[6pt] \int e^x \, dx &= e^x + C\\[6pt] \int \cos x \, dx &= \sin x + C\\[6pt] \int \sin x \, dx &= -\cos x + C \end{align*}</math>}} <div class="exempel"> '''Exempel 8''' <ol type="a"> <li><math>\int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx = \frac{x^5}{5} - \frac{2x^4}{4} + \frac{4x^2}{2} - 7x + C</math><br/> <math>\phantom{\int (x^4 - 2x^3 + 4x - 7)\,dx}{} = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + 2x^2 - 7x + C</math></li> <li><math>\int \Bigl(\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx = \int \Bigl( 3x^{-2} - \frac{1}{2} x^{-3} \Bigr) dx = \frac{3x^{-1}}{-1} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{-2}}{(-2)} + C</math><br> <math>\phantom{\int \Bigl(\frac{3}{x^2} -\frac{1}{2x^3} \Bigr) dx}{} = - 3x^{-1} + \tfrac{1}{4}x^{-2} + C = -\frac{3}{x} + \frac{1}{4x^2} + C\vphantom{\Biggl(}</math></li> <li><math>\int \frac{2}{3x} \,dx = \int \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \tfrac{2}{3} \ln |x| + C</math></li> <li><math>\int ( e^x - \cos x - \sin x ) \, dx = e^x - \sin x + \cos x +C</math></li> </ol> </div> == Kompensation för ”inre derivata”== Vid derivering av en sammansatt funktion använder man sig av ''kedjeregeln'', som innebär att man '''multiplicerar''' med den ''inre derivatan''. Om den inre funktionen då är linjär så blir den inre derivatan en konstant. Vid integrering av en sådan funktion måste man därför '''dividera''' med den inre derivatan för att kompensera för detta. <div class="exempel"> '''Exempel 9''' <ol type="a"> <li><math>\int e^{3x} \, dx = \frac{e^{3x}}{3} + C</math></li> <li><math>\int \sin 5x \, dx = - \frac{ \cos 5x}{5} + C</math></li> <li><math>\int (2x +1)^4 \, dx = \frac{(2x+1)^5}{5 \cdot 2} + C</math></li> </ol> </div> <div class="exempel"> '''Exempel 10''' <ol type="a"> <li><math>\int \sin kx \, dx = - \frac{\cos kx}{k} + C</math></li> <li><math>\int \cos kx \, dx = \frac{\sin kx }{k} + C</math></li> <li><math>\int e^{kx} \, dx = \displaystyle \frac{e^{kx}}{k} + C</math></li> </ol> </div> Observera att detta sätt att kompensera för den inre derivatan endast fungerar om den inre derivatan är en konstant. == Räkneregler för integraler == Med hjälp av beräkningsformeln för integraler är det lätt att visa följande räkneregler för integraler: # <math>\int_{b}^{\,a} f(x) \, dx = - \int_{a}^{\,b} f(x) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math> # <math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{a}^{\,b} g(x) \, dx = \int_{a}^{\,b} (f(x) + g(x)) \, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math> # <math>\int_{a}^{\,b} k \cdot f(x)\, dx = k \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx\,\mbox{,}\vphantom{\Biggl(}</math> # <math>\int_{a}^{\,b} f(x) \, dx + \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx = \int_{a}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.}</math> Dessutom gäller att area under ''x''-axeln räknas negativt, dvs. om funktionskurvan ligger under ''x''-axeln så blir integralens värde negativt: {| align="center" ||<math>\begin{align*}A_1 &= \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx,\\[6pt] A_2 &= -\int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,\mbox{.} \end{align*}</math> | width="10%" | ||{{:2.1 - Figur - Areor A₁ och A₂ mellan y = f(x) och x-axeln}} |} Den sammanlagda arean blir <math>\ A_1 + A_2 = \int_{a}^{\,b} f(x)\, dx - \int_{b}^{\,c} f(x)\, dx\,</math>. ''Anm.'' Värdet av en '''integral''' kan alltså vara negativt, medan en '''area''' alltid har ett positivt värde. <div class="exempel"> '''Exempel 11''' <ol type="a"> <li><math>\int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1) \, dx + \int_{1}^{2} 2 \, dx =\int_{1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 2x + 1+2) \, dx</math><br> <math>\qquad{}= \Bigl[\,\tfrac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2 + 3x\,\Bigr]_{1}^{2} \vphantom{\Biggr)^2}</math><br> <math>\qquad{}= \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 4-2^3+2^2+3\cdot 2\bigr) - \bigl(\tfrac{1}{4}\cdot 1^4 - 1^3 + 1^2 + 3\cdot 1\bigr)\vphantom{\Biggr)^2}</math><br> <math>\qquad{}=6-3-\tfrac{1}{4} = \tfrac{11}{4}</math><br/> {| | align="center" |{{:2.1 - Figur - Area för y = x³ - 3x² + 2x + 1, y = 2 och y = x³ - 3x² + 2x + 3}} |- ||<small>Den vänstra figuren visar arean under grafen till ''f''(''x'')&nbsp;= ''x''³&nbsp;- 3''x''²&nbsp;+ 2''x''&nbsp;+&nbsp;1 och den mittersta figuren visar arean under grafen till ''g''(''x'')&nbsp;=&nbsp;2. I figuren till höger adderas dessa areor ihop och ger arean under grafen till ''f''(''x'')&nbsp;+&nbsp;''g''(''x'').</small> |} </li> </ol> <ol type="a" start=2> <li><math>\int_{1}^{3} (x^2/2 - 2x) \, dx + \int_{1}^{3} (2x - x^2/2 + 3/2) \, dx = \int_{1}^{3} 3/2 \, dx</math><br/> <math>\qquad{} = \Bigl[\,\tfrac{3}{2}x\,\Bigr]_{1}^{3} = \tfrac{3}{2}\cdot 3 - \tfrac{3}{2}\cdot 1 = 3</math><br/> {| | align="center" |{{:2.1 - Figur - Area för y = x² - 4x, y = 4x - x² + 3 och y = 3}} |- ||<small>Grafen till ''f''(''x'')&nbsp;= ''x''²/2&nbsp;- 2''x'' (figuren till vänster) och grafen till ''g''(''x'')&nbsp;= 2''x''&nbsp;- ''x''²/2&nbsp;+ 3/2 (figuren i mitten) är spegelsymmetriska kring linjen ''y''&nbsp;= 3/4 (streckad linje i figurerna) och det gör att summan ''f''(''x'')&nbsp;+ ''g''(''x'') är konstant lika med&nbsp;3/2. Summan av integralernas värde är därför lika med arean av en rektangel med bas&nbsp;2 och höjd&nbsp;3/2 (figuren till höger).</small> |} </li> </ol> <ol type="a" start=3> <li><math>\int_{1}^{2} \frac{4x^2 - 2}{3x} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{2(2x^2-1)}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \frac{2x^2 - 1}{x} \, dx \vphantom{\Biggl(}</math><br> <math>\qquad{}= \frac{2}{3} \int_{1}^{2} \Bigl(2x - \frac{1}{x}\Bigr) \, dx = \frac{2}{3} \Bigl[\,x^2 - \ln x\,\Bigr]_{1}^{2} \vphantom{\Biggl(}</math><br> <math>\qquad{}= \frac {2}{3}\Bigl((4- \ln 2) - (1 - \ln 1)\Bigr) = \tfrac{2}{3}(3 - \ln 2) = 2 - \tfrac{2}{3}\ln 2 </math></li> </ol> <ol type="a" start=4> <li><math>\int_{-1}^{2} (x^2 - 1) \, dx = \Bigl[\,\frac{x^3}{3} - x\,\Bigl]_{-1}^{2} = \bigl(\tfrac{8}{3} - 2\bigr) - \bigl(\tfrac{-1}{3} + 1 \bigr) = 0</math><br/> {| | align="center" |{{:2.1 - Figur - Area för y = x² - 1}} |- ||<small>Figuren visar grafen till f(x) = x² - 1 och beräkningen ovan visar att den skuggade arean under ''x''-axeln är lika stor som den skuggade arean ovanför ''x''-axeln.</small> |} </li> </ol> </div> == Area mellan kurvor == Om <math>f(x) \ge g(x)</math> i ett intervall <math>a\le x\le b</math> gäller att arean mellan funktionskurvorna ges av {{Fristående formel||<math>\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \int_{a}^{b} g(x) \, dx\,\mbox{,}</math>}} vilket kan förenklas till {{Fristående formel||<math>\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, dx\,\mbox{.}</math>}} <center>{{:2.1 - Figur - Area mellan y = f(x) och y = g(x)}}</center> Observera att det inte spelar någon roll om <math>f(x) < 0</math> eller <math>g(x) < 0</math> så länge som <math>f(x) \ge g(x)</math>. Arean mellan kurvorna är naturligtvis lika stor oavsett om kurvorna ligger över eller under ''x''-axeln, vilket följande figurer illustrerar: <center>{{:2.1 - Figur - Area translaterad i y-led}}</center> {{Fristående formel||<math>\begin{align*} A &= \int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\\[4pt] A &= \int_{a}^{b} \bigl((f(x)-3) - (g(x)-3)\bigr)\,dx = \int_{a}^{b} \bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\\[4pt] A &= \int_{a}^{b} \bigl((f(x)-6) - (g(x)-6)\bigr)\,dx = \int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx\end{align*}</math>}} <div class="exempel"> '''Exempel 12''' {| width="100%" | width="100%" | Beräkna arean av det område som begränsas av kurvorna <math>y=e^x + 1</math> och <math>y=1 - x^2/2</math> samt linjerna <math>x = –1</math> och <math>x = 1</math>. <br> <br> Eftersom <math>e^x + 1 > 1 - x^2/2</math> i hela intervallet blir områdets area {{Fristående formel||<math>\begin{align*} &\int_{-1}^{1} (e^x + 1) \, dx - \int_{-1}^{1} \Bigl( 1- \frac{x^2}{2}\Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \int_{-1}^{1} \Bigl( e^x + \frac{x^2}{2} \Bigr) \, dx \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl[\,e^x + \frac{x^3}{6}\,\Bigr]_{-1}^{1} \vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= \Bigl( e^1 + \frac{1^3}{6} \Bigr) - \Bigl( e^{-1} + \frac{(-1)^3}{6} \Bigr)\vphantom{\Biggl(}\\ &\qquad{}= e - \frac{1}{e} + \frac{1}{3} \ \text{a.e.}\end{align*}</math>}} ||{{:2.1 - Figur - Area mellan y = e^x - 1 och y = 1 - x²/2}} |} </div> <div class="exempel"> '''Exempel 13''' Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna <math>y= x^2</math> och <math>y= \sqrt[\scriptstyle 3]{x}</math>. <br> <br> {| width="100%" | width="100%" | Kurvorna skär varandra i punkter där deras ''y''-värden är lika {{Fristående formel||<math>\begin{align*} &x^2 = x^{1/3} \quad \Leftrightarrow \quad x^6 = x\quad \Leftrightarrow \quad x(x^5 - 1) = 0\\ &\quad \Leftrightarrow \quad x=0 \quad \text{eller}\quad x=1\,\mbox{.}\end{align*}</math>}} Mellan <math>x=0</math> och <math>x=1</math> är <math>\sqrt[\scriptstyle 3]{x}>x^2</math> så områdets area ges av {{Fristående formel||<math>\int_{0}^{1} \bigl( x^{1/3} - x^2 \bigr) \, dx = \Bigl[\,\frac{ x^{4/3}}{4/3} - \frac{x^3}{3}\,\Bigr]_{0}^{1} = \Bigl[\,\frac{3x^{4/3}}{4} - \frac{x^3}{3}\, \Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{3}{4} - \tfrac{1}{3} - 0 = \tfrac{5}{12}\ \text{a.e.}</math>}} ||{{:2.1 - Figur - Area mellan y = ∛x och y = x²}} |} </div> <div class="exempel"> '''Exempel 14''' Beräkna arean av det område som begränsas av kurvan <math>y=\frac{1}{x^2}</math> samt linjerna <math>y=x</math> och <math>y = 2</math>. <br> <br> {| width="100%" | width="100%" | I figuren till höger är kurvan och de två linjerna skisserade och då ser vi att området kan delas upp i två delområden som var och en ligger mellan två funktionskurvor. Den totala arean är därför summan av integralerna {{Fristående formel||<math>A_1 = \int_{a}^{\,b} (2 - \frac{1}{x^2}) \, dx \quad\text{och}\quad A_2 = \int_{b}^{\,c} (2- x) \, dx\,\mbox{.}</math>}} Vi bestämmer först skärningspunkterna <math>x=a</math>, <math>x=b</math> och <math>x=c</math>: ||{{:2.1 - Figur - Area som begränsas av y = 1/x², y = x och y = 2}} |} *Skärningspunkten <math>x=a</math> bestäms av ekvationen {{Fristående formel||<math>\frac{1}{x^2} = 2 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 = \frac{1}{2} \quad \Leftrightarrow \quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\,\mbox{.}</math>}} :(Den negativa roten är dock inte aktuell.) *Skärningspunkt <math>x=b</math> bestäms av ekvationen {{Fristående formel||<math>\frac{1}{x^2} = x \quad \Leftrightarrow \quad x^3 = 1 \quad \Leftrightarrow \quad x=1\,\mbox{.}</math>}} *Skärningspunkt <math>x=c</math> bestäms av ekvationen <math>x = 2</math>. Integralerna blir därför {{Fristående formel||<math>\begin{align*} A_1 &= \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \Bigl(2 - \frac{1}{x^2}\Bigr) \, dx = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} \bigl(2 - x ^{-2}\bigr) \, dx = \Bigl[\,2x-\frac{x^{-1}}{-1}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1}\\[4pt] &= \Bigl[\,2x + \frac{1}{x}\,\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} = (2+ 1) - \Bigl( \frac{2}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\,\Bigr) = 3 - 2\sqrt{2}\,\mbox{,}\\[4pt] A_2 &= \int_{1}^{2} (2 - x) \, dx = \Bigl[\,2x - \frac{x^2}{2}\,\Bigr]_{1}^{2} = (4-2) - \Bigl(2- \frac{1}{2}\Bigr) = \frac{1}{2}\,\mbox{.} \end{align*}</math>}} Den sammanlagda arean blir {{Fristående formel||<math> A_1 + A_2 = 3 - 2\sqrt{2} + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2} - 2\sqrt{2}\ \text{a.e.}</math>}} </div>

• 2.1 - Figur - Area för y = x²/2 - 2x, y = 2x - x²/2 + 3/2 och y = 3/2
• 2.1 - Figur - Area för y = x² - 1
• 2.1 - Figur - Area för y = x³ - 3x² + 2x + 1, y = 2 och y = x³ - 3x² + 2x + 3
• 2.1 - Figur - Area mellan y = e^x - 1 och y = 1 - x²/2
• 2.1 - Figur - Area mellan y = f(x) och y = g(x)
• 2.1 - Figur - Area mellan y = ∛x och y = x²
• 2.1 - Figur - Area s(10) i ett v-t-diagram
• 2.1 - Figur - Area som begränsas av y = 1/x², y = x och y = 2
• 2.1 - Figur - Area translaterad i y-led
• 2.1 - Figur - Area under grafen y = 2x - x² från x = 0 till x = 2
• 2.1 - Figur - Area under grafen y = 3 från x = 0 till x = 4
• 2.1 - Figur - Area under grafen y = f(x) från a till b och c
• 2.1 - Figur - Area under grafen y = f(x) från t = a till t = x
• 2.1 - Figur - Area under grafen y = f(x) från t = a till t = x + h
• 2.1 - Figur - Area under grafen y = kx från x = 0 till x = a
• 2.1 - Figur - Area under grafen y = x/2 - 1 från x = 2 till x = 5
• 2.1 - Figur - Areor A₁ och A₂ mellan y = f(x) och x-axeln
• 2.1 - Figur - Effekt-tid-diagram
• 2.1 - Figur - Kraft-sträcka-diagram
• 2.1 - Figur - Ström-tid-diagram
• 2.1 - Figur - v-t-diagram med fart v(t) = t
• 2.1 - Figur - v-t-diagram med konstant fart 4 och 6
• 2.1 - Figur - v-t-diagram med konstant fart 5
• Mall:Ej vald flik
• Mall:Fristående formel
• Mall:Info
• Mall:Vald flik

Tillbaka till Huvudsida.