Warning: jsMath requires JavaScript to process the mathematics on this page.
If your browser supports JavaScript, be sure it is enabled.
Visa wikitext

Förberedande kurs i matematik 1

för 4.1 Vinklar och cirklar
Hoppa till: navigering, sök
Funktionen du vill använda är begränsad till användare i grupperna Administratörer, approved.
Du kan se och kopiera sidans wikikod:
__NOTOC__
{{Info|
'''Innehåll:'''
*Olika vinkelmått (grader, radianer och varv)
*Pythagoras sats
*Avståndsformeln i planet
*Cirkelns ekvation
}}

{{Info|
'''Lärandemål:'''

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
*Omvandla mellan grader, radianer och varv.
*Beräkna arean och omkretsen av cirkelsektorer.
*Känna till begreppen katet, hypotenusa och rätvinklig triangel.
*Formulera och använda Pythagoras sats.
*Beräkna avståndet mellan två punkter i planet.
*Skissera cirklar med hjälp av att kvadratkomplettera deras ekvationer.
*Känna till begreppen enhetscirkel, tangent, radie, diameter, periferi, korda och cirkelbåge.
*Lösa geometriska problem som innehåller cirklar.
}}

== Vinkelmått ==

Det finns flera olika enheter för att mäta vinklar, som är praktiska i olika sammanhang. De två vanligaste vinkelmåtten i matematiken är grader och radianer. 

*'''Grader.''' Om ett helt varv delas in i 360 delar, så kallas varje del 1 grad. Beteckningen för grader är <math>{}^\circ</math>. 

[[Bild:3_2_1.gif||center]]

*'''Radianer.''' Ett annat sätt att mäta vinklar är att använda längden av vinkelns cirkelbåge i förhållande till radien som mått på vinkeln. Detta vinkelmått kallas för radian. Ett varv är alltså <math>2\pi</math> radianer eftersom cirkelns omkrets är <math>2\pi r</math>, där <math>r</math> är cirkelns radie. 

[[Bild:3_2_2.gif||center]]


Ett helt varv är <math>360^\circ</math> eller <math>2\pi</math> radianer och det gör att
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
    &1^\circ = \frac{1}{360} \cdot 2\pi\ \mbox{ radianer }
             = \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer,}\\
    &1\ \mbox{ radian } = \frac{1}{2\pi} \cdot 360^\circ
             = \frac{180^\circ}{\pi}\,\mbox{.}
  \end{align*}</math>}}
Dessa omvandlingsfaktorer kan användas för att konvertera mellan grader och radianer. 

<div class="exempel">
'''Exempel 1'''

<ol type="a">
  <li><math>30^\circ = 30 \cdot 1^\circ
    = 30 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer }
    =  \frac{\pi}{6}\ \mbox{ radianer }</math></li>
  <li><math>\frac{\pi}{8}\ \mbox { radianer }
    = \frac{\pi}{8} \cdot (1 \; \mbox{radian}\,)
    = \frac{\pi}{8} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}
    = 22{,}5^\circ</math></li>
</ol>

</div>

I en del sammanhang kan det vara meningsfullt att tala om negativa vinklar eller vinklar som är större än 360°. Då kan man använda att man kan ange samma riktning med flera olika vinklar som skiljer sig från varandra med ett helt antal varv. 

<center>{{:4.1 - Figur - Vinklarna 45°, -315° och 405°}}</center>

<div class="exempel">
'''Exempel 2'''

<ol type="a">
  <li>Vinklarna <math>-55^\circ</math> och <math>665^\circ
    </math> anger samma riktning eftersom
{{Fristående formel||<math>
  -55^\circ + 2 \cdot 360^\circ = 665^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>

  <li>Vinklarna <math>\frac{3\pi}{7}</math> och <math>
    -\frac{11\pi}{7}</math> anger samma riktning eftersom
{{Fristående formel||<math>
  \frac{3\pi}{7} - 2\pi = -\frac{11\pi}{7}\,\mbox{.}</math>}}</li>

  <li>Vinklarna <math>36^\circ</math> och <math>
    216^\circ</math> anger inte samma riktning utan motsatta riktningar eftersom
{{Fristående formel||<math>
  36^\circ + 180^\circ = 216^\circ\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</div>


== Avståndsformeln ==

Pythagoras sats är en av de mest kända satserna i matematiken och säger att i en rätvinklig triangel med kateter <math>a</math> och <math>b</math>, och hypotenusa <math>c</math> gäller att

<div class="regel">
{|width="100%"
|width="100%"|'''Pythagoras sats:'''
{{Fristående formel||<math>c^2 = a^2 + b^2\,\mbox{.}</math>}}
|align="right"|{{:4.1 - Figur - Pythagoras sats}}
|}
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 3'''

{| width="100%"
|width="100%"|I triangeln till höger är
{{Fristående formel||<math>c^2= 3^2 + 4^2 = 9 +16 = 25</math>}}
och därför är hypotenusan <math>c</math> lika med
{{Fristående formel||<math>c=\sqrt{25} = 5\,\mbox{.}</math>}}
|align="right"|{{:4.1 - Figur - Rätvinklig triangel med sidor 3, 4 och 5}}
|}
</div>

Pythagoras sats kan användas för att beräkna avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. 
<div class="regel">
'''Avståndsformeln:'''

Avståndet <math>d</math> mellan två punkter med koordinater <math>(x,y)</math> och <math>(a,b)</math> är 
{{Fristående formel||<math>d = \sqrt{(x – a)^2 + (y – b)^2}\,\mbox{.}</math>}}
</div>

Linjestycket mellan punkterna är hypotenusan i en rätvinklig triangel vars kateter är parallella med koordinataxlarna. 

<center>{{:4.1 - Figur - Avståndsformeln}}</center>

Kateternas längd är lika med beloppet av skillnaden i ''x''- och ''y''-led mellan punkterna, dvs. <math>|x-a|</math> respektive <math>|y-b|</math>. Pythagoras sats ger sedan avståndsformeln. 

<div class="exempel">
'''Exempel 4'''

<ol type="a">
  <li>Avståndet mellan <math>(1,2)</math> och <math>(3,1)</math> är
{{Fristående formel||<math>
  d = \sqrt{ (1-3)^2 + (2-1)^2}
    = \sqrt{(-2)^2 + 1^2}
    = \sqrt{ 4+1}
    = \sqrt{5}\,\mbox{.}</math>}}</li>

  <li>Avståndet mellan <math>(-1,0)</math> och <math>(-2,-5)</math> är
{{Fristående formel||<math>
  d = \sqrt{ (-1-(-2))^2 + (0-(-5))^2}
    = \sqrt{1^2 + 5^2}
    = \sqrt{1+25}
    = \sqrt{26}\,\mbox{.}</math>}}</li>
</ol>
</div>


== Cirklar ==

En cirkel består av alla punkter som befinner sig på ett visst fixt avstånd <math>r</math> från en punkt <math>(a,b)</math>.

<center>{{:4.1 - Figur - Cirkel}}</center>


Avståndet <math>r</math> kallas för cirkelns radie och punkten <math>(a,b)</math> för cirkelns medelpunkt. Figuren nedan visar andra viktiga cirkelbegrepp.

{| align="center"
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Figur - Diameter}}
|width="15px"|
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Figur - Tangent}}
|width="15px"|
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Figur - Korda}}
|width="15px"|
|align="center" valign="bottom"|{{:4.1 - Figur - Sekant}}
|-
|align="center"|Diameter
||
|align="center"|Tangent
||
|align="center"|Korda
||
|align="center"|Sekant
|-
|height="15px"|
|-
|align="center"|{{:4.1 - Figur - Cirkelbåge}}
||
|align="center"|{{:4.1 - Figur - Periferi}}
||
|align="center"|{{:4.1 - Figur - Cirkelsektor}}
||
|align="center"|{{:4.1 - Figur - Cirkelsegment}}
|-
|align="center"|Cirkelbåge
||
|align="center"|Periferi
||
|align="center"|Cirkelsektor
||
|align="center"|Cirkelsegment
|}

<div class="exempel">
'''Exempel 5'''

{| width="100%"
||En cirkelsektor är given i figuren till höger.
<ol type="a">
  <li>Bestäm cirkelbågens längd.
<br>
<br>
Medelpunktsvinkeln <math>50^\circ</math> blir i radianer
{{Fristående formel||<math>
  50^\circ = 50 \cdot 1^\circ
           = 50 \cdot \frac{\pi}{180}\ \mbox{ radianer }
           = \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ radianer. }</math>}}
</li>
</ol>
|align="right" valign="top"|
{{:4.1 - Figur - Cirkelsektor 50°}}
|}
<ol style="list-style-type:none; padding-top:0; margin-top:0;">
  <li>På det sätt som radianer är definierat betyder detta att cirkelbågens längd är radien multiplicerat med vinkeln mätt i radianer, 
{{Fristående formel||<math>
  3 \cdot \frac{5\pi}{18}\ \mbox{ l.e. }
  = \frac{5\pi}{6}\ \mbox{ l.e. }</math>}}</li>
</ol>
<ol type="a" start="2">
  <li>Bestäm cirkelsektorns area.
<br>
<br>
Cirkelsektorns andel av hela cirkeln är
{{Fristående formel||<math>
  \frac{50^\circ}{360^\circ} = \frac{5}{36}</math>}}
och det betyder att dess area är <math>\frac{5}{36}</math> delar av cirkelns area som är <math>\pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi</math>, dvs.
{{Fristående formel||<math>
  \frac{5}{36} \cdot 9\pi\ \mbox{ a.e. }= \frac{5\pi}{4}\ \mbox{ a.e. }</math>}}</li>
</ol>
</div>

En punkt <math>(x,y)</math> ligger på cirkeln som har medelpunkt i <math>(a,b)</math> och radie <math>r</math> om dess avstånd till medelpunkten är lika med <math>r</math>. Detta villkor kan formuleras med avståndsformeln som 
<div class="regel">
{| width="100%"
||'''Cirkelns ekvation:'''
{{Fristående formel||<math>(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2\,\mbox{.}</math>}}
|align="right"|{{:4.1 - Figur - Cirkelns ekvation}}
|}
</div>
 
<div class="exempel">
'''Exempel 6'''
{| width="100%"
|- 
|width="100%"|
<ol type="a">
  <li><math>(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9\quad</math> är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i <math>(1,2)</math> och radie <math>\sqrt{9} = 3</math>.</li>
</ol>
|align="right"|{{:4.1 - Figur - Ekvationen (x - 1)² + (y - 2)² = 9}}
|-
|width="100%"|
<ol type="a" start=2>
  <li><math>x^2 + (y-1)^2 = 1\quad</math> kan skrivas som <math>(x-0)^2 + (y-1)^2 = 1</math> och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i <math>(0,1)</math> och radie <math>\sqrt{1} = 1</math>.</li>
</ol>
|align="right"|{{:4.1 - Figur - Ekvationen x² + (y - 1)² = 1}}
|- 
|width="100%"|
<ol type="a" start=3>
  <li><math>(x+1)^2 + (y-3)^2 = 5\quad</math> kan skrivas som <math>(x-(-1))^2 + (y-3)^2 = 5</math> och är ekvationen för en cirkel med medelpunkt i <math>(-1,3)</math> och radie <math>\sqrt{5} \approx 2{,}236</math>.</li>
</ol>
|align="right"|{{:4.1 - Figur - Ekvationen (x + 1)² + (y - 3)² = 5}}
|}
</div>

<div class="exempel">
'''Exempel 7'''

<ol type="a">
  <li>Ligger punkten <math>(1,2)</math> på cirkeln <math>(x-4)^2 +y^2=13</math>?
<br>
<br>
Stoppar vi in punktens koordinater <math>x=1</math> och <math>y=2</math> i cirkelns ekvation har vi att
{{Fristående formel||<math>\begin{align*}
    \mbox{VL } &= (1-4)^2+2^2\\
               &= (-3)^2+2^2 = 9+4 = 13 = \mbox{HL}\,\mbox{.}
  \end{align*}</math>}}
Eftersom punkten uppfyller cirkelns ekvation ligger punken på cirkeln.
<center>{{:4.1 - Figur - Ekvationen (x - 4)² + y² = 13}}</center></li>

  <li>Bestäm ekvationen för cirkeln som har medelpunkt i <math>(3,4)</math> och innehåller punkten <math>(1,0)</math>.
<br>
<br>
Eftersom punkten <math>(1,0)</math> ska ligga på cirkeln måste cirkelns radie vara lika med avståndet från <math>(1,0)</math> till medelpunkten <math>(3,4)</math>. Avståndsformeln ger att detta avstånd är
{{Fristående formel||<math>
  c = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 +16} = \sqrt{20} \, \mbox{.}</math>}}
Cirkelns ekvation är därför
{{Fristående formel||<math>(x-3)^2 + (y-4)^2 = 20 \; \mbox{.}</math>}}
<center>{{:4.1 - Figur - Ekvationen (x - 3)² + (y - 4)² = 20}}</center></li>
</ol>
</div>


<div class="exempel">
'''Exempel 8'''

Bestäm medelpunkt och radie för den cirkel vars ekvation är <math>\ x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1 = 0</math>.


Vi ska försöka skriva om cirkelns ekvation på formen
{{Fristående formel||<math>(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2</math>}}
för då kan vi direkt avläsa att medelpunken är <math>(a,b)</math> och radien är <math>r</math>. 

Börja med att kvadratkomplettera termerna som innehåller <math>x</math> i vänsterledet
{{Fristående formel||<math>
  \underline{x^2-2x\vphantom{(}} + y^2+4y + 1
  = \underline{(x-1)^2-1^2} + y^2+4y + 1</math>}}
(de understrukna termerna visar kvadratkompletteringen). 

Kvadratkomplettera sedan termerna som innehåller <math>y</math>
{{Fristående formel||<math>
  (x-1)^2-1^2 + \underline{y^2+4y} + 1
  = (x-1)^2-1^2 + \underline{(y+2)^2-2^2} + 1\,\mbox{.}</math>}}

Vänsterledet är alltså lika med 
{{Fristående formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2-4 </math>}}

och flyttar vi över 4 till högerledet är cirkelns ekvation
{{Fristående formel||<math> (x-1)^2 + (y+2)^2 = 4 \, \mbox{.}</math>}}

Vi avläser att medelpunkten är <math>(1,-2)</math> och radien är <math>\sqrt{4}= 2</math>.

<center>{{:4.1 - Figur - Ekvationen x² + y² - 2x + 4y + 1 = 0}}</center>
</div>


[[4.1 Övningar|Övningar]]

<div class="inforuta">
'''Råd för inläsning'''

'''Grund- och slutprov'''

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.


'''Tänk på att:'''


'''Lästips'''

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

[http://sv.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_sats Läs mer om Pythagoras sats på svenska Wikipedia]

[http://mathworld.wolfram.com/Circle.html Läs mer i Mathworld om cirkeln]


'''Länktips'''

[http://www.math.kth.se/online/images/sinus_och_cosinus_i_enhetscirkeln.swf  Interaktivt experiment: sinus och cosinus i enehtscirkeln] (Flash)
</div>
Mallar som används på den här sidan:
Tillbaka till Huvudsida.
Den här artikeln är hämtad från http://wiki.sommarmatte.se/wikis/forberedandematte1/index.php/4.1_Vinklar_och_cirklar
3. Rötter och logaritmer

Sök

Visa wikitext

Förberedande kurs i matematik 1
