Förberedande kurs i matematik 1

Funktionen du vill använda är begränsad till användare i grupperna Administratörer, approved.

Du kan se och kopiera sidans wikikod:

__NOTOC__ {| border="0" cellspacing="0" cellpadding="0" height="30" width="100%" | style="border-bottom:1px solid #797979" width="5px" | &nbsp; {{Mall:Vald flik|[[2.2 Linjära uttryck|Teori]]}} {{Mall:Ej vald flik|[[2.2 Övningar|Övningar]]}} | style="border-bottom:1px solid #797979" width="100%"| &nbsp; |} {{Info| '''Innehåll:''' *Förstagradsekvationer *Räta linjens ekvation *Geometriska problem *Områden som definieras av olikheter }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: *Lösa algebraiska ekvationer som efter förenkling leder till förstagradsekvationer. *Omvandla mellan formerna ''y'' &#061; ''kx'' + ''m'' och ''ax'' + ''by'' + ''c'' &#061; 0. *Skissera räta linjer utgående från ekvationen. *Lösa geometriska problem som innehåller räta linjer. *Skissera områden som ges av linjära olikheter och bestämma arean av dessa. }} == Förstagradsekvationer == För att lösa förstagradsekvationer (även kallade linjära ekvationer) utför vi räkneoperationer på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får <math>x</math> ensamt i ena ledet. <div class="exempel"> '''Exempel 1''' <ol type="a"> <li>Lös ekvationen <math>x+3=7</math>.<br/><br/> Subtrahera <math>3</math> från båda led :<math>x+3-3=7-3</math>. Vänsterledet förenklas då till <math>x</math> och vi får att :<math>x=7-3=4</math>.</li> <li>Lös ekvationen <math>3x=6</math>. <br/><br/> Dividera båda led med <math>3</math> :<math>\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,</math>. Efter att ha förkortat bort <math>3</math> i vänsterledet har vi att :<math> x=\frac{6}{3} = 2</math>.</li> <li> Lös ekvationen <math>2x+1=5\,\mbox{.}</math><br/><br/> Först subtraherar vi båda led med <math>1</math> för att få <math>2x</math> ensamt i vänsterledet :<math>2x=5-1</math>.<br/> Sedan dividerar vi båda led med <math>2</math> och får svaret :<math>x = \frac{4}{2} = 2</math>.</li> </ol> </div> En förstagradsekvation kan skrivas på normalformen <math>ax=b</math>. Lösningen är då helt enkelt <math>x=b/a</math> (man måste anta att <math>a\not=0</math>). De eventuella svårigheter som kan uppstå när man löser en förstagradsekvation gäller alltså inte själva lösningsformeln utan snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen. Här nedan visas några exempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär normalform och därmed får en unik lösning. <div class="exempel"> '''Exempel 2''' Lös ekvationen <math>\,2x-3=5x+7</math>. Eftersom <math>x</math> förekommer både i vänster- och högerledet subtraherar vi <math>2x</math> från båda led {{Fristående formel||<math>2x-3-2x=5x+7-2x</math>}} och får <math>x</math> samlat i högerledet {{Fristående formel||<math>-3 = 3x+7 \; \mbox{.}</math>}} Nu subtraherar vi 7 från båda led {{Fristående formel||<math>-3 -7 = 3x +7-7</math>}} och får <math>3x</math> ensamt kvar i högerledet {{Fristående formel||<math>-10=3x\,\mbox{.}</math>}} Det sista steget är att dividera båda led med <math>3</math> {{Fristående formel||<math>\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}</math>}} och detta ger att {{Fristående formel||<math>x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}</math>}} </div> <div class="exempel"> '''Exempel 3''' Lös ut <math>x</math> från ekvationen <math>ax+7=3x-b</math>. Genom att subtrahera båda led med <math>3x</math> {{Fristående formel||<math>ax+7-3x=3x-b-3x</math>}} {{Fristående formel||<math>ax+7-3x=\phantom{3x}{}-b\phantom{{}-3x}</math>}} och sedan med <math>7</math> {{Fristående formel||<math>ax+7-3x -7=-b-7</math>}} {{Fristående formel||<math>ax\phantom{{}+7}{}-3x\phantom{{}-7}{}=-b-7</math>}} har vi samlat alla termer som innehåller <math>x</math> i vänsterledet och övriga termer i högerledet. Eftersom termerna i vänsterledet har <math>x</math> som en gemensam faktor kan <math>x</math> brytas ut {{Fristående formel||<math>(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}</math>}} Dividera båda led med <math>a-3</math> {{Fristående formel||<math>x= \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}</math>}} </div> Det är inte alltid uppenbart att man har att göra med en förstagradsekvation. I följande två exempel förvandlas den ursprungliga ekvationen genom förenklingar till en förstagradsekvation. <div class="exempel"> '''Exempel 4''' Lös ekvationen <math>\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2</math>. Utveckla kvadratuttrycken i båda leden {{Fristående formel||<math>x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49\,\mbox{,}</math>}} {{Fristående formel||<math>4x^2-6x+9=4x^2+28x+49\,\mbox{.}</math>}} Subtrahera <math>4x^2</math> från båda led {{Fristående formel||<math>-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}</math>}} Addera <math>6x</math> till båda led {{Fristående formel||<math>9 = 34x +49\; \mbox{.}</math>}} Subtrahera <math>49</math> från båda led {{Fristående formel||<math>-40=34x\; \mbox{.}</math>}} Dividera båda led med <math>34</math> {{Fristående formel||<math>x = \frac{-40}{34}= - \frac{20}{17}\; \mbox{.}</math>}} </div> <div class="exempel"> '''Exempel 5''' Lös ekvationen <math>\ \frac{x+2}{x^2+x} = \frac{3}{2+3x}</math>. Flytta över båda termerna i ena ledet {{Fristående formel||<math>\frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}</math>}} Förläng termerna så att de får samma nämnare {{Fristående formel||<math>\frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0</math>}} och förenkla täljaren {{Fristående formel||<math>\frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}} {{Fristående formel||<math>\frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,</math>}} {{Fristående formel||<math>\frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0\,\mbox{.}</math>}} Denna ekvation är uppfylld bara när täljaren är lika med noll (samtidigt som nämnaren inte är lika med noll), {{Fristående formel||<math>5x+4=0</math>}} vilket ger att <math>\,x = -\frac{4}{5}</math>. </div> == Räta linjer == Funktioner av typen {{Fristående formel||<math>y = 2x+1</math>}} {{Fristående formel||<math>y = -x+3</math>}} {{Fristående formel||<math>y = \frac{1}{2} x -5 </math>}} är exempel på linjära funktioner och de kan allmänt skrivas i formen <div class="regel"> {{Fristående formel||<math>y = kx+m</math>}} </div> där <math>k</math> och <math>m</math> är konstanter. Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje och konstanten <math>k</math> anger linjens lutning mot <math>x</math>-axeln och <math>m</math> anger <math>y</math>-koordinaten för den punkt där linjen skär <math>y</math>-axeln. <center>{{:2.2 - Figur - Linjen y = kx + m}}</center> <center><small>Linjen ''y'' = ''kx'' + ''m'' har lutning ''k'' och skär ''y''-axeln i (0,''m'')</small></center> Konstanten <math>k</math> kallas för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i positiv <math>x</math>-led på linjen ger <math>k</math> enheters förändring i positiv <math>y</math>-led. Det gäller därmed att om *<math>k>0\,</math> så lutar linjen uppåt, *<math>k<0\,</math> så lutar linjen nedåt. För en horisontell linje (parallell med <math>x</math>-axeln) är <math>k=0</math> medan en vertikal linje (parallell med <math>y</math>-axeln) inte har något <math>k</math>-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen <math>y=kx+m</math>). <div class="exempel"> '''Exempel 6''' <ol type="a"> <li> Skissera linjen <math>y=2x-1</math>. <br/><br/> Jämför vi linjens ekvation med <math>y=kx+m</math> så ser vi att <math>k=2</math> och <math>m=-1</math>. Detta betyder att linjens riktningskoefficient är <math>2</math> och att den skär <math>y</math>-axeln i punkten <math>(0,-1)</math>. Se figuren till vänster nedan.</li> <li>Skissera linjen <math>y=2-\tfrac{1}{2}x</math>.<br/><br/> Linjens ekvation kan skrivas som <math>y= -\tfrac{1}{2}x + 2</math> och då ser vi att dess riktningskoefficient är <math>k= -\tfrac{1}{2}</math> och att <math>m=2</math>. Se figuren nedan till höger. </ol> {| align="center" padding="20px" |align="center"|{{:2.2 - Figur - Linjen y = 2x - 1}} |width="20px"| |align="center"|{{:2.2 - Figur - Linjen y = 2 - x/2}} |- |align="center"|<small>Linjen ''y'' = 2''x'' - 1</small> || |align="center"|<small>Linjen ''y'' = 2 - ''x''/2</small> |} </div> <div class="exempel"> '''Exempel 7''' Vilken riktningskoefficient har den räta linje som går genom punkterna <math>(2,1)</math> och <math>(5,3)</math>? Ritar vi upp punkterna och linjen i ett koordinatsystem så ser vi att <math>5-2=3</math> steg i <math>x</math>-led motsvaras av <math>3-1=2</math> steg i <math>y</math>-led på linjen. Det betyder att <math>1</math> steg i <math>x</math>-led måste motsvaras av <math>k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}</math> steg i <math>y</math>-led. Alltså är linjens riktningskoefficient <math>k= \frac{2}{3}</math>. <center>{{:2.2 - Figur - Linje genom punkterna (2,1) och (5,3)}}</center> </div> Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se (t.ex. i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter <math>k_1</math> respektive <math>k_2</math> som uppfyller <math>k_2 = -\frac{1}{k_1}</math>, vilket också kan skrivas som <math>k_1 k_2 = -1</math>. <center>{{:2.2 - Figur - Riktningskoefficient för vinkelräta linjer}}</center> Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficient <math>k</math>, dvs. <math>1</math> steg i <math>x</math>-led motsvaras av <math>k</math> steg i <math>y</math>-led. Om linjen vrids <math>90^\circ</math> motsols får vi linjen i figuren till höger, och den linjen har riktningskoefficient <math>-\frac{1}{k}</math> eftersom nu motsvaras <math>-k</math> steg i <math>x</math>-led av <math>1</math> steg i <math>y</math>-led. <div class="exempel"> '''Exempel 8''' <ol type="a"> <li>Linjerna <math>y=3x-1</math> och <math>y=3x+5</math> är parallella. <li>Linjerna <math>y=x+1</math> och <math>y=2-x</math> är vinkelräta. </ol> </div> Alla räta linjer (även den vertikala linjen) kan skrivas i den allmänna formen <div class="regel"> {{Fristående formel||<math>ax+by=c</math>}} </div> där <math>a</math>, <math>b</math> och <math>c</math> är konstanter. <div class="exempel"> '''Exempel 9''' <ol type="a"> <li>Skriv linjen <math>y=5x+7</math> i formen <math>ax+by=c</math>.<br/><br/> Flytta över <math>x</math>-termen till vänsterledet: <math>-5x+y=7</math>.</li> <li>Skriv linjen <math>2x+3y=-1</math> i formen <math>y=kx+m</math>.<br/><br/> Flytta över <math>x</math>-termen i högerledet <math>3y=-2x-1</math> och dela båda led med <math>3</math> {{Fristående formel||<math>y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}</math>}} </ol> </div> [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml '''Här'''] kan du se hur linjens ekvation kan skrivas utifrån att man vet koordinaterna för två punkter på linjen. [http://www.theducation.se/hemsida//gymnasium_komvux/webbaserade_laromedel_och_webbstod/matematik_3000/experimentera_med_den_rata_linjen/index.asp '''Här'''] kan du ändra på k och m och se hur detta påverkar linjens egenskaper. == Områden i koordinatsystem == Genom att tolka olikheter geometriskt kan de användas för att beskriva områden i planet. <div class="exempel"> '''Exempel 10''' <ol type="a"> <li>Skissera området i <math>x,y</math>-planet som uppfyller <math>y\ge2</math>. <br/><br/> Området ges av alla punkter <math>(x,y)</math> vars <math>y</math>-koordinat är <math>2</math> eller större, dvs. alla punkter på eller ovanför linjen <math>y=2</math>.<br/> <center>{{:2.2 - Figur - Området y ≥ 2}}</center></li> <li>Skissera området i <math>x,y</math>-planet som uppfyller <math>y < x</math>. <br/><br/> En punkt <math>(x,y)</math> som uppfyller olikheten <math>y < x</math> har en <math>x</math>-koordinat som är större än dess <math>y</math>-koordinat. Området består alltså av alla punkter till höger om linjen <math>y=x</math>.<br/> <center>{{:2.2 - Figur - Området y mindre än x}}</center> Att linjen <math>y=x</math> är streckad betyder att punkterna på linjen inte tillhör det färgade området. </ol> </div> <div class="exempel"> '''Exempel 11''' Skissera området i <math>x,y</math>-planet som uppfyller <math>2 \le 3x+2y\le 4</math>. Den dubbla olikheten kan delas upp i två olikheter {{Fristående formel||<math>3x+2y \ge 2 \quad</math> och <math>\quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}</math>}} Flyttar vi över <math>x</math>-termerna till högerledet och delar båda led med <math>2</math> får vi {{Fristående formel||<math>y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad</math> och <math>\quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}</math>}} De punkter som uppfyller den första olikheten ligger på och ovanför linjen <math>y = 1-\tfrac{3}{2}x</math> medan de punkter som uppfyller den andra olikheten ligger på eller under linjen <math>y = 2-\tfrac{3}{2}x</math>. <center>{{:2.2 - Figur - Områdena 3x + 2y ≥ 2 och 3x + 2y ≤ 4}}</center> <center><small>Figuren till vänster visar området <math>3x+2y\ge 2</math> och figuren till höger området <math>3x+2y\le 4</math>.</small></center> Punkter som uppfyller båda olikheterna tillhör det bandformade område som de färgade områdena ovan har gemensamt. <center>{{:2.2 - Figur - Området 2 ≤ 3x + 2y ≤ 4}}</center> <center><small>Figuren visar området <math>2\le 3x+2y\le 4</math>.</small></center> </div> <div class="exempel"> '''Exempel 12''' Om vi ritar upp linjerna <math>y=x</math>, <math>y=-x</math> och <math>y=2</math> så begränsar dessa linjer en triangel, i koordinatsystemet. <center>{{:2.2 - Figur - Triangel begränsad av y = x, y = 2 och y = -x}}</center> Vi upptäcker att för att en punkt skall ligga i denna triangel så måste vi sätta en del krav på den. Vi ser att dess <math>y</math>-koordinat måste vara mindre än <math>2</math>. Samtidigt ser vi att triangeln nedåt begränsas av <math> y=0</math>. <math>y</math>-koordinaten måste således ligga i intervallet <math> 0\le y\le2</math>. För <math>x</math>-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att <math>x</math>-koordinaten måste ligga ovanför linjerna <math>y=-x</math> och <math>y=x</math>. Vi ser att detta är uppfyllt då <math>-y\le x\le y</math>. Eftersom vi redan har begränsningar för <math>y</math>-koordinaten så ser vi att <math>x</math> inte kan vara större än <math>2</math> eller mindre än <math>-2</math> automatiskt. Vi ser att basen i triangeln blir <math>4</math> längdenheter och höjden <math>2</math> längdenheter. Arean av denna triangel blir alltså <math> 4\cdot 2/2=4</math> areaenheter. </div> [[2.2 Övningar|Övningar]] <div class="inforuta" style="width:580px;"> '''Råd för inläsning''' '''Grund- och slutprov''' Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. '''Tänk på att...''' Rita egna figurer när du löser geometriska problem och att vara noggrann när du ritar! En bra figur kan vara halva lösningen, men en dålig figur kan lura en. '''Länktips''' [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Calculus/StraightLine.shtml Experimentera med Räta linjens ekvation] [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ArchimedesTriangle.shtml Experimentera med Archimedes triangel & andragradskurvor ] </div>

• 2.2 - Figur - Linje genom punkterna (2,1) och (5,3)
• 2.2 - Figur - Linjen y = 2 - x/2
• 2.2 - Figur - Linjen y = 2x - 1
• 2.2 - Figur - Linjen y = kx + m
• 2.2 - Figur - Områdena 3x + 2y ≥ 2 och 3x + 2y ≤ 4
• 2.2 - Figur - Området 2 ≤ 3x + 2y ≤ 4
• 2.2 - Figur - Området y mindre än x
• 2.2 - Figur - Området y ≥ 2
• 2.2 - Figur - Riktningskoefficient för vinkelräta linjer
• 2.2 - Figur - Triangel begränsad av y = x, y = 2 och y = -x
• Mall:Ej vald flik
• Mall:Fristående formel
• Mall:Info
• Mall:Vald flik

Tillbaka till Huvudsida.