Förberedande kurs i matematik 1

Funktionen du vill använda är begränsad till användare i grupperna Administratörer, approved.

Du kan se och kopiera sidans wikikod:

__NOTOC__ {{Info| '''Innehåll:''' *Distributiva lagen *Kvadreringsreglerna *Konjugatregeln *Rationella uttryck }} {{Info| '''Lärandemål:''' Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: *Förenkla komplicerade algebraiska uttryck. *Faktorisera uttryck med kvadreringsreglerna och konjugatregeln. *Utveckla uttryck med kvadreringsreglerna och konjugatregeln. }} == Distributiva lagen == [[Bild:miniräknare_skämt.gif|right]] Den distributiva lagen anger hur man multiplicerar in en faktor i en parentes. <center>{{:Sommarmatte 1 - 2.1 distributiva lagen}}</center> <div class="exempel"> '''Exempel 1''' <ol type="a"> <li><math>4(x+y) = 4x + 4y</math></li> <li><math>2(a-b) = 2a -2b</math></li> <li><math>x \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \frac{1}{x} + x \cdot \frac{1}{x^2} = \frac{\not{x}}{\not{x}} + \frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \frac{1}{x}</math></li> <li><math>a(x+y+z) = ax + ay + az</math></li> </ol> </div> Med den distributiva lagen kan vi också förstå hur vi kan hantera minustecken framför parentesuttryck. Regeln säger att en parentes med ett minustecken framför kan tas bort om alla termer inuti parentesen byter tecken. <div class="exempel"> '''Exempel 2''' <ol type="a"> <li><math>-(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y</math></li> <li><math>-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x = -x^2 +x</math><br/> :där vi i sista ledet använt att <math>-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x = x</math></li> <li><math>-(x+y-y^3) = (-1)\cdot (x+y-y^3) = (-1)\cdot x + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3</math><br/> <math>\phantom{-(x+y-y^3)}{} = -x-y+y^3</math></li> <li><math>x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2</math><br/> <math>\phantom{x^2-2x-(3x+2)}{} = x^2 -5x -2</math></li> </ol> </div> Om den distributiva lagen används baklänges så sägs vi faktorisera uttrycket. Ofta försöker man bryta ut en så stor faktor som möjligt. <div class="exempel"> '''Exempel 3''' <ol type="a"> <li><math>3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)</math></li> <li><math>xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)</math></li> <li><math>2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)</math></li> <li><math>\frac{y-x}{x-y} = \frac{-(x-y)}{x-y} = \frac{-1}{1} = -1</math></li> </ol> </div> == Kvadreringsreglerna == Den distributiva lagen behöver ibland användas upprepade gånger för att behandla större uttryck. Om vi betraktar {{Fristående formel||<math>(a+b)(c+d)</math>}} och ser <math>a+b</math> som en faktor som multipliceras in i parentesen (c+d) så får vi {{Fristående formel||<math>\eqalign{ \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,(c+d) &= \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,c + \bbox[#AAEEFF,0pt]{\phantom{(a+b)}}\,d\mbox{,}\cr (a+b)\,(c+d) &= (a+b)\,c + (a+b)\,d\mbox{.}}</math>}} Sedan kan <math>c</math> och <math>d</math> multipliceras in i respektive parentes {{Fristående formel||<math>(a+b)c + (a+b)d = ac + bc + ad + bd \, \mbox{.}</math>}} Ett minnesvärt sätt att sammanfatta formeln är: <center>{{:Sommarmatte 1 - 2.1 distributiva lagen två gånger}}</center> <div class="exempel"> '''Exempel 4''' <ol type="a"> <li><math>(x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2</math><br/> <math>\phantom{(x+1)(x-2)}{}=x^2 -x-2</math></li> <li><math>3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) = 3(2x^2 +x-2xy-y)</math><br/> <math>\phantom{3(x-y)(2x+1)}{}=6x^2 +3x-6xy-3y</math></li> <li><math>(1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2</math><br/> <math>\phantom{(1-x)(2-x)}{}=2-3x+x^2</math> :där vi använt att <math>-x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 = 1\cdot x^2 = x^2</math>. </ol> </div> Två viktiga specialfall av ovanstående formel är när <math>a+b</math> och <math>c+d</math> är samma uttryck <div class="regel"> '''Kvadreringsreglerna''' {{Fristående formel||<math>(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2</math>}} {{Fristående formel||<math>(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2</math>}} </div> Dessa formler kallas för första och andra kvadreringsregeln. <div class="exempel"> '''Exempel 5''' <ol type="a"> <li><math>(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4</math></li> <li><math>(-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9</math> <br> :där <math>(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2</math></li> <li><math>(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16</math></li> <li><math>(x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1)</math><br/> <math>\phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{}= x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1</math><br/> <math>\phantom{(x+1)^2-(x-1)^2}{} = 2x+2x = 4x</math></li> <li><math>(2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)</math><br/> <math>\phantom{(2x+4)(x+2)}{}=2x^2 + 8x + 8</math></li> <li><math>(x-2)^3 = (x-2)(x-2)^2 = (x-2)(x^2-4x+4)</math><br/> <math>\phantom{(x-2)^3}{}=x \cdot x^2 + x\cdot (-4x) + x\cdot 4 - 2\cdot x^2 - 2 \cdot (-4x)-2 \cdot 4</math><br/> <math>\phantom{(x-2)^3}{}=x^3 -4x^2 + 4x-2x^2 +8x -8 = x^3-6x^2 + 12x -8</math></li> </ol> </div> Kvadreringsreglerna används också i omvänd riktning för att faktorisera uttryck. <div class="exempel"> '''Exempel 6''' <ol type="a"> <li><math>x^2 + 2x+ 1 = (x+1)^2</math></li> <li><math>x^6-4x^3 +4 = (x^3)^2 - 2\cdot 2x^3 +2^2 = (x^3-2)^2</math></li> <li><math>x^2 +x + \frac{1}{4} = x^2 + 2\cdot\frac{1}{2}x + \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 = \bigl(x+\frac{1}{2}\bigr)^2</math></li> </ol> </div> == Konjugatregeln == Ett tredje specialfall av den första formeln i förra avsnittet är konjugatregeln <div class="regel"> '''Konjugatregeln:''' {{Fristående formel||<math>(a+b)(a-b) = a^2 -b^2</math>}} </div> Denna formel kan vi få fram direkt genom att utveckla vänsterledet {{Fristående formel||<math>(a+b)(a-b) = a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b) = a^2 -ab+ab-b^2 = a^2 -b^2\mbox{.}</math>}} <div class="exempel"> '''Exempel 7''' <ol type="a"> <li><math>(x-4y)(x+4y) = x^2 -(4y)^2 = x^2 -16y^2</math></li> <li><math>(x^2+2x)(x^2-2x)= (x^2)^2 - (2x)^2 = x^4 -4x^2</math></li> <li><math>(y+3)(3-y)= (3+y)(3-y) = 3^2 -y^2 = 9-y^2</math></li> <li><math>x^4 -16 = (x^2)^2 -4^2 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x^2-2^2)</math><br/> <math>\phantom{x^4-16}{}=(x^2+4)(x+2)(x-2)</math></li> </ol> </div> == Rationella uttryck == Räkning med algebraiska uttryck som innehåller bråk liknar till stor del vanlig bråkräkning. Multiplikation och division av bråkuttryck följer samma räkneregler som gäller för vanliga bråktal, <div class="regel"> {{Fristående formel||<math> \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \quad \mbox{och} \quad \frac{\displaystyle\ \frac{a}{b}\ }{\displaystyle\frac{c}{d}} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}</math>}} </div> <div class="exempel"> '''Exempel 8''' <ol type="a"> <li><math>\frac{3x}{x-y} \cdot \frac{4x}{2x+y} = \frac{3x\cdot 4x}{(x-y)\cdot(2x+y)} = \frac{12x^2}{(x-y)(2x+y)}</math></li> <li><math>\frac{\displaystyle \frac{a}{x}}{\displaystyle \frac{x+1}{a}} = \frac{a^2}{x(x+1)}</math></li> <li><math>\frac{\displaystyle \frac{x}{(x+1)^2}}{\displaystyle \frac{x-2}{x-1}} = \frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)^2}</math></li> </ol> </div> Förlängning av ett bråkuttryck innebär att vi multiplicerar täljare och nämnare med samma faktor {{Fristående formel||<math>\frac{x+2}{x+1} = \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)} = \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4)} = \dots</math>}} Förkortning av ett bråkuttryck innebär att vi stryker faktorer som täljaren och nämnaren har gemensamt {{Fristående formel||<math>\frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) } = \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}</math>}} <div class="exempel"> '''Exempel 9''' <ol type="a"> <li><math>\frac{x}{x+1} = \frac{x}{x+1} \cdot \frac{x+2}{x+2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)}</math></li> <li><math>\frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \frac{1}{x}</math></li> <li><math>\frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)} = \left\{\,\text{konjugatregeln}\,\right\} = \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)} = \frac{x-y}{x+2}</math></li> </ol> </div> När bråkuttryck adderas eller subtraheras behöver de, om så är nödvändigt, förlängas så att de får samma nämnare innan täljarna kan kombineras ihop, {{Fristående formel||<math>\frac{1}{x} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x-1}{x-1} - \frac{1}{x-1} \cdot \frac{x}{x} = \frac{x-1}{x(x-1)} - \frac{x}{x(x-1)} = \frac{x-1-x}{x(x-1)} = \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}</math>}} Ofta försöker man förlänga med så lite som möjligt för att underlätta räknandet. Minsta gemensamma nämnare (MGN) är den gemensamma nämnare som innehåller minst antal faktorer. <div class="exempel"> '''Exempel 10''' <ol type="a"> <li><math>\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2}\quad</math> har <math>\ \text{MGN} = (x+1)(x+2)</math> <br><br> Förläng den första termen med <math>(x+2)</math> och den andra termen med <math>(x+1)</math> {{Fristående formel||<math>\begin{align*} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} &= \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)} = \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}\:\mbox{.} \end{align*}</math>}}</li> <li><math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\quad</math> har <math>\ \text{MGN} = x^2</math><br><br> Vi behöver bara förlänga den första termen för att få en gemensam nämnare {{Fristående formel||<math>\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = \frac{x}{x^2} + \frac{1}{x^2} = \frac{x+1}{x^2}</math>}}</li> <li><math>\frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)}\quad</math> har <math>\ \text{MGN}= x^2(x+1)^2(x+2)</math><br><br> Den första termen förlängs med <math>x(x+2)</math> medan den andra termen förlängs med <math>(x+1)^2</math> {{Fristående formel||<math>\begin{align*} \frac{1}{x(x+1)^2} - \frac{1}{x^2(x+2)} &= \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}\\[4pt] &= \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)} \end{align*}</math>}}</li> <li><math>\frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad</math> har <math>\ \text{MGN}=x(x-1)(x+1)</math><br><br> Vi förlänger alla termer så att de får den gemensamma nämnaren <math>x(x-1)(x+1)</math> {{Fristående formel||<math>\begin{align*} \frac{x}{x+1} - \frac{1}{x(x-1)} -1 &= \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)}\\[4pt] &= \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)} \end{align*}</math>}}</li> </ol> </div> Vid förenkling av större uttryck är det ofta nödvändigt att både förlänga och förkorta i steg. Eftersom förkortning förutsätter att vi kan faktorisera uttryck är det viktigt att försöka behålla uttryck (t.ex nämnare) faktoriserade och inte utveckla något som vi senare behöver faktorisera. <div class="exempel"> '''Exempel 11''' <ol type="a"> <li><math>\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{4}{(x+2)(x-2)} = \left\{\,\mbox{MGN} = (x+2)(x-2)\,\right\}</math><br/><br/> <math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \frac{4}{(x+2)(x-2)}</math><br/><br/> <math>\phantom{\frac{1}{x-2} - \frac{4}{x^2-4}}{} = \frac{x+2 -4}{(x+2)(x-2)} = \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = \frac{1}{x+2}</math></li> <li><math>\frac{x + \displaystyle \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x} + \frac{1}{x}}{x^2+1} = \frac{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x}</math></li> <li><math>\frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2}{x^2y^2} - \frac{x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{\displaystyle \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \frac{y^2-x^2}{x^2y^2(x+y)}</math> <br><br> <math>\phantom{\smash{\frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \frac{1}{y^2}}{x+y}}}{} = \frac{(y+x)(y-x)}{x^2y^2(x+y)} = \frac{y-x}{x^2y^2}</math></li> </ol> </div> [[2.1 Övningar|Övningar]] <div class="inforuta"> '''Råd för inläsning''' '''Grund- och slutprov''' Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. '''Tänk på att:''' Var noggrann. Om du gör ett fel på ett ställe så kommer resten av uträkningen också vara fel. Använd många mellanled. Om du är osäker på en uträkning utför då hellre enkla steg än ett stort steg. Utveckla inte i onödan. Du kan vid ett senare tillfälle vara tvungen att faktorisera tillbaka. '''Lästips''' [http://en.wikipedia.org/wiki/Algebra Läs mer om algebra på engelska Wikipedia] [http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - engelsk textbok på nätet] '''Länktips''' </div>

• 2.1 - Figur - Distributiva lagen
• 2.1 - Figur - Distributiva lagen två gånger
• Mall:Ej vald flik
• Mall:Fristående formel
• Mall:Info
• Mall:Vald flik

Tillbaka till Huvudsida.