Förberedande kurs i matematik 1

Funktionen du vill använda är begränsad till användare i grupperna Administratörer, approved.

Du kan se och kopiera sidans wikikod:

__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp; {{Mall:Vald flik|[[4.4 Trigonometriska ekvationer|Teori]]}} {{Mall:Ej vald flik|[[4.4 Övningar|Övningar]]}} | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp; |} {{Info| '''Innehåll:''' *Trigonometriska grundekvationer *Enklare trigonometriska ekvationer }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: *Lösa trigonometriska grundekvationer. *Lösa trigonometriska ekvationer som kan återföras till ovanstående ekvationstyp. }} == Grundekvationer == Trigonometriska ekvationer kan vara mycket komplicerade, men det finns också många typer av trigonometriska ekvationer som man kan lösa med ganska enkla metoder. Här skall vi börja med att titta på de mest grundläggande trigonometriska ekvationerna, av typerna <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> och <math>\tan x = a</math>. Dessa ekvationer har oändligt många lösningar, såvida inte omständigheterna begränsar antalet möjliga lösningar (t ex att man söker en spetsig vinkel). <div class="exempel"> '''Exempel 1''' Lös ekvationen <math>\,\sin x = \frac{1}{2}</math>. Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir <math>\tfrac{1}{2}</math>. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas <math>x</math>. <center>{{:4.4 - Figur - Två enhetscirklar med vinklar π/6 resp. 5π/6}}</center> I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med ''y''-koordinat <math>\tfrac{1}{2}</math> i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet <math>\tfrac{1}{2}</math>. Den första är standardvinkeln <math>30^\circ = \pi / 6</math> och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln <math>30^\circ</math> mot den negativa ''x''-axeln, vilket gör att den vinkeln är <math>180^\circ – 30^\circ = 150^\circ</math> eller i radianer <math>\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6</math>. Detta är de enda lösningar till ekvationen <math>\sin x = \tfrac{1}{2}</math> mellan <math>0</math> och <math>2\pi</math>. Vi kan dock lägga till ett godtyckligt antal varv till dessa två vinklar och fortfarande få samma sinusvärde. Alla vinklar med sinusvärde <math>\tfrac{1}{2}</math> är alltså {{Fristående formel||<math>\begin{cases} x &= \dfrac{\pi}{6} + 2n\pi\\ x &= \dfrac{5\pi}{6} + 2n\pi \end{cases}</math>}} där <math>n</math> är ett godtyckligt heltal. Detta kallas för den fullständiga lösningen till ekvationen. Lösningarna syns också i figuren nedan där grafen till <math>y = \sin x</math> skär linjen <math>y=\tfrac{1}{2}</math>. <center>{{:4.4 - Figur - Kurvorna y = sin x och y = ½}}</center> </div> <div class="exempel"> '''Exempel 2''' Lös ekvationen <math>\,\cos x = \frac{1}{2}</math>. Vi tar återigen hjälp av enhetscirkeln. <center>{{:4.4 - Figur - Två enhetscirklar med vinklar π/3 resp. -π/3}}</center> Vi vet att cosinus blir <math>\tfrac{1}{2}</math> för vinkeln <math>\pi/3</math>. Den enda andra riktning i enhetscirkeln som ger samma värde på cosinus har vinkeln <math>-\pi/3</math>. Lägger vi till ett helt antal varv till dessa vinklar får vi den fullständiga lösningen {{Fristående formel||<math>x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}</math>}} där <math>n</math> är ett godtyckligt heltal. </div> <div class="exempel"> '''Exempel 3''' Lös ekvationen <math>\,\tan x = \sqrt{3}</math>. En lösning till ekvationen är standardvinkeln <math>x=\pi/3</math>. Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln <math>x</math> med den positiva ''x''-axeln. <center>{{:4.4 - Figur - Två enhetscirklar med vinklar π/3 resp. π+π/3}}</center> Därför ser vi att lösningarna till <math>\tan x = \sqrt{3}</math> upprepar sig varje halvt varv <math>\pi/3</math>, <math>\pi/3 +\pi</math>, <math>\pi/3+ \pi +\pi</math> osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen <math>\pi/3</math> och lägga till eller dra ifrån multiplar av <math>\pi</math>, {{Fristående formel||<math>x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}</math>}} där <math>n</math> är ett godtyckligt heltal. </div> == Några mer komplicerade ekvationer == Trigonometriska ekvationer kan se ut på många olika sätt, och det är omöjligt att här ge en fullständig genomgång av alla tänkbara ekvationer. Men låt oss studera några exempel, där vi kan ha nytta av att vi kan lösa grundekvationerna. Vissa trigonometriska ekvationer kan förenklas genom att de skrivs om med hjälp av trigonometriska samband. Detta kan t ex leda till en andragradsekvation, som i nedanstående exempel där man använder att <math>\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1</math>. <div class="exempel"> '''Exempel 4''' Lös ekvationen <math>\,\cos 2x – 4\cos x + 3= 0</math>. Omskrivning med hjälp av formeln <math>\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1</math> ger {{Fristående formel||<math>(2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,}</math>}} vilket kan förenklas till ekvationen (efter division med 2) {{Fristående formel||<math>\cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.}</math>}} Vänsterledet kan faktoriseras med kvadreringsregeln till {{Fristående formel||<math>(\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}</math>}} Denna ekvation kan bara vara uppfylld om <math>\cos x = 1</math>. Grundekvationen <math>\cos x=1</math> kan vi lösa på det vanliga sättet och den fullständiga lösningen är {{Fristående formel||<math> x = 2n\pi \qquad (\,n \mbox{ godtyckligt heltal).}</math>}} </div> <div class="exempel"> '''Exempel 5''' Lös ekvationen <math>\,\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0</math>. Enligt den trigonometriska ettan är <math>\sin^2\!x + \cos^2\!x = 1</math>, dvs. <math>1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x</math>. Ekvationen kan alltså skrivas {{Fristående formel||<math>\tfrac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}</math>}} Genom att nu bryta ut en faktor <math>\sin x</math> får vi {{Fristående formel||<math> \sin x\,\cdot\,\bigl(\tfrac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}</math>}} Från denna faktoriserade form av ekvationen ser vi att lösningarna antingen måste uppfylla <math>\sin x = 0</math> eller <math>\sin x = -\tfrac{1}{2}</math>, vilka är två vanliga grundekvationer på formen <math>\sin x = a</math> och kan lösas som i exempel 1. Lösningarna blir till slut {{Fristående formel||<math> \begin{cases} x &= n\pi\\ x &= -\pi/6+2n\pi\\ x &= 7\pi/6+2n\pi \end{cases} \qquad (\,n\ \text{godtyckligt heltal})\mbox{.}</math>}} </div> <div class="exempel"> '''Exempel 6''' Lös ekvationen <math>\,\sin 2x =4 \cos x</math>. Genom omskrivning med formeln för dubbla vinkeln blir ekvationen {{Fristående formel||<math>2\sin x\,\cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}</math>}} Vi delar båda led med 2 och bryter ut en faktor <math>\cos x</math>, vilket ger {{Fristående formel||<math>\cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}</math>}} Eftersom produkten bara kan bli noll genom att en faktor är noll, så kan ekvationen delas upp i grundekvationerna * <math>\cos x = 0</math>, * <math>\sin x = 2</math>. Men <math>\sin x</math> kan aldrig bli större än 1, så ekvationen <math>\sin x = 2</math> saknar lösningar. Då återstår bara <math>\cos x = 0</math>, vilken med hjälp av enhetscirkeln ger den fullständiga lösningen <math>x = \pi / 2 + n \cdot \pi</math>. </div> <div class="exempel"> '''Exempel 7''' Lös ekvationen <math>\,4\sin^2\!x – 4\cos x = 1</math>. Med den trigonometriska ettan kan <math>\sin^2\!x</math> bytas ut mot <math>1 – \cos^2\!x</math>. Då får vi {{Fristående formel||<math> \begin{align*} 4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\ 4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\\ –4\cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\\ \cos^2\!x + \cos x – \tfrac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\\ \end{align*}</math>}} Detta är en andragradsekvation i <math>\cos x</math>, som har lösningarna {{Fristående formel||<math> \cos x = -\tfrac{3}{2} \quad\text{och}\quad \cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{.}</math>}} Eftersom värdet av <math>\cos x</math> ligger mellan <math>–1</math> och <math>1</math> kan ekvationen <math>\cos x=-\tfrac{3}{2}</math> inte ha några lösningar. Då återstår bara grundekvationen {{Fristående formel||<math>\cos x = \tfrac{1}{2}\,\mbox{,}</math>}} som löses enligt exempel 2. </div> [[4.4 Övningar|Övningar]] <div class="inforuta" style="width:580px;"> '''Råd för inläsning''' '''Grund- och slutprov''' Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. '''Tänk på att:''' Det är bra om man lär sig de vanliga trigonometriska formlerna (identiteterna) och övar upp en viss vana på att förenkla och manipulera trigonometriska uttryck. Det är viktigt att man lär sig de grundläggande ekvationerna, av typen <math>\sin x = a</math>, <math>\cos x = a</math> eller <math>\tan x = a</math> (där <math>a</math> är ett reellt tal). Det är också viktigt att man vet att dessa ekvationer har oändligt många lösningar. '''Lästips''' för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om: [http://www.theducation.se/kurser/umaprep/4_trigonometri/44_trig_ekvationer/index.asp Läs mer om trigonometriska ekvationer i Theducations gymnasielexikon ] [http://www.theducation.se/kurser/umaprep/4_trigonometri/44_trig_ekvationer/445_typ_asinx/index.asp Träna på trigonometriska räkneexempel i Theducations gymnasielexikon] '''Länktips''' [http://www.ies.co.jp/math/java/trig/ABCsinX/ABCsinX.html Experimentera med grafen y=a sin b(x-c)] [http://www.theducation.se/kurser/experiment/gyma/applets/ex45_derivatasinus/Ex45Applet.html Experimentera med derivatan av sin x] </div>

• 4.4 - Figur - Kurvorna y = sin x och y = ½
• 4.4 - Figur - Två enhetscirklar med vinklar π/3 resp. -π/3
• 4.4 - Figur - Två enhetscirklar med vinklar π/3 resp. π+π/3
• 4.4 - Figur - Två enhetscirklar med vinklar π/6 resp. 5π/6
• Mall:Ej vald flik
• Mall:Fristående formel
• Mall:Info
• Mall:Vald flik

Tillbaka till Huvudsida.