4.3 Övningar

Förberedande kurs i matematik 1

Version från den 3 april 2008 kl. 09.28; Oskar (Diskussion | bidrag)
Hoppa till: navigering, sök
       Teori          Övningar      

Övning 4.3:1

Bestäm de vinklar \displaystyle \,v\, mellan \displaystyle \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, och \displaystyle \,2\pi\, som uppfyller

a) \displaystyle \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} b) \displaystyle \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} c) \displaystyle \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}
Svar
Svar 4.3:1
Lösning a
Lösning 4.3:1a
Lösning b
Lösning 4.3:1b
Lösning c
Lösning 4.3:1c

Övning 4.3:2

Bestäm de vinklar \displaystyle \,v\, mellan 0 och \displaystyle \,\pi\, som uppfyller

a) \displaystyle \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} b) \displaystyle \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}
Svar
Svar 4.3:2
Lösning a
Lösning 4.3:2a
Lösning b
Lösning 4.3:2b

Övning 4.3:3

Antag att \displaystyle \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, och att \displaystyle \,\sin{v} = a\,. Uttryck med hjälp av \displaystyle \,a

a) \displaystyle \sin{(-v)} b) \displaystyle \sin{(\pi-v)}
c) \displaystyle \cos{v} d) \displaystyle \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}
e) \displaystyle \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} f) \displaystyle \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}
Svar
Svar 4.3:3
Lösning a
Lösning 4.3:3a
Lösning b
Lösning 4.3:3b
Lösning c
Lösning 4.3:3c
Lösning d
Lösning 4.3:3d
Lösning e
Lösning 4.3:3e
Lösning f
Lösning 4.3:3f

Övning 4.3:4

Antag att \displaystyle \,0 \leq v \leq \pi\, och att \displaystyle \,\cos{v}=b\,. Uttryck med hjälp av \displaystyle \,b

a) \displaystyle \sin^2{v} b) \displaystyle \sin{v}
c) \displaystyle \sin{2v} d) \displaystyle \cos{2v}
e) \displaystyle \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} f) \displaystyle \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}
Svar
Svar 4.3:4
Lösning a
Lösning 4.3:4a
Lösning b
Lösning 4.3:4b
Lösning c
Lösning 4.3:4c
Lösning d
Lösning 4.3:4d
Lösning e
Lösning 4.3:4e
Lösning f
Lösning 4.3:4f

Övning 4.3:5

För en spetsig vinkel \displaystyle \,v\, i en triangel gäller att \displaystyle \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,. Bestäm \displaystyle \,\cos{v}\, och \displaystyle \,\tan{v}\,.

Svar
Svar 4.3:5
Lösning
Lösning 4.3:5

Övning 4.3:6

a) Bestäm \displaystyle \ \sin{v}\ och \displaystyle \ \tan{v}\ om \displaystyle \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ och \displaystyle \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.
b) Bestäm \displaystyle \ \cos{v}\ och \displaystyle \ \tan{v}\ om \displaystyle \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ och \displaystyle \,v\, ligger i den andra kvadranten.
c) Bestäm \displaystyle \ \sin{v}\ och \displaystyle \ \cos{v}\ om \displaystyle \ \tan{v}=3\ och \displaystyle \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.
Svar
Svar 4.3:6
Lösning a
Lösning 4.3:6a
Lösning b
Lösning 4.3:6b
Lösning c
Lösning 4.3:6c

Övning 4.3:7

Bestäm \displaystyle \ \sin{(x+y)}\ om

a) \displaystyle \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,,\displaystyle \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ och \displaystyle \,x\,$, $\,y\, är vinklar i första kvadranten..
b) \displaystyle \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \displaystyle \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ och \displaystyle \,x\,, \displaystyle \,y\, är vinklar i första kvadranten.
Svar
Svar 4.3:7
Lösning a
Lösning 4.3:7a
Lösning b
Lösning 4.3:7b

Övning 4.3:8

Visa följande trigonometriska samband

a) \displaystyle \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}
b) \displaystyle \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}
c) \displaystyle \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}
d) \displaystyle \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v
Lösning a
Lösning 4.3:8a
Lösning b
Lösning 4.3:8b
Lösning c
Lösning 4.3:8c
Lösning d
Lösning 4.3:8d

Övning 4.3:9

Visa "Feynmans likhet"
\displaystyle \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på \displaystyle \,\sin 160^\circ\,.)
Lösning
Lösning 4.3:9
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte1/index.php/4.3_%C3%96vningar