Warning: jsMath requires JavaScript to process the mathematics on this page.
If your browser supports JavaScript, be sure it is enabled.
Visa wikitext

Förberedande kurs i matematik 2

för 1.1 Inledning till derivata
Hoppa till: navigering, sök
Funktionen du vill använda är begränsad till användare i grupperna Administratörer, approved.
Du kan se och kopiera sidans wikikod:
__NOTOC__
{{Info|
'''Innehåll:'''

* Derivatans definition (översiktligt).
* Derivatan av <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> och <math>\tan x</math>.
* Derivata av summa och differens.
* Tangent och normal till kurvor.
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
* Förstå derivatan <math>f^{\,\prime}(a)</math> som lutningen av kurvan <math>y&#061;f(x)</math> i punkten <math>x&#061;a</math>.
* Förstå derivatan som den momentana ändringstakten av en storhet (exempelvis fart, prisökning, osv.).
* Veta att det finns funktioner som inte är deriverbara (t.ex. <math>f(x)&#061;\vert x\vert</math> i <math>x&#061;0</math>). 
* Kunna derivera <math>x^\alpha</math>, <math>\ln x</math>, <math>e^x</math>, <math>\cos x</math>, <math>\sin x</math> och <math>\tan x</math> samt summor/differenser av sådana termer.
* Kunna bestämma tangent och normal till <math>y&#061;f(x)</math>.
* Veta att derivatan kan betecknas med <math>f^{\,\prime}(x)</math> och <math>df/dx(x)</math>.
}}

== Inledning ==

När man studerar matematiska funktioner och deras grafer är ett av de viktigaste områdena studiet av en funktions förändring, dvs. om en funktion ökar eller minskar samt i vilken takt detta sker.

Man använder sig här av begreppet förändringsgrad (eller förändringshastighet), vilket är ett mått på hur funktionens värde (<math>y</math>) ändras för varje enhets ökning av variabelvärdet (<math>x</math>). Om man känner till två punkter på en funktions graf kan man få ett mått på funktionens förändringsgrad mellan dessa punkter genom att beräkna ändringskvoten

{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{\text{skillnad i @(i)y@(/i)-led}}{\text{skillnad i @(i)x@(/i)-led}}</math>}}
	 
<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

De linjära funktionerna  <math>f(x)=x</math> respektive <math>g(x)=-2x</math> förändras på samma sätt hela tiden. Deras förändringsgrad är <math>1</math> resp. <math>−2</math>, vilket vi känner till som linjernas respektive riktningskoefficient.

<center>
{|
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = x}}
| width="30px" |
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = -2x}}
|-
| align="center" |<small>Grafen till ''f''(''x'') = ''x'' har riktningskoefficient&nbsp;1.</small>
| width="30px" |
| align="center" |<small>Grafen till ''g''(''x'') = - 2''x'' har riktningskoefficient&nbsp;-&nbsp;2.</small>
|}
</center>
    
                  	 
För en linjär funktion gäller alltså att funktionens förändringsgrad är samma som linjens riktningskoefficient.

</div>

Om man har en funktion där funktionsvärdet förändras med tiden är det naturligt att använda begreppet förändringshastighet, eftersom förändringsgraden här anger hur funktionsvärdet ändras per tidsenhet.

Om en bil rör sig med hastigheten 80&nbsp;km/h så kan den tillryggalagda sträckan, ''s'' km,  efter ''t'' timmar beskrivas med funktionen <math>s(t)=80 t</math>.
Funktionens förändringsgrad anger hur funktionsvärdet ändras per timme, vilket naturligtvis är detsamma som bilens hastighet, 80&nbsp;km/h.

För icke-linjära funktioner gäller ju att lutningen på funktionskurvan ändras hela tiden och därmed också funktionens förändringsgrad. För att bestämma hur en sådan funktion förändras kan vi antingen ange funktionens genomsnittliga förändring (medelförändringen) mellan två punkter på funktionskurvan, eller den momentana förändringsgraden i en punkt på kurvan.

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

För funktionen <math>f(x)=4x-x^2</math> är <math>f(1)=3</math>,  <math>f(2)=4</math> och <math>f(4)=0</math>.

<ol type="a">
  <li>Medelförändringen (medellutningen) från <math>x = 1</math> till <math>x = 2</math> är
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{4-3}{1}=1\,\mbox{,}</math>}}
och funktionen ökar i detta intervall.<br><br></li>

  <li>Medelförändringen från <math>x = 2</math> till <math>x = 4</math> är
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(2)}{4-2}= \frac{0-4}{2}=-2\,\mbox{,}</math>}}
och funktionen avtar i detta intervall.<br><br></li>

  <li>Mellan <math>x = 1</math> och <math>x = 4</math> är medelförändringen
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(4)-f(1)}{4-1}= \frac{0-3}{3}=-1\,\mbox{.}</math>}}
I genomsnitt är funktionen avtagande i detta intervall, även om funktionen både växer och avtar i intervallet.<br><br></li>
</ol>

<center>
{| align="center"
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Medelförändring för f(x) = x(4 - x) mellan x = 1 och x = 2}}
| width="30px" |
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Medelförändring för f(x) = x(4 - x) mellan x = 1 och x = 4}}
|-
| align="center" |<small>Mellan ''x'' = 1 och ''x'' = 2 har funktionen medelförändringen 1/1 = 1.</small>
| width="30px" |
| align="center" |<small>Mellan ''x'' = 1 och ''x'' = 4 har funktionen medelförändringen (-3)/3 = -1.</small>
|}
</center>

</div>


== Derivatans definition ==

För att beräkna den momentana förändringsgraden hos en funktion, dvs. funktionskurvans lutning i en punkt ''P'', tar vi temporärt hjälp av ytterligare en punkt ''Q'' i närheten av ''P'' och bildar ändringskvoten mellan ''P'' och ''Q'':

<center>{{:1.1 - Figur - Differenskvot mellan P och Q}}</center>

'''Ändringskvoten'''
{{Fristående formel||<math>\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\,\mbox{.}</math>}}


Om vi låter ''Q'' närma sig ''P'' (dvs. låter <math>h \rightarrow 0</math>) så kan vi lista ut vad värdet blir om punkterna sammanfaller och därmed få fram lutningen i punkten ''P''. Vi kallar detta värde för ''derivatan'' av <math>f(x)</math> i punkten ''P'', vilket kan tolkas som den momentana förändringsgraden av <math>f(x)</math> i punkten ''P''.

Derivatan av en funktion <math>f(x)</math> betecknas <math>f^{\,\prime}(x)</math>  och kan formellt definieras så här: 

<div class="regel">
''Derivatan'' av en funktion <math>f(x)</math>, definieras som
{{Fristående formel||<math>f^{\,\prime}(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \,\mbox{.}</math>}}
Om <math>f^{\,\prime}(x_0)</math> existerar, säger man att <math>f(x)</math> är ''deriverbar'' i punkten <math>x=x_0</math>.
</div>

Olika symboler för derivatan förekommer, t.ex.


{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Funktion
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" | Derivata
|-
| align="center" | <math>f(x)</math>
| align="center" | <math>f^{\,\prime}(x)</math>	   
|-
| align="center" | <math>y</math>
| align="center" | <math>y^{\,\prime}</math>
|-
| align="center" | <math>y</math>
| align="center" | <math>Dy</math>
|-
| align="center" | <math>y</math>
| align="center" | <math>\dfrac{dy}{dx}</math>
|-
| align="center" | <math>s(t)</math>
| align="center" | <math>\dot s(t)</math>
|}


== Derivatans tecken ==

Derivatans tecken (+/−) visar oss om funktionens graf lutar uppåt eller nedåt, dvs. om funktionen är växande eller avtagande:

* <math>f^{\,\prime}(x) > 0</math> (positiv lutning) medför att <math>f(x)</math> är växande.
* <math>f^{\,\prime}(x) < 0</math> (negativ lutning) medför att <math>f(x)</math> är avtagande.
* <math>f^{\,\prime}(x) = 0</math> (ingen lutning) medför att <math>f(x)</math> är stationär (horisontell).


<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

<ol type="a">
  <li><math>f(2)=3\ </math> betyder att '''funktionens värde''' är <math>3</math> när <math>x=2</math>.</li> 
  <li><math>f^{\,\prime}(2)=3\ </math> betyder att '''derivatans värde''' är <math>3</math> när <math>x=2</math>, vilket i sin tur betyder att funktionens graf har lutningen <math>3</math> när <math>x=2</math>.</li>
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

I figuren kan man utläsa att

<center>
{| align="center"
|- 
| valign="center" |
<math>\begin{align*}
f^{\,\prime}(a) &> 0\\[4pt]
f(b) &= 0\\[4pt]
f^{\,\prime}(c) &= 0\\[4pt]
f(d) &= 0\\[4pt]
f^{\,\prime}(e) &= 0\\[4pt]
f(e) &< 0\\[4pt]
f^{\,\prime}(g) &> 0
\end{align*}</math>
| width="30px" |
| valign="center" |
{{:1.1 - Figur - Grafen y = f(x) med punkter x = a, b, c, d, e och g}}
|}
</center>

Notera betydelsen av <math>f(x)</math> respektive <math>f^{\,\prime}(x)</math>.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

Temperaturen i en termos beskrivs av en funktion, där <math>T(t)</math> är temperaturen i termosen efter <math>t</math> minuter. Skriv följande med matematiska symboler:

<ol type="a">
  <li>Efter 10&nbsp;minuter är temperaturen 80°.<br><br>
      <math>T(10)=80</math><br><br></li>
  <li>Efter 2&nbsp;minuter sjunker temperaturen i termosen med 3° per minut.<br><br>
      <math>T'(2)=-3</math> (funktionen är avtagande, varför derivatan är negativ)<br><br></li> 
</ol>
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 6'''

Funktionen <math>f(x)=|x|</math> saknar derivata då <math>x=0</math>. Man kan nämligen inte bestämma hur funktionens graf lutar i punkten <math>(0,0)</math> (se figuren nedan).

Man kan uttrycka detta på exempelvis något av följande sätt: "<math>f^{\,\prime}(0)</math> existerar inte" , "<math>f^{\,\prime}(0)</math> är ej definerad" eller "<math>f(x)</math> är inte deriverbar i <math>x=0</math>". 

<center>{{:1.1 - Figur - Grafen till f(x) = beloppet av x}}</center>
<center><small>Grafen till funktionen ''f''(''x'') = |''x''|</small></center>

</div>


== Deriveringsregler ==

Med hjälp av derivatans definition kan man bestämma derivatan för de vanliga funktionstyperna. 

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

Om <math>f(x)=x^2</math> så får vi enligt definitionen av derivata ändringskvoten

{{Fristående formel||<math>\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\frac{x^2+2hx+h^2-x^2}{h} = \frac{h(2x+h)}{h} = 2x + h\,\mbox{.}</math>}}
	 
Om vi sedan låter <math>h</math> gå mot noll så ser vi att lutningen i punkten blir <math>2x</math>. Vi har därmed visat att lutningen i en godtycklig punkt på kurvan <math>y=x^2</math> är <math>2x</math>, dvs. derivatan av <math>x^2</math> är <math>2x</math>.
</div>

På liknande sätt kan man härleda allmänna deriveringsregler: 

{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0" align="center"
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" |Funktion
!width="200" style="border-bottom:2px solid grey;" align="center" |Derivata
|-
| align="center" |<math>x^n</math>
| align="center" |<math>nx^{n-1}</math>	   
|-
| align="center" |<math>\ln x</math>
| align="center" |<math>1/x</math>
|-
| align="center" |<math>e^x</math>
| align="center" |<math>e^x</math>
|-
| align="center" |<math>\sin x</math>
| align="center" |<math>\cos x</math>
|-
| align="center" |<math>\cos x</math>
| align="center" |<math>-\sin x</math>
|-
| align="center" |<math>\tan x</math>
| align="center" |<math>1/\cos^2 x</math>
|}


Dessutom gäller för summor och differenser av funktionsuttryck att
{{Fristående formel||<math>D(f(x) +g(x))= f^{\,\prime}(x) + g'(x)\,\mbox{.}</math>}}

Samt, om ''k'' är en konstant, att
{{Fristående formel||<math>D(k \cdot f(x)) = k \cdot f^{\,\prime}(x)\,\mbox{.}</math>}}


<div class="exempel">
'''Exempel 8'''
<ol type="a">
  <li> <math>D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x) = 2\,D x^3 - 4\,D x + D 10 - D \sin x</math><br>
       <math>\phantom{D(2x^3 - 4x + 10 - \sin x)}{} = 2\cdot 3x^2 - 4\cdot 1 + 0 - \cos x</math></li> 
  <li><math> y= 3 \ln x + 2e^x \quad</math> ger att <math>\quad y'= 3 \cdot\frac{1}{x} + 2 e^x = \frac{3}{x} + 2 e^x\,</math>.</li>
  <li><math>\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{3x^2}{5} - \frac{x^3}{2}\Bigr) = \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{5}x^2 - \tfrac{1}{2}x^3\bigr)= \tfrac{3}{5}\cdot 2x - \tfrac{1}{2}\cdot 3x^2= \tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{2}x^2\,</math>.</li>
  <li><math>s(t)= v_0t + \frac{at^2}{2} \quad</math> ger att <math>\quad s'(t)=v_0 + \frac{2at}{2} = v_0 + at\,</math>.</li>
</ol>

</div> 

<div class="exempel">
'''Exempel 9'''
<ol type="a">
  <li><math>f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1} \quad</math> ger att <math>\quad f^{\,\prime}(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}\,</math>.</li>
  <li><math>f(x)= \frac{1}{3x^2} = \tfrac{1}{3}\,x^{-2} \quad</math> ger att <math>\quad f^{\,\prime}(x) = \tfrac{1}{3}\cdot(-2)x^{-3} = -\tfrac{2}{3} \cdot x^{-3} = -\frac{2}{3x^3}\,</math>.</li>
  <li><math>g(t) = \frac{t^2 - 2t + 1}{t} = t -2 + \frac{1}{t} \quad</math> ger att <math>\quad g'(t) = 1 - \frac{1}{t^2}\,</math>.</li>
  <li><math>y = \Bigl( x^2 + \frac{1}{x} \Bigr)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + \Bigl(\frac{1}{x} \Bigr)^2 = x^4 + 2x + x^{-2}</math><br>
<math>\qquad\quad</math> ger att <math>\quad y' =4x^3 + 2 -2x^{-3} = 4x^3 + 2 - \frac{2}{x^3}\,</math>.</li>
</ol>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 10'''

Funktionen <math>f(x)=x^2 + x^{-2}</math> har derivatan
{{Fristående formel||<math>f^{\,\prime}(x) = 2x^1 -2x^{-3} = 2x - \frac{2}{x^3}\,\mbox{.}</math>}}
Detta betyder exempelvis att <math>f^{\,\prime}(2) = 2\cdot 2 - 2/2^3= 4- \frac{1}{4} = \frac{15}{4}</math> och att <math>f^{\,\prime}(-1) = 2 \cdot (-1) - 2/(-1)^3 = -2 + 2 = 0</math>. Däremot är derivatan <math>f'(0)</math> inte definierad.

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 11'''

Ett föremål rör sig enligt <math>s(t) = t^3 -4t^2 +5t</math>, där <math>s(t)</math> km är avståndet från startpunkten efter <math>t</math> timmar.  Beräkna <math>s'(3)</math> och förklara vad värdet står för. 
<br>
<br>
Tidsderivatan ges av
{{Fristående formel||<math>s'(t) = 3t^2 - 8t +5\qquad\text{vilket ger att}\qquad s'(3) = 3 \cdot 3^2 - 8 \cdot 3 + 5 = 8\,\mbox{.}</math>}}
Detta kan tolkas som att efter 3 timmar är föremålets hastighet 8 km/h. 

</div> 

<div class="exempel">
'''Exempel 12'''

Totalkostnaden <math>T</math> kr för tillverkning av <math>x</math> gummidräkter ges av funktionen
{{Fristående formel||<math> T(x) = 40000 + 370x -0{,}09x^2 \quad \text{för} \ 0 \le x \le 200\,\mbox{.}</math>}}
Beräkna och förklara innebörden av nedanstående uttryck.
<br>
<br>
<ol type="a">
  <li><math>T(120)</math><br><br>
      <math>T(120)=40000 + 370 \cdot 120 - 0{,}09 \cdot 120^2 = 83104\,</math>.<br> 
      Totalkostnaden för att tillverka 120 gummidräkter är 83104 kr.</li>
  <li><math>T'(120)</math><br><br>
      Derivatan ges av <math>T^{\,\prime}(x)= 370 - 0{,}18x</math> och därför är
      {{Fristående formel||<math>T^{\,\prime}(120) = 370 - 0{,}18 \cdot 120 \approx 348</math>.}}
      Marginalkostnaden ("kostnaden för att tillverka ytterligare 1 enhet") vid 120 tillverkade gummidräkter är approximativt 348 kr.</li>
</ol>

</div>


== Tangenter och normaler ==

En ''tangent'' till en kurva är en rät linje som tangerar kurvan.

En ''normal'' till en kurva är en rät linje som är vinkelrät mot kurvan i en viss punkt på kurvan (och därmed också vinkelrät mot kurvans tangent i denna punkt). 

För vinkelräta linjer gäller att produkten av deras riktningskoefficienter är <math>–1</math>, dvs. om tangentens riktningskoefficient betecknas <math>k_T</math> och normalens <math>k_N</math> så är <math>k_T \cdot k_N = -1</math>. Eftersom vi kan bestämma lutningen på en kurva med hjälp av derivatan så kan vi också bestämma ekvationen för en tangent eller en normal om vi känner till funktionsuttrycket för kurvan.


<div class="exempel">
'''Exempel 13'''

Bestäm ekvationen för tangenten respektive normalen till kurvan <math>y=x^2 + 1</math> i punkten <math>(1,2)</math>.
<br>
<br>
Vi skriver tangentens ekvation som <math>y = kx + m</math>. Eftersom den ska tangera kurvan i <math>x=1</math> har vi att dess lutning ges av <math>k= y'(1)</math>, dvs.

{{Fristående formel||<math>y' = 2x,\qquad y'(1) = 2\cdot 1 = 2</math>.}}

Tangentlinjen ska också passerar genom punkten <math>(1,2)</math> och därför måste <math>(1,2)</math> uppfylla tangentens ekvation

{{Fristående formel||<math>2 = 2 \cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad m = 0</math>.}}

Tangentens ekvation är alltså <math>y=2x</math>.


Riktningskoefficienten för normalen är <math>k_N = -\frac{1}{k_T} = -\frac{1}{2}</math> .

Vidare går normalen också genom punkten <math>(1, 2)</math> , dvs.

{{Fristående formel||<math>2= -\frac{1}{2}\cdot 1 + m \quad \Leftrightarrow \quad m = \frac{5}{2}</math>.}}

Normalen har ekvationen <math>y= -\frac{x}{2} + \frac{5}{2} = \frac{5-x}{2}</math>.

<center>
{| align="center"
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Tangentlinjen y = 2x}}
| width="30px" |
| align="center" |{{:1.1 - Figur - Normallinjen y = (5 - x)/2}}
|-
| align="center" |<small>Tangentlinjen <math>y=2x</math></small>
| width="30px" |
| align="center" |<small>Normallinjen <math>y=(5-x)/2</math></small>
|}
</center>

</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 14'''

Kurvan <math>y = 2 \, e^x - 3x</math> har en tangent vars riktningskoefficient är <math>–1</math>. Bestäm tangeringspunkten.
<br>
<br>
{| width="100%"
| width="90%" |
Derivatan av högerledet är <math>y' = 2 \, e^x -3</math> och i tangeringspunkten ska derivatan vara lika med <math>-1</math>, dvs.
<math>y' = -1</math>, och detta  ger oss ekvationen
{{Fristående formel||<math>2 \, e^x - 3=-1</math>}}
som har lösningen <math>x=0</math>. I punkten <math>x=0</math> har kurvan <math>y</math>-värdet <math>y(0) = 2 \, e^0 - 3 \cdot 0 = 2</math> och därmed är tangeringspunkten <math>(0,2)</math>.
| width="10%" |
||{{:1.1 - Figur - Kurvan y = 2e^x - 3x och tangentlinjen genom (0,2)}}
|}

</div>
Mallar som används på den här sidan:
Tillbaka till Huvudsida.
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte2/index.php/1.1_Inledning_till_derivata
1. Derivata

2. Integraler

3. Komplexa tal

Sök

Visa wikitext

Förberedande kurs i matematik 2
